Chapitre 1 Généralités et rappels
Résultats classiques d'existence et d'unicité des solutions (Cauchy, Peano, Lipschitz, Osgood, Nagumo).
Théorèmes de prolongement. Points critiques.
Principes de comparaison : problèmes différentiels à conditions initiales et problèmes différentiels aux limites.
Lemme de Grönwall.
Chapitre 2 Systèmes autonomes
Systèmes dynamiques : définitions et propriétés de base ; flot, semi-flot.
Systèmes autonomes : propriétés principales ; points critiques ; systèmes périodiques.
Systèmes autonomes dans le plan : propriétés générales ; classification de Poincaré des points critiques ; plan de phase.
- Systèmes autonomes dans l'espace de dimension n (n>=3) : classifications des points singuliers.
Chapitre 3 Stabilité par la méthode directe (première méthode de Liapounov)
- Stabilité, stabilité globale et comportement asymptotique des systèmes linéaires. Stabilité par rapport à une variété.
- Stabilité par première approximation des systèmes linéaires perturbés. Théorème de Hartmann-Grobmann.
- Théorèmes de la variété stable, instable et centrale ; variété locales et globales.
Chapitre 4 Stabilité et linéarisation (deuxième méthode de Liapounov)
- Définitions et résultats généraux ; notions variées de stabilité et d'instabilité.
- Théorie de Birkhoff des ensembles invariants et positivement invariants.
- Extension de la notion de stabilité asymptotique.
Chapitre 5 Présentation et méthode du tir
- Espace de phase à une dimension : description de la méthode du nullcline dans la droite de phase R^1 :
étude détaillée de l'exemple x'= x^2 . t .
- Le plan de phase : la méthode du tir (du shooting) dans R^2 ; homocliniques et hétérocliniques ;
connections des points critiques : exemples géométriques et computationnels; aspects du diagramme de phase.
- L'espace de phase : applications et exemples dans R^3 .
- La notion des ensembles de Wazewski dans R^n : exemples et applications.