Géométries riemannienne et pseudo-riemannienne

Programme

Géométrie riemannienne

Rappels : Variétés différentiables, sous-variétés, immersions, plongements, théorème de plongement de Whitney.

Partition de l'unité.

Connexions affines sur une variété. Tenseurs de torsion et de courbure. Propriétés. Premeière identité de Bianchi.

Métriques riemanniennes. Variétés riemanniennes. Exemples.

Connexion de Levi-Civita. Tenseur de courbure de Riemann. Courbure sectionnelle.

Determination du tenseur de courbure de Riemann à l'aide des courbures sectionnelles de la variété.

Transport parallèle.

Géodésiques. Variété complète. L'application exponentielle.

Courbure de Ricci. Courbure scalaire.

Isométries. Variété riemannienne homogène.

Géométrie pseudo-riemannienne

Produits scalaires pseudo-euclidiens.

Formalisme mathématique de la relativité restreinte.

Variétés pseudo-riemanniennes. Connexions, géodésiques.

Causalité en Géométrie lorentzienne.

Fondement de la relativité générale.

Équation d'Einstein.