本課程為研究所微分幾何基礎課程，假設學生已經學過空間中的曲線曲面理論，例如弧長參數化、測地曲率、第一與第二基本式、高斯曲率...等（常稱為大學部選修幾何）。沒有學過大學部選修幾何的同學也可以直接修這門課，就像沒修過數論的同學也可以直接修代數一樣，只是會覺得很抽象，沒有具體的圖像可以輔助思考。
本課程是以黎曼幾何作為核心，從具有黎曼結構的流形來學習微分幾何。我們會穿插討論一些不需要黎曼結構的理論，例如 Lie 導數與 Killing 向量場，讓學生理解微分幾何和黎曼幾何的差異。從具有較多結構的流形開始學，或許能減少微分幾何的抽象程度。若下學期有繼續開微分幾何課，才會多談沒有黎曼結構的流形理論，如微分式、叢理論、De Rham 理論、Lorentz 度量...等。沒有黎曼結構的情況下，就要使用較多代數與拓樸的工具了。
課本：
M. Do Carmo, Riemannian Geometry.
J. Cheeger and D. G. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry. Chapter 1.
主要參考書目：
John M. Lee, Introduction to Smooth manifolds, GTM 218
T. Aubin, A Course in Differential Geometry, GSM 27
不重要參考書目
M. Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry
P. Petersen, Riemannian Geometry, GTM 171
S. Kobayashi, Transformation Groups in Differential Geometry
Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, UTX
三次考試各 30%
上台講解習題(一次) 10%
(9/9) 微分幾何與黎曼幾何概論
流形的嚴格定義
例子：球面
HW: check the transition function of charts of S^2
(9/16)
實射影空間
切向量與切空間的定義
differential
(9/23)
浸入(immersion)與嵌入(embedding)
向量場與切向量叢
HW: [1], [11]
(9/30)
可定向(orientable)
quotient manifold, Mobius band and Klein bottle
講解習題 [9]
介紹嵌入定理
HW: [2], [6]（所有習題皆可寫）
(10/7)
李括號與李導數
拓樸要求與合一分割(partition of unity)
檢討作業
HW: [12]
(10/14) 第一次期中考
考試兩小時
(10/21)
檢討考卷
解釋第一章第一節
normal curvature and Gauss map, Gauss curvature
Non-Euclidean geometry
Parallel transport
黎曼度量、弧長、體積
(10/28)
isometry & (isometric) embedding theorem
大三幾何：第二基本型與 dN 的係數轉換
高斯絕妙定理與內蘊思維
Christoffel 記號與大三高斯曲率公式
用 E,F,G 公式與 Lap(log lambda) 公式計算球面與 Lobachevsky 上半平面的曲率：1, -1
HW:
flat torus: Example2.7(product metric), [2](local isometry), [4](下一章要用)
(11/4)
大三幾何：協變導數、測地線與平行移動
聯絡(connection)、協變導數、測地線與平行移動
L-C聯絡與克里斯多弗符號
HW: [2], [5,7], [8]
(11/11)
geodesic flow 的存在性
exp map
Gauss lemma
(11/18)
minimizing => geodesic
(totally) normal neighborhood
upper half plane
(11/25) 第二次 期中考
(12/2)
第三章習題很重要
[7] geodesic frames
[8] divergence
[9, 12] Laplacian
[14] normal coordinates
geodesic frame 與 normal coordinates 之關聯
自行做習題
[1] 旋轉曲面與 Clairaut's relation
[5] Killing 向量場
張量計算（一）：將 connection 推廣到可以微分函數與 differential 1-form
(12/9)
檢討考卷
張量計算（二）：一般張量微分公式
Hessian
(12/16)
曲率張量
從微分交換與局部座標計算來定義
一般定義、對稱性
Bianchi identity，可惜目前沒找到有趣的應用
Ricci & Scalar curvature
Bochner formula
(12/23)
Sectional curvature
Curvature of Lie group（自行參考網路上找到的計算，中研院梁惠禎老師提供）
用曲率決定拓樸、sphere theorem
warped product metric and its sectional curvature
SFF, Mean curvature and level sets
Gauss(-Codazzi) equation
Proof of Bochner formula（上次來不及講）可惜目前沒找到有趣的應用
11:40 教學意見調查
(12/30)
take-home exam
一階變分與 Hopf-Rinow Theorem
二階變分
Jacobi filed 與共軛點
應用：
Gromoll-Meyer Theorem and Bonnet-Myers Theorem
The Structure of Complete Stable Minimal Surfaces in 3-Manifolds of Non-Negative Scalar Curvature by D. Fischer-Colbrie and R. Schoen.
(1/6) 交 Take-home exam
Do Carmo 的書在簡短的篇幅內介紹黎曼幾何，相較於其他書（利如 John Lee），細節常常被省略。我認為這樣做是必要的，特別是對那些想學幾何卻不是要做幾何研究的學生。即使要做幾何研究，先從這本書入門也很好，一些細節可以之後再補。
以下略記一些我使用上的具體心得：
Chapter 0
0.1全書最一開始是由 regular surface 引入，為了適應台灣學生，我認為可以舉一些具體的方程式、函數、參數式的例子，而不是直接寫成很像流形與座標的形式。
0.2 因為是直接講可微分流形，不是從拓樸流形開始，所以也沒寫清楚 M 是怎樣的拓樸空間、chart 是 homeomorphism 也沒提（這點很嚴重...）。0.5最後有提到一些，可以考慮拿到前面講。
0.2 舉例說明流形時，沒講球面、直接講RP^n。球面要等0.4定向性那邊才講。我認為可以先講二維球面，定向性那邊講 n 維。
0.2 differential 的定義(Prop2.7)不好，因為這本書是採微分算子的進路來定義切向量，因此比較好的定義也應該是用算子的角度，亦即用 26 頁提到的式子來定義。如此一來，其實不用證 Prop2.7。這部分要花一些心力重新編排。（2023: 也不完全是這樣）
0.3 immersion 和 embedding 的部分有點問題。因為 Do Carmo 常常省略 inclusion，所以寫不清楚，有些地方甚至是錯的，亦如 example3.6 的證明。必須把 inclusion map 交代清楚，例如 regular surface 的定義就要改成 d(i。x)。此外，這部分最好固定記號，不要像 Do Carmo 這樣，有時用 V 表示 R^n 的開集，有時又表示 M 上的開集或 ambient space 的開集。
0.3與0.4多次用到反函數定理，因此要處理 rank 補滿的問題。實在不需要重複那麼多次，而且寫得也只是差強人意。這個證明應該要講清楚一點，然後 formulate 成一個 routine procedure 以便使用。
Example 4.3, 4.7 我跳過沒講。
Quotient manifold 的圖很爛，可以改用 helix \to S^1 來畫示意圖。文字的部分寫得不錯，沒什麼問題。
0.4驗證球面是可定向時，可以用書上寫的"單一交集所以不變號"來證明，但是應該也要從定義來算算看，會發現南北極兩個球極投影是差負號（orientation reversing），可以把這個當做習題，讓學生自己定出正的座標。
習題編排有點亂，而且大多是 orientation 的問題，一開始沒幾題可以寫的。
Chapter 1
Chapter 2
測地線方程出現好幾次，應該可以再編排精簡一點。
Chapter 3
這章內容很重要，但是我總覺得他寫得不好，證明不夠清楚，編排也不夠順。例如 Lemma 2.3 那邊就不知道在幹嘛。定理 3.7 的證明好像也怪怪的。也可能是我沒看懂。
Convex nbd 我只講定理敘述，沒證。其實我從來沒用過這定理。
習題裡有很多重要的東西，例如 normal coordinates。但是 interior product 只有這樣講講好像沒辦法真的學會，因為沒學過 differential form。
Chapter k
不知道為什麼要算能量變分而不是弧長變分，感覺直接算弧長就可以。