Topics in Modern Differential Geometry

課程內容

106 學年度下學期，我在高師大開設〈近代微分幾何專題〉作為數學系碩士班選修。由於系上學生多以中學數學教育為未來職業，因此本課程之目標並非學習近代微分幾何工具，而是學習近代微分幾何思 想，使得日後到中學任教時能從較高觀點來指導中學生的幾何學習。

• 課程概述： 

本課程主要介紹從十五世紀至今的西方微分幾何學發展。幾何學是數學中最古老的學門之一，從古希臘時期到中世紀晚期的千年間，幾何一直是以平面基本圖形為主要研究對象。然而 在中世紀時，西方學術界由阿拉伯地區重新引進數學知識，包括早期失傳的幾何學以及新近的阿拉伯代數學，使得幾何學的研究產生代數轉向。此時期最重要的發展是座標幾何，亦即 使用座標化的方式來研究幾何圖形。本課程將從座標幾何談起，描述十七世紀的微分學如何影響幾何學的發展，並介紹在接下來兩世紀逐漸形成的微分幾何學與射影幾何學。接下來我 們會介紹幾何學發展的三個面向，一是微分幾何的內蘊化發展、一是希爾伯特的公理化進路、另一則是抽象代數對幾何學的影響。

第一個面向主要是德國數學家高斯與黎曼的貢獻，我們還會介紹內蘊微分幾何如何在義大利學派手中發揚光大，以及後來如何成為廣義相對論的理論基礎。這面向是本學期課程的主要 部分。第二個面向則與幾何學的基礎有關，我們會介紹形式主義數學家如何思考幾何嚴謹性的問題。第三個面向主要談及克萊因(F. Klein)與李(S. Lee)對幾何學的貢獻，特別是他們如何 從代數與不變量的觀點來理解幾何，雖然這部分與微分幾何關聯較小，但作為近代幾何的重要發展之一，我們仍會稍微介紹。 

期待這門課程可以讓學生對於近代幾何學（特別是微分幾何學）的發展有個概括的認識。本課程的先備知識為微積分、基本的矩陣與群的定義，其餘需要用到的數學概念都會在課堂上 講解，不預設學生修過幾何學。

• 評分方式：

  • 本課程將按照課堂參與的程度以及期中期末報告來評分。

• 微分幾何的發軔(3/15)

  • 各種幾何發展：綜合幾何、座標幾何、射影幾何、微分幾何

  • 幾何是研究不變量的理論？

  • 微分幾何介紹：參數式、測地線、Clairaut 定理、Gauss-Bonnet 定理

• 當代微分幾何概念(4/12)

  • 局部座標、聯絡、張量、黎曼曲率

  • 等距嵌入、Nash 嵌入定理

• 從零和賽局到變分法(4/19, 4/26)

  • 零和賽局均衡與 Mountain pass theorem

  • Wiki–變分法（先前已介紹過測地線、最速降線）

  • (4/26)高中科展作品討論（最短路徑、等周不等式、等面積軌跡...等等）

• 變分法與應用(5/3)

  • 證明兩點之間最短距離是直線

  • 證明等周長所圍出最大面積是圓

  • 其他應用：

    • Jacobi field and injectivity radius

• Coxeter 生平與工作介紹(5/10)

  • 影片 https://vimeo.com/120725835 (54mins)：

    1. Coxeter 的研究與藝術的關聯(Escher)

    2. Coxeter 的研究與建築、生物、化學的關聯

    3.  Coxeter 如何拯救了幾何學？(from the hands of Bourbaki，哈哈)

  • Escher 與非歐幾何（可參考資料 http://www.physixfan.com/wp-content/uploads/Escher.pdf）

  • 數學家的屬性介紹：閱讀 Mumford 短文(《數學百草園》)

• 抽象代數與幾何的結合(5/17)

  • 李群與李代數：O(n) 與 SO(n)

  • 代數拓樸：基本群，以 torus 為例

  • 文章欣賞：

    1. 二十世紀的數學 by Atiyah

    2. 表示，隨處可見 by 席南華

• 幾何與相對論(5/24)

  • 邀請成大數學系王業凱教授演講

• 幾何與鏡對稱(5/31)

  • 前往中山大學聆聽梁迺聰教授的演講

• John Nash 與幾何(6/7)

  • 影片：The Extraordinary Theorems of John Nash by Cédric Villani

  • 補充希爾伯特第十九問題、弱解

• 幾何測度論簡介(6/14)

  • 從 Riemann 積分到 Lebesgue 積分

  • converges as measure

• 微分幾何在數據科學的應用(6/14)

  • 流形學習

• （微分形式與張量計算。分解定理：從 de Rham 到 Cheeger-Gromoll）

可參考文章

• 【中文詞條】微分幾何學，胡和生。請自行 google。

• 群論統一幾何學的歷史，邓明立、张红梅。請自行 google。

影片：The Poincare Conjecture by Andrea Valle