D03 ３項間漸化式

３項間漸化式、あるいは、より多い項の間の漸化式で定義された数列の一般項を返すような関数またはコマンドについて考えます。ここでは、一般項がわからない場合を考えます。

定数係数の場合

a_n+2 = p a_n+1 + q a_n + r

のような定数係数の場合は、

| a_n+2 | | p q r | | a_n+1 |

| a_n+1 | = | 1 0 0 | | a_n |

| 1 | | 0 0 1 | | 1 |

という行列表示を利用すると一般項を得られます。表計算ビューを利用する方法もありますが、この方が簡明です。例えば、

a₁ = 2

a₂ = 3

a_n+2 = 4 a_n+1 + 5 a_n + 6

の場合、

n = 8

Element[{ {4,5,6},{1,0,0},{0,0,1} }^(n-1) { {3},{2},{1} }, 2]

で第n項を得られます (n>1)。

しかし、一般には、３項間漸化式の一般項を返すコマンドはこのように定義できても、関数は定義できないと思われます。

最初の漸化式で r=0 の場合は２次行列で定式化できます。

定数係数ではない場合

２項間漸化式の場合と同じく、表計算ビューを利用するしか手はないように思われます。