* Matemática Mapuche

• • El sistema de numeración mapuche es uno decimal, con nombres propios para las nueve unidades (kiñe, epu, küla, meli, kechu, kayu, regle, pura, aylla), la decena (mari), la centena (pataka) y el millar (warangka) y el resto de los nombres formado por composición, mediante sumas y multiplicaciones, en que una unidad nombrada a la izquierda de un número de orden superior, lo multiplica y si está nombrada a la derecha, se le suma. Por ejemplo kechu pataka küla mari küla es 533 (5 x 100 + 3 x 10 + 3).

  • Según Félix de Augusta, los mapuches no tenían un método establecido para operar con fracciones y decimales, de modo que él adaptó la terminología castellana a los usos mapuches.

  • En el siglo XIX, Claudio Matte en el "silabario del ojo" planteaba que los mapuches no sabían contar y que usaban metáforas para determinar números. Ese afirmación indujo a una creencia errónea durante décadas.

    • • [...] la Ley de Instrucción Primaria y Obligatoria en el año 1928, se encargó de formalizar el menosprecio indígena hacia nuestro Pueblo en lo que al sistema numérico y conteo se refiere, y el Sr. Claudio Matte, un gran académico de la Universidad de Chile, autor del "Silabario El Nuevo Método", conocido comúnmente como "Silabario El Ojo", en los años 50; destacaba en la lección Nº 21, bajo el título; "Los Indios Mapuche no saben contar,... para decir uno dicen Sol, y para decir dos, dicen Pata de Pájaro".

      • ÑUKE MAPU, Centro de Documentación Mapuche.

Por lo que si ahora hacemos la operación inversa para reconocer un número escrito en mapuche, podríamos utilizar el algoritmo anterior:

• • aylla huaranca küla (nueve por mil más tres = nueve mil tres)

  • epu pataca quiñe (dos por cien más uno = doscientos uno)

  • quechu haranca aylla pataca pura mari meli (cinco por mil más nueve por cien más ocho por diez más cuatro = cinco mil novecientos ochenta y cuatro

En las construcciones orales binarias de los números, por ejemplo diez o cien, el adosado del uno es optativo y se componen de la siguiente manera:

• • quiñe mari o mari (uno por diez o diez)

  • quiñe pataca o pataca (uno por cien o cien)

  • küla pataca mari kiñe o küla patcka kiñe

mari kiñe (tres por cien más diez más uno o tres por cien más uno por diez más uno) De acuerdo a algunos informes este sistema tiene como "límite el número 9999 (nueve mil novecientos noventa y nueve o aylla huaranca aylla pataca aylla mari aylla) ya que aylla es el mayor de todos los de la serie U (unidades) y huaranca es el último término reconocido en la lengua mapuche" (Salas, 1980). Más adelante el mismo autor expresa que: "en un experimento solicité a M.P.L.C., mapuche, que tratara de continuar contando más allá de límite 9999. La respuesta fue para 'diez mil' fue mariharanca y para 'cien mil' fue pataka haranca. Las dos respuestas son enigmáticas, ya que dejan lugar a dos interpretaciones:

a. Representan un esfuerzo por expandir internamente el sistema mapuche; o

b. Son traducción directa del castellano diez mil y cien mil respectivamente (Salas, 1980 p.12,).

Como justificara anteriormente las pautas culturales ancestrales y/o futuras del pueblo mapuche no han requerido un mayor desarrollo del sistema de numeración. Las posibilidades de expansión, desde el punto de vista gramatical, las formas mínimas (por ejemplo kiñe, mari, etc.) y fusionadas (por ejemplo mari epu, kiñe huaranca, etc.) de este sistema, funcionan como adjetivos numerales cardinales junto a sustantivos concretos (materiales o ideales) no-masivos; por ejemplo:

· küla pun' umapui (tres noches alojo allá)

· epu pataca che mülefui ngillatun meo(doscientas personas hubo en el nguillatün)

En consecuencia en el pueblo mapuche este sistema está al servicio de la necesidad práctica de contar, y dadas las condiciones socioculturales pasadas y presentes de este grupo, es suficiente para tal necesidad.

No obstante, el sistema en sí está abierto en lo que respecta a la posibilidad de expansión. Esto es, si se presenta la necesidad de llegar contando a cantidades mayores, el sistema puede ser expandido por medio de la incorporación de nuevos miembros a mari, pataca / huaranca.

Sean añadidos por ejemplo X y Y:

Mari diez

pataca diez mari (cien)

huaranca diez pataca (mil)

X diez huaranca (diez mil)

Y diez X (cien mil)

que al ser insertados en la formula ya conocida la dejan así:

y permiten llegar hasta la cantidad de novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve;

aylla * Y

nueve por cien mil (novecientos mil)

aylla * X

nueve, por diez mil (noventa mil)

aylla * huaranca

nueve por mil (nueve mil)

Los nuevos miembros añadidos X, Y permitirían la expansión del sistema, de manera que éste está potencialmente abierto.

Volviendo a la interpretación a) mari huaranca y pataca huaranca se consideran nuevos términos y no combinaciones / añadidos a

Mari D diez

Pataca C diez mari (cien)

huaranca H diez pataca (mil)

mari-huaranca X diez huaranca (diez mil)

pataca-huaraca Y diez mari-huaranca (cien mil)

Con su inserción en la fórmula expandida

se puede generar:

aylla pataca-huaranca aylla mari-huaranca ayllahuaranca aylla .pataca aylla mari aylla (novecientos noventa mil novecientos nueve)

"abreviándola":

aylla pataca aylla wari aylla huaranca aylla pataca aylla mari aylla

forma abreviada la cual sólo es explicable en términos de la pauta mapuche la fracción siguiente:

aylla huaranca aylla pataca aylla mari aylla

(nueve por mil + nueve por cien + nueve por diez + nueve = nueve mil novecientos noventa y nueve)

ésta fracción es precisamente el límite del sistema original, de acuerdo a la fórmula no expandida inicial:

E1 residuo no explicado es la fracción inicial (precisamente el añadido artificial a la pauta original):

aylla pataca aylla mari . . .

nueve por cien + nueve por diez = novecientos noventa

Para este residuo hay que buscar una explicación en el bilingüismo, ya que un mapuche altamente aculturado, que se desenvuelve hoy la mayor parte de su vida en una sociedad hispánica urbana. Por su competencia en castellano se maneja con el sistema hispánico de numeración, el que además ha estudiado desde el punto de vista matemático. Al parecer en esta numeración se transfirió parcialmente al enunciado mapuche la estructura castellana, traduciendo literalmente "palabra a palabra" la porción no especificada en la pauta mapuche original:

Castellano novecientos noventa

Mapuche aylla pataca aylla mari

en vez de:

aylla pataca-huaranca aylla mari-huaranca

nueve por cien mil + nueve por diez mil = novecientos mil + noventa mil

espectable a partir de la pauta mapuche original.

El resultado es una construcción híbrida:

• • Porción traducida del castellano:

  • aylla pataca aylla mari (novecientos noventa) y

  • Fracción estructurada según la pauta original mapuche:

  • aylla huaranca

  • nueve por mil (nueve mil)

  • aylla pataca

  • nueve por cien (novecientos)

en la cual son visibles ambas estructuras.

centena de mil - decena de mil

unidad por mil + unidad por cien + unidad por diez + unidad

Parece que hay buenas razones socio-culturales, psicológicas, y lingüísticas, que favorecen la opción por superar el límite de la pauta mapuche original mediante la utilización de híbridos con la pauta castellana, antes que explotar las posibilidades internas de expansión.

Por ser de base decimal el sistema mapuche original contiene posibilidades de expansión que en principio son idénticas a las posibilidades de expansión del sistema castellano, con lo cual es expectable que en algún punto se produzca el re-encuentro de ambas pautas. Esto, y el bilingüismo masivo mapuche-castellano hace más viable la adopción de la pauta hispánica, la que por lo demás coincide con la pauta original mapuche en tener términos diferentes para las primeras tres agrupaciones: castellano / mapuche: diez / mari; cien / pataca; mil / huaranca y tiene su término siguiente en millón, obteniendo los dos intervalos intermedios, exigidos por la pauta decimal, por combinación de diez y cien con mi1: diez mil, cien mil, millón, etc., lo que ofrece un cómodo modelo para la transferencia bilingüe al mapuche con por ejemplo: diez de mil (mari huaranca).

Es previsible que la palabra castellana millón fuera eventualmente usada para proseguir la enumeración en mapuche, y ella produciría un reencuentro con la pauta original mapuche.

Determinados lenguajes poseen exclusivamente ordinales para un restringido conjunto de números, como los Malteses que sólo tiene ordinales hasta el 4to (Hurford, 1997). En español y en mapuche, aunque existen ordinales para valores superiores a 20, ellos son raramente usados. Aparte de esto, se pueden reconstruir los números ordinales para los mapuches, agregando al número el sufijo "lelu", así por ejemplo:

1°: quiñelelu

2°: epulelu

10°: marilelu

11°: mariquiñelelu

20°: epumarilelu

26º: epú mari cayúlelu

100°: patacalelu

101°: patacaquiñelelu

1000°: huarancalelu

También, es muy usual la utilización de expresiones del tipo "dos veces" o más, que se construye, para algunos autores, utilizando el vocablo que pertenece al número más el sufijo "machi", así por ejemplo:

2 veces: epúmachi

13 veces: mari culámachi

Aunque para otros autores no es tan regular sino que se construye sobre varis acepciones:

1 vez: quiñechi - quiñemeli

2 veces: epuñechi – epumeli – epumita – epurüta

4 veces: melichi – melimita

7 veces: relguechi

Si bien no los podemos catalogar como numerales, por otro lado también son de uso frecuente las expresiones que involucran "numerales" como: el doble, que se forma con el numeral pertinente más el sufijo "venten", en consecuencia:

Doble: epúventen

Triple: culaventen

Cuádruplo:meliventen

Quíntuplo: quechuventen

Céntuplo: patacaventen

Y las clásicas expresiones de la mitad, que tiene infinidad de sinónimos: anca, capar, lau, llaü, rangui, etc., que si bien no son numerales pueden considerárselos desde nuestro exclusivo punto de vista.

De acuerdo a lo conversado con el Lonco Casimiro Huenelaf, sus ancestros no utilizaban la aritmética conocida hoy por nosotros, ya que reunían piedras de tamaño reducido y comenzaban a contar asignando a cada cantidad un "nombre", con la construcción lingüística como se ha explicado precedentemente, por lo que carecían de operaciones tales como sumar, restar, multiplicar o dividir. Cuando deseaban saber que cantidad de animales tenían entre dos rebaños, por ejemplo 35 (cúlamari quechu) animales y 12 (mariepú) animales en cada rebaño, simplemente contaban hasta 35 (cúla mari quechu ) en el primero y seguían la numeración con el otro o sea 36 (cúla mari cayu), 37 (cúla mari relghe) hasta 47 (melimari relghe) que era el total de ambos, "contaban nomás" nos dice Olegario Sayhueque. Es más, en algunas ocasiones no utilizan el número exacto para decir cuántos animales tienen solo utilizan expresiones como:

epé relghe mari (casi setenta)

mùrn (un par)

rume epú mari (a lo menos veinte)

aldún (muchos)

quiñelque huelique (algunos)

Podemos agregar que el pueblo mapuche, lleva un calendario que consta de 13 lunaciones; el mes de tres semanas de diez días abarca el tiempo comprendido entrecüyen(Luna) y cüyen(Luna). El año lo inician en el mes de junio del calendario Gregoriano, más exactamente el 24 de junio comienza el wiñoy xipantu(año nuevo). No tenían en realidad una división exacta del tiempo ni dividían la jornada en horas, para guiarse diariamente estaban los fenómenos del ocaso, del amanecer, de la noche o del día, en ocasiones también se sirvieron de la sombra de objetos fijos conocidos o de su propia sombra, entendiendo a su posición o dirección, y apreciaban "la hora" por la extensión de dicha sombra. "Todos esos cómputos con una aproximación bien reñida con la exactitud astronómica, y dependen de la apreciación a ojo". Cuentan, además, que cuando alguien nacía ya sabían cómo iba a ser su vida, podían predecir su futuro, según el Lonco Casimiro Huenelaf su abuela les tocaba la oreja a los niños y sabia si sería un "flojo" o un hombre trabajador, si se casaría y tendría hijos, etc. Palabras mapuches asociadas a la medición del tiempo: Año: chripantu; Eterno: ñamnoval,moll nguen; Fugaz: levmauve; Instante: müchaique; Mucho tiempo: alüntu, alumna; Plazo (tiempo, lapso): chroquil.

CONCLUSIONES

Sin lugar a dudas, hay muchas cosas por aclarar y/o ampliar sobre la cultura matemática de nuestros pueblos originarios, pero como se dice vulgarmente que "para aprender a caminar, hay que dar de un paso a la vez". Este trabajo sería un paso más en el largo camino del conocimiento.

Así, considero que esto es sólo una pequeña contribución al conocimiento de la cultura matemática del pueblo mapuche, lo que sin duda podría mejorar el diseño de actividades innovadoras y significativas para la adquisición, transmisión y producción de la matemática formal escolarizada, como campo de conocimiento de relevancia pragmática y epistémica. Posiblemente servirá a docentes de todos los niveles educativos que tratan de enseñar la matemática formal escolarizada y se encuentran con una cosmovisión diferente y en muchas ocasiones no disponen de material teórico sistematizado donde recurrir para el diseño de estrategias de enseñanza y además están interesados en rescatar y revalorizar los conocimientos de nuestros pueblos originarios.

Por último deseo agregar que las dificultades para la comprensión de esta extraordinaria lengua oral yace, en parte, en que el traslado del lenguaje oral a la escritura supone años de discusiones y sólo la práctica y el uso de la escritura determinará su uso más exacto, y en parte "la drástica disminución de quienes la hablan que son en su mayoría los ancianos, ya que cada día son menos los que en las nuevas generaciones la conocen y aun menos los que la practican" (Caniguan, 2004, p.15).

Números mapuches