Seminar in Functional Analysis II

本學期目標

本課程借用泛函分析之課名，內容主要是討論龐加萊猜想的證明（的大綱與初步細節）。這學期大部份的時間會用來理解 W-functional 如何用來處理瑞奇流的幾何問題。

G. Perelman 將體積、Sobolev 不等式、以及純量曲率三者結合成一個泛函，即 W-functional ，並且證明其單調性。因此緊流形的瑞奇流體積可以由 Sobolev 不等式及純量曲率來控制。Chen-Zheng 證明緊流形的瑞奇流體積具有一明確下界，此下界只依賴於初始流形的幾何資訊。

大綱

1. Review: Riemannian geometry and curvature - depends on background of participants

2. Definition of the Ricci flow

3. Ricci flow as a gradient flow

4. Tensor calculation

5. W-functional and its monotonicity

6. Definition and formulae for Laplacian and Hessian 

7. Two weeks: Chen-Zhang's global volume estimate

8. The last two weeks: Ricci soliton