물리기초

미분

눈앞에 사과를 상상해보자. 이 사과는 떨어지고 있을수도, 식탁위에서 굴러가고 있을수도, 어딘가에 놓여있을수도 있다. 아주 짧은 시간이 흘렀을때 이 사과는 물론 아주 짧게 이동할것이다. 멈춰있는 사과는 좀 애매한데, 아무방향으로나 0미터만큼 이동했다고 생각하자.

이 짧은 시간을 0.1초라고 생각하고 사과는 아래로 0.2미터 떨어지고 있었다면 0.1초 동안 평균 사과의 속도는 거리/시간 공식에 따라 2미터/초가 된다. 미터와 초는 국제표준단위이다. 물론 물리학도 이 단위를 따른다.

하지만 우리의 관심을 조금더 끄는 것은 순간속도이다. 그러면 순간속도는 어떻게 구할수 있을까. 우리가 방금 계산에 썼던 짧은 시간을 아주아주아주아주아주아주 짧은 시간으로 바꾸면 되지 않을까?

0.0000000000000000001초 동안 0.0000000000000000023미터 이동했다면(세보지 마시오 ㅡㅡ) 2.3미터/초가 될것이다. 하지만 이렇게 짧은 시간은 측정하기도 힘들뿐더러 측정했다 하더라도 그보다 더 짧은 시간이라는게 항상 존재해서 우리를 애먹인다.

이 불가능 해보이는 상황에서 수학자들은 미분이라는 방법을 찾아낸다. (참 대단한 사람들이다. 그래서 다들 머리가 벗겨지나보다 ㅠㅠ) 순간이라 함은 0초다!... 라고 하고 싶지만 사실은 0초란 시간이 안 움직인 걸 뜻하고 시간이 안움직였다면 우리의 사과가 움직였을리 없다. 그래서 수학자들은 이런걸 고민한다. 측정한 시간이 거의 0초에 가까울때 사과는 얼마나 움직일까?

이 과정이 절묘한게 우선은 이를 식으로 나타내고, 이렇게 나타낸 거리/시간 공식에서 시간의 영향력을 먼저!없애는 방법을 쓴다. 그리고 거리공식에 남아있는 시간의 찌꺼기은 그냥 0이라고 본다. 뭔가 순서를 입맛대로 배열한 느낌이 없잖아 있지만... (자세한건 mit의 온라인 수학강좌를 보자.)

사실 이건 수학의 영역에서만 가능한거다. 현실에서는 미분이 통할리 없다. 왜냐... 무한히 짧은 시간이란 잴 수 없고, 움직임에 영향을 주는 요소가 아주아주아주 많기 때문이다.

하지만 이 중에서 우리가 위치, 속도, 중력 등 특정한 요소만 뽑아서 수학적인 그래프(함수)로 나타낸다면 이론적으로는 문제를 푸는것이 가능하다.

무엇인가 제한함으로서 얻은 이 정보는 틀린게 아닐까? 모든 학문이 그렇듯 물리도 이런 단순한 요소들이 모여서 세계에 대한 넓은 이해를 만들어 주는 것이다.

시작

시작은 가속도에서부터 시작하여 위치까지 찾아가는 과정을 그린다.

물리에서 가장 기본적인 공식은 아래와 같다.

우선 이 공식을 시간에 대해 두번 미분하면 a가 나온다.