Le jardin des courbes

REMERCIEMENTS

Je tiens à présenter mes vifs remerciements et à exprimer ma profonde gratitude plus particulièrement à Monsieur Abdelghani ZEGHIB de l’École Normale Supérieure de Lyon (France), Directeur de Recherche au CNRS, pour son soutien qui a ranimé en moi l’enthousiasme et l’amour de la Mathématique ; et avec la même ardeur, à Monsieur Étienne GHYS, de l’École Normale Supérieure de Lyon, Directeur de Recherche au CNRS, Membre de l’Académie des Sciences, pour ses valeureux conseils et les informations intéressantes qu’il m’a gracieusement fournies et qui ont contribué d’une manière substantielle à l’extension et à l’amélioration de cet ouvrage.

Avant-propos

Depuis les Grecs (cinquième siècle avant J.-C.), en passant par les géomètres des cinq derniers siècles, les courbes planes ont fait l’objet de beaucoup de travaux et les résultats que l’on possède sur elles sont nombreux, bien qu’épars, à commencer par les courbes les plus anciennes, les coniques et les conchoïdes (deuxième siècle avant J.-C.), en passant par les ovales de Cassini, les ovales de Descartes, les spirales, jusqu’aux courbes continues et n’admettant de tangente en aucun point, celles dont les supports sont les enveloppes convexes de carrés ou d’autres parties non négligeables du plan, les courbes dont le tout est semblable à la partie, de dimension non entière ou supérieure à un, qui sont à la base de la Géométrie fractale, etc.

Cependant les ouvrages, plus ou moins complets, sur les courbes planes, sont peu nombreux et, de surcroît, ne sont pas accessibles à tout le public de la Mathématique et à tous ses utilisateurs. Ce qui rend certainement l’utilité d’un livre qui ne peut prétendre, non plus, la complétude ni le caractère encyclopédique, sur le sujet, tout à fait incontestable.

Ce livre, qui intentionnellement serait resté, pour ainsi dire, destiné à un usage restreint si les opinions favorables de certains amis mathématiciens dont il semble avoir fait l’unanimité ne l’avaient pas amené à ce stade de vulgarisation, essaie de contribuer à répondre à cette lacune en présentant aux lecteurs amateurs ou mathématiciens, dans sa Deuxième Partie et sous forme de dictionnaire, une multitude de courbes et d’ensembles de courbes planes rassemblées au cours des différentes randonnées dans l’immense espace mathématique à travers les vingt dernières années, des courbes jugées remarquables, comparées aux infinités de courbes planes qu’on rencontre dans l’univers mathématique et dans les différentes disciplines scientifiques. Certaines de ces courbes sont connues de tous les utilisateurs de la Mathématique, d’autres ne sont connues que des spécialistes ; c’est le cas, par exemple, des courbes spéciales : cylindriques, elliptiques, sphériques, des courbes fractales, etc. D’autres encore sont tout à fait inédites ; à certaines de ces dernières j’ai donné les noms qui m’ont paru les plus séants.

Je me suis abstenu délibérément de m’étendre sur la Théorie des graphes et la Théorie des nœuds vu l’ampleur de ces deux théories ; j’invite le lecteur intéressé à se reporter aux titres correspondants de la bibliographie.

Et même si le but essentiel de ce livre demeure sa Deuxième Partie, j’ai jugé utile d’introduire une Première Partie en vue de donner aux lecteurs les rudiments nécessaires, précédés d’une introduction comportant des fragments de l’histoire du développement de la notion de courbe plane depuis les Grecs, et accompagnés de nombreux exemples et exercices qui leur permettront d’aborder, de bien comprendre, et de se familiariser avec ces êtres mathématiques au charme irrésistible.

Le livre s'achève par une Troisième Partie comprenant une succincte conclusion, un lexique sur l'origine (grecque ou latine) des noms de quelques courbes de la Deuxième Partie, les références bibliographiques et sitographiques, l'index des noms propres cités et l'index terminologique.

Dans chaque chapitre de la Première Partie et chaque article de la Deuxième Partie j’ai inséré les numéros des références dans lesquelles j’ai puisé les notions correspondantes et / ou celles qu’on peut consulter pour en savoir davantage. Les articles qui font exception sont ceux dont l’objet est commun et auxquels les références n’ajoutent presque rien, ou ceux dont l’objet, à ma connaissance, ne se trouve nulle part.

J’avertis le lecteur qu’à certains endroits j’ai pris l’initiative d’utiliser les anglicismes centroïde, incentre, circoncentre, excentres, …, pour désigner respectivement le centre de gravité d’un triangle, les centres des cercles inscrit, circonscrit, exinscrits, …

Les notations utilisées ne sont pas parfois conformes à l’usage courant mais plutôt à leurs origines.

Je remercie tous les auteurs et éditeurs dont j’ai utilisé les ouvrages ou les sites Internet pour leur contribution involontaire à la composition de ce livre. À vrai dire, je n’ai ajouté que peu de chose de substantiel à ce qu’ils ont fait. Je cite en particulier Robert FERRÉOL de Mathcurve.com, Michael TROTT de WolframResearch.com et Eric W. WEISSTEIN de MathWorld. Wolfram.com.

Je remercie également les Éditions Ellipses représentées par l’éditrice Corinne BAUD pour son aide pendant le formatage du texte et pour l’intérêt qu’elle a accordé à la présentation de ce livre.

Un grand merci à Salah MEHDI, de l’Université de Metz, pour avoir fait, à mon insu, les démarches auprès des Éditions Ellipses pour la publication de ce jardin des courbes.

El - Oued le 31 août 2009

Sommaire

Première partie

Introduction.........................................................................................................................................................3

Chapitre 1.

Rappels d’algèbre et d’analyse......................................................................................................................7

Chapitre 2.

Espaces affines ................................................................................................................................................15

Chapitre 3.

Courbes planes définies paramétriquement en coordonnées

cartésiennes .....................................................................................................................................................27

Chapitre 4.

Courbes planes définies paramétriquement en coordonnées polaires ....................................37

Chapitre 5.

Courbes planes définies implicitement en coordonnées cartésiennes .....................................45

Chapitre 6.

Longueur d’un arc de courbe. Abscisse curviligne. Courbure .......................................................53

Chapitre 7.

Courbes planes définies en coordonnées barycentriques .............................................................67

Deuxième partie

Dictionnaire ......................................................................................................................................................73

Troisième partie

En guise de conclusion ...............................................................................................................................509

Lexique .............................................................................................................................................................513

Références bibliographiques et webographiques...........................................................................515

Index des noms propres ............................................................................................................................519

Index terminologique..................................................................................................................................525

Informations