此課程主題是函數空間，特別是希爾伯特空間與基礎偏微分方程。
在高等微積分中，我們學過完備賦距空間(metric space，或稱為度量空間)的性質，而線性代數學過具有內積的有限維向量空間（簡稱為內積空間），現在我們要來學希爾伯特空間(Hilbert space)，也就是完備的、維度不一定有限的內積空間。
在線性代數中，向量空間裡的東西都是用矩陣來實現，線性變換也可以寫成矩陣的乘法。在希爾伯特空間中，最常見的例子是 L^2(R^n)-space，也就是把 R^n 空間上所有平方可積函數搜集起來，並利用積分來定義內積的一個向量空間。所以研究向量空間可以解決矩陣相關的問題，例如解代數方程；而研究希爾伯特空間可以解決可積函數的問題，例如用來解積分方程或微分方程。
這門課的目的是傳授當代分析學的基礎。理解希爾伯特空間的基本性質與應用之後，便可以深入學習各種分析理論。對於大學部學生來說，這門課除了可以視為進一步的分析課程，也可以作為整合微積分、線性代數、高等微積分等基礎課程之具體應用。
如果時間許可，我們預計會介紹 contraction map、Inverse function theorem、Riesz representation theorem、calculus of variation、energy method for PDE。
Reference:
Lecture Notes on Functional Analysis: With Applications to Linear Partial Differential Equations by Alberto Bressan
Linear Integral Equations (Applied Mathematical Sciences Book 82) 3rd Edition by Rainer Kress
Real and Functional Analysis (Moscow Lectures, 4) 2020 Edition by Vladimir I. Bogachev and Oleg G. Smolyanov
本課程會參考上一學年與這學年之高等微積分進度盡量銜接、調整。
建議高等微積分成績達 A- 以上的學生再選修，本課程不會配合落後學生的進度，須自行補足跟上。
本課程對碩士生與大學部學生可能有不同的評分標準。
實際進度（與預計進度）
決定採雙軌並行制，從第一章與第五章分頭上，兼顧基礎與應用。前幾週會先談 l^2，等進入第二章之後才能談 L^2。
介紹動機。直接先上第五章，介紹 l^2 的內積與完備性（當作作業）。
Ch1: 證明 l^2 的完備性、Zorn's lemma 證向量空間都有基底（任兩基底的 cardinality 相同）、separable space
Ch1: Contracting mapping、跳過 Baire，後面很快看完。
Ch5: （跳過 quotient space）。看了一下常見 Banach spaces，沒什麼特別的。（證明 norm 都等價，我今天以為證過了，所以跳過，下次補）。證定理 5.3.4。
Ch5: Section 5.3（證明 norm 都等價。主要討論距離何時能被兩點達到。）
Ch2: 2.2 快結束（Thm 2.2.12 證到一半）
以下沒紀錄，照筆記來補記，不按週次
(3.1) measurable functions, Thm 3.1.5, Thm 3.1.7, Thm 3.1.8
(5.4) Parseval equality, Bessel's inequality, ...
(5.5) convex
Fourier series
Operator theory (Banach-Alaoglu thm)
Holder continuity and Arzela-Ascoli thm
Bressan, Ch4-6
備註：
Bogachev and Smolyanov 的書 5.4之後先講 不一定 complete 的內積空間（他很糟糕地稱為 Euclidean space），再講 Hilbert 再講 Banach space 裡面的性質，整個亂。
Stein 的 Functional Analysis 第一章整理得很好，第二章之後就太進階了(harmonic analysis, distributions, probability, ...)。