分析導論

此課程主題是函數空間，特別是希爾伯特空間與基礎偏微分方程。

在高等微積分中，我們學過完備賦距空間(metric space，或稱為度量空間)的性質，而線性代數學過具有內積的有限維向量空間（簡稱為內積空間），現在我們要來學希爾伯特空間(Hilbert space)，也就是完備的、維度不一定有限的內積空間。

在線性代數中，向量空間裡的東西都是用矩陣來實現，線性變換也可以寫成矩陣的乘法。在希爾伯特空間中，最常見的例子是 L^2(R^n)-space，也就是把 R^n 空間上所有平方可積函數搜集起來，並利用積分來定義內積的一個向量空間。所以研究向量空間可以解決矩陣相關的問題，例如解代數方程；而研究希爾伯特空間可以解決可積函數的問題，例如用來解積分方程或微分方程。

這門課的目的是傳授當代分析學的基礎。理解希爾伯特空間的基本性質與應用之後，便可以深入學習各種分析理論。對於大學部學生來說，這門課除了可以視為進一步的分析課程，也可以作為整合微積分、線性代數、高等微積分等基礎課程之具體應用。

特別地，我們會介紹 contraction map、Inverse function theorem、Riesz representation theorem、calculus of variation、energy method for PDE。

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