Exercices et problèmes d'algèbre
Hamza KHELIF
Exercices et problèmes d'algèbre
avec solutions développées
Premier cycle, deuxième cycle des Universités et
des Grandes Écoles scientifiques et techniques
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Format numérique : ASIN: B08G8B3Z6F
Format broché : ASIN : B08GBHDTB7
ISBN : 9798664879728
Format relié : ASIN : B0B5KXDPXP
ISBN : 9798828829538
Table des matières
Préface……………………………………………………….......................................................................................5
Chapitre I
Applications - Combinatoire - Théorie des nombres
Applications. Exercices 1, 2,3,4………..............……..............................................................................................................................................11
Nombres de Fibonacci. Exercice 5……………………………………………….........................................................................................................16
Nombre d’applications surjectives. Exercices 6,7………………………………................................................................................................18
Permutations de {1, ..., n} sans point fixe. Exercice 8…………………………...................................................................................................25
Partitions d’un ensemble fini. Exercice 9……………………………………….......................................................................................................28
Combinaisons avec répétitions. Exercice 10……………………………………....................................................................................................30
Suites d’entiers à termes carrés parfaits. Exercice 11……………………………............................................................................................33
Sommes de puissances d’entiers. Exercice 12………………………………….....................................................................................................34
Factorielles. Décomposition d'un entier en somme de factorielles. Exercices 13,14 ………………………………….........................35
Nombres de Fermat. Exercice 15………………………………………….. …….........................................................................................................38
Théorème chinois. Exercices 16,17……………………………………………...........................................................................................................40
Nombres premiers. Exercice 18 …………………………………………………..........................................................................................................46
Indicateur d’Euler. Exercice 19………………………………………………….............................................................................................................48
Décomposition d'une permutation en cycles disjoints. Exercice 20 …………………..............................................................................50
Partie entière. Exercice 21………………………………………………………..............................................................................................................53
Fractions continues. Exercice 22………………………………………………….........................................................................................................59
Fonctions génératrices. Exercice 23...................................................................................................................................................................71
Chapitre II
Les trois structures fondamentales : Groupes - Anneaux - Corps
Groupe ]– c, c [ isomorphe à R. Exercice 1 ……………………………..................................................................................................................79
Indice d’un sous-groupe. Exercice 2……………………………………………..........................................................................................................82
Groupes monogènes, groupes cycliques, ordre d’un élément. Exercices 3, 4, 5… ...........................................................................83
Sous-groupes distingués. Exercice 6……………………………………………........................................................................................................91
Normalisateur, centralisateur d’une partie d’un groupe. Exercice 7……………....................................................................................93
Groupe commutateur. Groupe résoluble. Exercice 8 ……………………………............................................................................................94
Sous-groupes additifs de R. Exercice 9…………………………………..................................................................................................................96
Commutativité d’un groupe archimédien. Exercice 10………………………….............................................................................................98
Théorèmes d’Euler, de Fermat et de Wilson. Exercice 11………………...................................................................................................100
Éléments nilpotents, éléments unipotents dans un anneau. Exercice 12………… ............................................................................102
Le Théorème chinois. Exercice 13………………………………………………........................................................................................................106
Idéaux principaux. Exercice 14………………………………………….....................................................................................................................109
Idéaux premiers. Idéaux maximaux. Exercice 15………………………………................................................................................................111
Extension d’un anneau. Extension d’un corps. Exercice 16…………………….........................................................................................113
Pgcd. Ppcm. Exercice 17 ………………………………………………………................................................................................................................117
Anneaux euclidiens. Exercice 18………………………………………………..........................................................................................................118
Anneaux factoriels. Exercice 19 ………………………………………………...........................................................................................................120
Construction de corps finis. Exercices 20, 21…………………………............................................................................................................125
Le groupe des unités de Z [d^(1/2)]. Exercice 22…………………………………............................................................................................126
Extensions galoisiennes. Exercice 23…………………………………………........................................................................................................131
Le corps des nombres constructibles. Exercice 24……………………………….............................................................................................135
Les entiers de Gauss (étude générale). Exercice 25……………………………..............................................................................................137
Chapitre III
Nombres complexes. Polynômes. Fractions rationnelles
Transformations du demi - plan de Poincaré. Exercice 1………………………...........................................................................................147
Transformations de la sphère de Riemann. Exercice 2…………………………............................................................................................150
Racines ne de 1. Applications. Exercices 3,4 …………………………...............................................................................................................153
Identités trigonométriques. Exercices 5, 6,7, 8…………………………………................................................................................................156
Décomposition de polynômes. Divisibilité. Exercices 9,10,11,12,13…………....................................................................................165
Polynômes divisibles par leur dérivée. Exercice 14……………………………..............................................................................................171
Primalité de P (n), P élément de Z [X ]. Exercice 15……………………………...............................................................................................172
Deux relations remarquables. Exercice 16……………………………………….................................................................................................173
Polynômes cyclotomiques. Exercice 17……………………………………….......................................................................................................175
Polynômes symétriques. Relations de Newton. Exercice 18…………….................................................................................................179
Résolution de l’équation du 3e degré. Exercice 19 ……………………………................................................................................................182
Résolution de l’équation du 4e degré. Exercice 20 ……………………………................................................................................................187
Résultant de deux polynômes. Exercice 21……………………………………....................................................................................................191
Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples. Exercices 22, 23, 24, 25, 26…………....................................194
Polynôme d’interpolation de Lagrange. Exercice 27 …………………………...............................................................................................204
Chapitre IV
Espaces vectoriels
Familles libres. Familles génératrices. Exercice 1………………………………...............................................................................................209
Relation de Grassmann. Exercices 2, 3…………………………………................................................................................................................211
Sommes directes. Exercice 4 …………………………………………………............................................................................................................218
Indépendance linéaire de fonctions. Exercices 5, 6 ……………………………..............................................................................................222
Suites de C linéairement récurrentes. Exercices 7, 8……………………………...........................................................................................226
Projecteurs. Endomorphismes nilpotents. Exercices 9, 10, 11, 12, 13 ………….................................................................................235
Endomorphismes A et B tels que AB – BA = id. Exercice 14 …………......................................................................................................257
Espace vectoriel quotient. Exercice 15………………………………………….....................................................................................................259
Espace vectoriel sur un corps fini. Exercice 16 …………………………………................................................................................................263
Formes linéaires. Dualité. Exercices 17, 18, 19, 20……………………………..............................................................................................267
Chapitre V
Matrices
Matrice d’un endomorphisme. Exercices 1, 2 …………………………...........................................................................................................277
Matrices orthogonales. Exercice 3 ……………………………………………........................................................................................................282
Matrices de passage. Exercice 4 ………………………………………………...........................................................................................................285
Opérations sur les matrices. Exercices 5, 6, 7 …………………………………..................................................................................................287
Trace d’une matrice. Exercice 8 ………………………………………………............................................................................................................294
Matrices magiques d’ordre 3. Exercice 9 ………………………………………...................................................................................................296
Le corps des quaternions. Exercices 10, 11 …………………………….............................................................................................................300
Inversion de matrices. Exercices 12, 13, 14, 15, 16, 17…………………………...........................................................................................310
Exponentielle et logarithme d’une matrice nilpotente. Exercices 18, 19, 20…………….................................................................320
Chapitre VI
Calcul de déterminants
Déterminants d’ordre 3, 4, 5, … Exercices 1, 2, 3, 4, 5 ………………………….............................................................................................331
Déterminants d’ordre supérieur. Exercice 6 …………………………………….................................................................................................339
Déterminant de Vandermonde. Exercice 7 ……………………………………...................................................................................................340
Déterminants d’ordre quelconque. Exercices 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. …………………………..............................................................335
Déterminants circulants. Exercices 15, 16 ……………………………………....................................................................................................359
Déterminant de Vandermonde des racines ne de 1.Exercice 17 … ……………....................................................................................364
Déterminants particuliers. Exercice 18 …………………………………………...................................................................................................368
Cocyclicité de quatre points. Exercice 19 ………………………………………...................................................................................................371
Chapitre VII
Systèmes d’équations
Systèmes de trois équations et trois inconnues. Exercices 1, 2, 3………………………………...............................................................377
Systèmes de quatre équations et quatre inconnues. Exercice 4…………………....................................................................................382
Systèmes linéaires divers. Exercices 5, 6, 7, 8, 9, 10……………………………..............................................................................................383
Système de Vandermonde. Exercice 11…………………………………………....................................................................................................395
Systèmes linéaires et fractions rationnelles. Exercices 12, 13, 14……….............................................................................................396
Méthode du pivot de Gauss. Exercices 15, 16, 17………………………………..............................................................................................400
Inversion de matrices par la méthode de Gauss. Exercice 18………………….........................................................................................407
Cosphéricité de points. Exercice 19…………………………………….................................................................................................................410
Systèmes d’équations algébriques non linéaires. Exercices 20, 21, 22, 23…………………...............................................................413
Chapitre VIII
Réduction de matrices carrées
Polynômes caractéristiques. Valeurs propres. Vecteurs propres. Exercices 1, 2, 3, 4, 5…………………………….......................419
Réduction à la forme diagonale. Exercices 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ………..................................................................................................433
Réduction à la forme trigonale. Exercices 13, 14, 15……………………………............................................................................................460
Réduction à la forme de Jordan. Exercices 16, 17, 18, 19, 20………………….........................................................................................468
Décomposition de Dunford. Exercices 21……………………………………......................................................................................................490
Chapitre IX
Formes quadratiques
Définitions. Propriétés. Exercices 1, 2………………………………………….......................................................................................................499
Réduction à une somme de « carrés ». Méthode de Gauss. Exercices 3, 4, 5, 6……………...............................................................505
Procédé d’orthogonalisation. Exercice 7……………………………………….....................................................................................................517
Inégalité de Cauchy - Schwarz. Exercice 8……………………………………......................................................................................................520
Réduction à une somme de « carrés » par une transformation orthogonale. Exercices 9, 10………………………....................522
Existence de bases orthogonales. Exercice 11………………………………….................................................................................................534
Réduction à la forme normale. Cas général. Exercice 12..……………......................................................................................................535
Relation d’Euler pour une forme quadratique. Exercice 13…………………….........................................................................................539
Réduction à la forme normale. Applications. Exercices 14, 15………….................................................................................................542
Groupe d’une forme quadratique. Exercice 16…………………………………................................................................................................546
Déterminant de Gram. Exercice 17…………………………………………….........................................................................................................548
Angle d’un vecteur et un sous-espace. Exercice 18……………………………...............................................................................................551
Rotations de R3. Exercice 19……………………………………………………...........................................................................................................554
Application à l’étude des coniques. Exercice 20………………………………..................................................................................................558
Application à l’étude des quadriques. Exercice 21……………………………….............................................................................................571