Geometry
課程大綱
課本：
Do Carmo, Differential Geometry of Curves and surfaces
其他參考書：
Burago et al., A Course in Metric geometry
O'Neill, Elementary Differential Geometry
Dubrovin, Fomenko, and Novikov, Modern Geometry, I, Ch.1, Ch2. sec.10
Silverman and Tate, Rational Points on Elliptic Curves, Ch.1.
課程規劃
時間：四4五34
地點：SC1003、SC4009-1
本課程分成兩個獨立的主題來進行，週五教「微分幾何」（兩小時），週四教「幾何專題」（一小時）。評分方式也是獨立進行，微分幾何的部分是考試，幾何專題則是繳交報吿。
微分幾何內容
曲線論 x 2weeks
curvature, torsion, and Frenet frame
int k = 2m\pi
曲面論 x 16weeks
Regular surface
Tangent vector and the differential dX
The 1st f.f. and the volume element
Gauss map and dN
2nd f.f.
Gauss and mean curvatures
Ruled surfaces and minimal surfaces（略）
DoCarmo Ch.4 all
Gauss-Bonnet theorem
幾何專題預計內容
Geometric variation in the plane: 用變分證明兩點最短路徑是直線。
等周不等式(DoCarmo 1.7)
Elliptic curves
Vector geometry: 二次型與(曲率)主方向(DoCarmo第三章附錄)、投影矩陣、主成分分析
Distance geometry: MDS
Integral Geometry
Metric geometry: the notion of "curvature"
Topology: product space、Mobius strip、Klein bottle、flat torus、RP^2
Non-Euclidean Geometry: Axioms and Lobachevsky's geometry
Riemannian and Lorentzian geometry: metrics and isometries(O(n)、Galilean group)
書面報告建議格式
標題
主題要與本課程的其中一部份有關。可以從週四的專題裡找有興趣的題材深入查找資料或思考。
學號、姓名、日期
引言：敘述動機或簡介
老師上課提到不可定向的曲面，我對於它的歷史（或性質、...）很感興趣，因此查了ＯＯ（書籍或相關資料來源），發現「可定向」是一個重要的幾何性質，所以以此為主題撰寫這份報告。
主要內容：完整介紹一個主題，或者陳述自己的發現
結論：例如
本報告介紹等周不等式的兩個證明，並比較兩個證明的難易度，...
本報告整理 "Rational Points on Elliptic Curves" 一書之第一章內容，包括...。
本報告證明了...
本報告從課堂上提到的可逆投影矩陣出發，探討一般不可逆矩陣的投影問題，發現...。
本報告將課堂上提到的ＯＯ定理用電腦繪圖製作動畫來呈現。
本報告參考ＯＯ與ＸＸ，將變分法的發展歷史做簡單的介紹。
參考資料
必須註明所有資料來源，並遵守學術倫理或著作權法。
書面報告可參考之主題
拓樸量、歐拉公式（V-E+F=2）
最小作用量原理
有限制條件的變分：拉格朗日乘子法(Lagrange multiplier)
Moebius strip 與不可定向曲面、Klein bottle
等周不等式的變分證明（可向老師要參考資料）
橢圓曲線與 Mordell 猜想
Matrix calculus
distance geometry and Cayley-Menger 行列式
Voronoi diagram 和 Fortune's algorithm 的幾何解釋
Minimal surface（可參考課本 3-5.B.）
Cubic Bézier curve
https://fb.watch/1KXtSqDrmF/
實際進度
週次
參數化與參數不變性、曲率(curvature)
[一次變分]、撓率(torsion)與 Frenet frame、曲率公式與平面曲線
[二次變分]、differential dX 與正則曲面(regular surface)
放假（上週六補：1st fundamental form 與曲面面積、Gauss map 的定義）
[等周不等式]、放假
[rational points on conic and cubic curves]、dN 與第二基本式
[第一次期中考]、principal curvature、高斯曲率與均曲率
[vector geometry - projection formula (normal equation)]、local computations(section 3-3)
[vector geometry - 矩陣微分] section 3-3 結束
[Topology - product of manifolds & homeomorphism]、isometry
[vector geometry - PCA & SVD]、Gauss theorem
[Topology - fundamental group & RP^n]、共變微分與平行
[第二次期中考：local computations]、平行移動與測地線
[Metric geometry]、解測地線& Clairaut's relation &測地曲率
[non-euclidean Geometry(powerpoint)]、測地曲率與 Gauss-Bonnet Theorem
[Integral geometry]、Global Gauss-Bonnet Theorem 與 exponential map
exponential map 與測地極座標、放假
[期末考：計算平行移動、計算測地線、Clairaut's relation 的應用、Gauss-Bonnet Theorem 的應用]
Some reference;