Exercices et problèmes d'algèbre

Hamza KHELIF

Exercices et problèmes d'algèbre

avec solutions développées

Premier cycle, deuxième cycle des Universités et

des Grandes Écoles scientifiques et techniques

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Format numérique : ASIN: B08G8B3Z6F

Format broché : ASIN : B08GBHDTB7

ISBN : 9798664879728

Format relié : ASIN : B0B5KXDPXP

ISBN : ‎ 9798828829538

Table des matières

Préface……………………………………………………….......................................................................................5

Chapitre I

Applications - Combinatoire - Théorie des nombres

Applications. Exercices 1, 2,3,4………..............……..............................................................................................................................................11

Nombres de Fibonacci. Exercice 5……………………………………………….........................................................................................................16

Nombre d’applications surjectives. Exercices 6,7………………………………................................................................................................18

Permutations de {1, ..., n} sans point fixe. Exercice 8…………………………...................................................................................................25

Partitions d’un ensemble fini. Exercice 9……………………………………….......................................................................................................28

Combinaisons avec répétitions. Exercice 10……………………………………....................................................................................................30

Suites d’entiers à termes carrés parfaits. Exercice 11……………………………............................................................................................33

Sommes de puissances d’entiers. Exercice 12………………………………….....................................................................................................34

Factorielles. Décomposition d'un entier en somme de factorielles. Exercices 13,14 ………………………………….........................35

Nombres de Fermat. Exercice 15………………………………………….. …….........................................................................................................38

Théorème chinois. Exercices 16,17……………………………………………...........................................................................................................40

Nombres premiers. Exercice 18 …………………………………………………..........................................................................................................46

Indicateur d’Euler. Exercice 19………………………………………………….............................................................................................................48

Décomposition d'une permutation en cycles disjoints. Exercice 20 …………………..............................................................................50

Partie entière. Exercice 21………………………………………………………..............................................................................................................53

Fractions continues. Exercice 22………………………………………………….........................................................................................................59

Fonctions génératrices. Exercice 23...................................................................................................................................................................71

Chapitre II

Les trois structures fondamentales : Groupes - Anneaux - Corps

Groupe ]– c, c [ isomorphe à R. Exercice 1 ……………………………..................................................................................................................79

Indice d’un sous-groupe. Exercice 2……………………………………………..........................................................................................................82

Groupes monogènes, groupes cycliques, ordre d’un élément. Exercices 3, 4, 5… ...........................................................................83

Sous-groupes distingués. Exercice 6……………………………………………........................................................................................................91

Normalisateur, centralisateur d’une partie d’un groupe. Exercice 7……………....................................................................................93

Groupe commutateur. Groupe résoluble. Exercice 8 ……………………………............................................................................................94

Sous-groupes additifs de R. Exercice 9…………………………………..................................................................................................................96

Commutativité d’un groupe archimédien. Exercice 10………………………….............................................................................................98

Théorèmes d’Euler, de Fermat et de Wilson. Exercice 11………………...................................................................................................100

Éléments nilpotents, éléments unipotents dans un anneau. Exercice 12………… ............................................................................102

Le Théorème chinois. Exercice 13………………………………………………........................................................................................................106

Idéaux principaux. Exercice 14………………………………………….....................................................................................................................109

Idéaux premiers. Idéaux maximaux. Exercice 15………………………………................................................................................................111

Extension d’un anneau. Extension d’un corps. Exercice 16…………………….........................................................................................113

Pgcd. Ppcm. Exercice 17 ………………………………………………………................................................................................................................117

Anneaux euclidiens. Exercice 18………………………………………………..........................................................................................................118

Anneaux factoriels. Exercice 19 ………………………………………………...........................................................................................................120

Construction de corps finis. Exercices 20, 21…………………………............................................................................................................125

Le groupe des unités de Z [d^(1/2)]. Exercice 22…………………………………............................................................................................126

Extensions galoisiennes. Exercice 23…………………………………………........................................................................................................131

Le corps des nombres constructibles. Exercice 24……………………………….............................................................................................135

Les entiers de Gauss (étude générale). Exercice 25……………………………..............................................................................................137

Chapitre III

Nombres complexes. Polynômes. Fractions rationnelles

Transformations du demi - plan de Poincaré. Exercice 1………………………...........................................................................................147

Transformations de la sphère de Riemann. Exercice 2­…………………………............................................................................................150

Racines n^e de 1. Applications. Exercices 3,4 …………………………...............................................................................................................153

Identités trigonométriques. Exercices 5, 6,7, 8…………………………………................................................................................................156

Décomposition de polynômes. Divisibilité. Exercices 9,10,11,12,13…………....................................................................................165

Polynômes divisibles par leur dérivée. Exercice 14……………………………..............................................................................................171

Primalité de P (n), P élément de Z [X ]. Exercice 15……………………………...............................................................................................172

Deux relations remarquables. Exercice 16……………………………………….................................................................................................173

Polynômes cyclotomiques. Exercice 17……………………………………….......................................................................................................175

Polynômes symétriques. Relations de Newton. Exercice 18…………….................................................................................................179

Résolution de l’équation du 3^e degré. Exercice 19 ……………………………................................................................................................182

Résolution de l’équation du 4^e degré. Exercice 20 ……………………………................................................................................................187

Résultant de deux polynômes. Exercice 21……………………………………....................................................................................................191

Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples. Exercices 22, 23, 24, 25, 26…………....................................194

Polynôme d’interpolation de Lagrange. Exercice 27 …………………………...............................................................................................204

Chapitre IV

Espaces vectoriels

Familles libres. Familles génératrices. Exercice 1………………………………...............................................................................................209

Relation de Grassmann. Exercices 2, 3…………………………………................................................................................................................211

Sommes directes. Exercice 4 …………………………………………………............................................................................................................218

Indépendance linéaire de fonctions. Exercices 5, 6 ……………………………..............................................................................................222

Suites de C linéairement récurrentes. Exercices 7, 8……………………………...........................................................................................226

Projecteurs. Endomorphismes nilpotents. Exercices 9, 10, 11, 12, 13 ………….................................................................................235

Endomorphismes A et B tels que AB – BA = id. Exercice 14 …………......................................................................................................257

Espace vectoriel quotient. Exercice 15………………………………………….....................................................................................................259

Espace vectoriel sur un corps fini. Exercice 16 …………………………………................................................................................................263

Formes linéaires. Dualité. Exercices 17, 18, 19, 20……………………………..............................................................................................267

Chapitre V

Matrices

Matrice d’un endomorphisme. Exercices 1, 2 …………………………...........................................................................................................277

Matrices orthogonales. Exercice 3 ……………………………………………........................................................................................................282

Matrices de passage. Exercice 4 ………………………………………………...........................................................................................................285

Opérations sur les matrices. Exercices 5, 6, 7 …………………………………..................................................................................................287

Trace d’une matrice. Exercice 8 ………………………………………………............................................................................................................294

Matrices magiques d’ordre 3. Exercice 9 ………………………………………...................................................................................................296

Le corps des quaternions. Exercices 10, 11 …………………………….............................................................................................................300

Inversion de matrices. Exercices 12, 13, 14, 15, 16, 17…………………………...........................................................................................310

Exponentielle et logarithme d’une matrice nilpotente. Exercices 18, 19, 20…………….................................................................320

Chapitre VI

Calcul de déterminants

Déterminants d’ordre 3, 4, 5, … Exercices 1, 2, 3, 4, 5 ………………………….............................................................................................331

Déterminants d’ordre supérieur. Exercice 6 …………………………………….................................................................................................339

Déterminant de Vandermonde. Exercice 7 ……………………………………...................................................................................................340

Déterminants d’ordre quelconque. Exercices 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. …………………………..............................................................335

Déterminants circulants. Exercices 15, 16 ……………………………………....................................................................................................359

Déterminant de Vandermonde des racines n^e de 1.Exercice 17 … ……………....................................................................................364

Déterminants particuliers. Exercice 18 …………………………………………...................................................................................................368

Cocyclicité de quatre points. Exercice 19 ………………………………………...................................................................................................371

Chapitre VII

Systèmes d’équations

Systèmes de trois équations et trois inconnues. Exercices 1, 2, 3………………………………...............................................................377

Systèmes de quatre équations et quatre inconnues. Exercice 4…………………....................................................................................382

Systèmes linéaires divers. Exercices 5, 6, 7, 8, 9, 10……………………………..............................................................................................383

Système de Vandermonde. Exercice 11…………………………………………....................................................................................................395

Systèmes linéaires et fractions rationnelles. Exercices 12, 13, 14……….............................................................................................396

Méthode du pivot de Gauss. Exercices 15, 16, 17………………………………..............................................................................................400

Inversion de matrices par la méthode de Gauss. Exercice 18………………….........................................................................................407

Cosphéricité de points. Exercice 19…………………………………….................................................................................................................410

Systèmes d’équations algébriques non linéaires. Exercices 20, 21, 22, 23…………………...............................................................413

Chapitre VIII

Réduction de matrices carrées

Polynômes caractéristiques. Valeurs propres. Vecteurs propres. Exercices 1, 2, 3, 4, 5…………………………….......................419

Réduction à la forme diagonale. Exercices 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ………..................................................................................................433

Réduction à la forme trigonale. Exercices 13, 14, 15……………………………............................................................................................460

Réduction à la forme de Jordan. Exercices 16, 17, 18, 19, 20………………….........................................................................................468

Décomposition de Dunford. Exercices 21……………………………………......................................................................................................490

Chapitre IX

Formes quadratiques

Définitions. Propriétés. Exercices 1, 2………………………………………….......................................................................................................499

Réduction à une somme de « carrés ». Méthode de Gauss. Exercices 3, 4, 5, 6……………...............................................................505

Procédé d’orthogonalisation. Exercice 7……………………………………….....................................................................................................517

Inégalité de Cauchy - Schwarz. Exercice 8……………………………………......................................................................................................520

Réduction à une somme de « carrés » par une transformation orthogonale. Exercices 9, 10………………………....................522

Existence de bases orthogonales. Exercice 11………………………………….................................................................................................534

Réduction à la forme normale. Cas général. Exercice 12..……………......................................................................................................535

Relation d’Euler pour une forme quadratique. Exercice 13…………………….........................................................................................539

Réduction à la forme normale. Applications. Exercices 14, 15………….................................................................................................542

Groupe d’une forme quadratique. Exercice 16…………………………………................................................................................................546

Déterminant de Gram. Exercice 17…………………………………………….........................................................................................................548

Angle d’un vecteur et un sous-espace. Exercice 18……………………………...............................................................................................551

Rotations de R³. Exercice 19……………………………………………………...........................................................................................................554

Application à l’étude des coniques. Exercice 20………………………………..................................................................................................558

Application à l’étude des quadriques. Exercice 21……………………………….............................................................................................571

Bibliographie …………………………………………………………..................................................................581