Esquema funciones

Para representar funciones seguiremos este pequeño esquema, paso a paso, para que no se nos pase nada. Lo iremos completando conforme vayan saliendo funciones y datos. También voy a incluir algunas representaciones concretas para que podáis repasar.

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1.- Dominio de la función

Son los puntos para los que la función tiene sentido. Tenemos en cuenta lo siguiente:

• Polinomios, su dominio es R.

• Racionales, su dominio es R menos los ceros del denominador.

2.- Continuidad

Tenemos que indicar donde la función es contínua, Tenemos en cuenta lo siguiente:

• • Polinomios, no tienen puntos de discontinuidad

  • Racionales, los puntos de discontinuidad son los ceros del denominador (de aquí saldrán las asíntotas verticales).

3.- Simetrías

Hay que ver si la función es:

• PAR f(x)=f(-x) FUNCIÓN SIMÉTRICA RESPECTO EJE VERTICAL

• IMPAR f(-x)=-f(x) FUNCIÓN SIMÉTRICA RESPECTO DEL ORIGEN DE COORDENADAS

PUEDE OCURRIR QUE NO SEA DE NINGUNO DE ESOS TIPOS

4.- Puntos de corte con los ejes

Con el eje horizontal: Puntos que verifican (x, 0)

Con el eje vertical: Puntos que verifican (0, y)

ESTÁ CLARO QUE SI AL CALCULAR LOS PUNTOS DE CORTE CON EL EJE HORIZONTAL (X) APARECE EL ORIGEN DE COORDENADAS (0,0), NO ES NECESARIO CALCULAR EL CORTE CON EL EJE VERTICAL, YA QUE EL (0,0) SERÍA EL PUNTO DE CORTE CON EL EJE VERTICAL.

5.- Signo de la función

Estudiamos el signo la función, partiendo el eje real en intervalos delimitados por los puntos de corte con el eje horizontal y los puntos de discontinuidad de la función (por ejemplo, donde salgan asíntotas verticales). Se hace, por ejemplo, tanteando como en las inecuaciones.

Nos da idea de como va a ir la función en relación con el eje horizontal.

6.- Asíntotas

Como sabemos sólo puede haber de tres tipos:

• Verticales.

En polinomios no hay asíntotas verticales. Si la función es racional, son los ceros del denominador, y hay que verificar que los límites laterales (derecha e izquierda) son infinitos.

• Horizontales

En polinomios no hay asíntotas horizontales. Para las funciones racionales, sólo tienen asíntotas horizontales si el grado del numerador es igual o menor que el grado del denominador (basta recordar el cálculo de límites)

• Oblicuas

En polinomios no hay asíntotas oblicuas. En las funciones racionales hay asíntotas oblicuas si el grado del numerador menos el grado del denominador es 1. Se obtienen dividiendo el numerador entre el denominador.

7.- Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.

Una forma muy sencilla de calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento es estudiar el signo de la derivada. O sea, en dos pasos:

• Calculamos la derivada y la igualamos a cero.

• Estudiamos el signo de la derivada de forma análoga a como lo hemos hecho en el punto 4. Hay que tener en cuenta las soluciones de la ecuación anterior y los puntos de discontinuidad (como en el caso de las funciones racionales).

Por supuesto que también podemos hacer uso de la segunda derivada (recuerdo que primero determinamos los puntos extremos y con la segunda derivada vemos si son máximos o mínimos).

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Nota aclaratoria

No he incluido el estudio de la concavidad para no hacer más pesado este esquema. Para el curso que viene sí que se añadirá este punto.

Otro apartado que se suele tratar es la periodicidad. Se estudia tras la simetría.