Elipse
Elipse
En matemáticas , una elipse es una curva en un plano que rodea dos puntos focales de tal manera que la suma de las distancias a los dos puntos focales es constante para cada punto de la curva. Como tal, es una generalización de un círculo, que es un tipo especial de una elipse que tiene ambos puntos focales en el mismo lugar. La forma de una elipse (cómo "alargada" que es) está representado por su excentricidad , lo que para una elipse puede ser cualquier número entre 0 (el caso límite de un círculo ) para arbitrariamente cerca, pero inferior a 1.
Elipses son los cerrada tipo de sección cónica : una curva plana que resulta de la intersección de un cono por un plano . (Véase la figura de la derecha.) Elipses tienen muchas similitudes con las otras dos formas de secciones cónicas: parábolas y hipérbolas , ambos de los cuales son abiertos y sin límites . La sección transversal de un cilindro es una elipse, a menos que la sección es paralela a la del eje del cilindro.
Analíticamente , una elipse también puede definirse como el conjunto de puntos tal que la relación de la distancia de cada punto de la curva de un punto dado (llamado un foco o punto focal) a la distancia desde ese mismo punto de la curva a una línea dada (llamada directriz ) es una constante. Esta relación se llama la excentricidad de la elipse.
Los puntos suspensivos son comunes en la física, la astronomía y la ingeniería. Por ejemplo, la órbita de cada planeta en nuestro sistema solar es de aproximadamente una elipse con el baricentro del par de planetas Sol en uno de los puntos focales. Lo mismo es cierto para las lunas que orbitan los planetas y todos los otros sistemas que tienen dos cuerpos astronómicos. Las formas de los planetas y las estrellas son a menudo bien descritos por elipsoides . Elipses también surgen como imágenes de un círculo bajo proyección paralela y los casos acotado de proyección en perspectiva , que son simplemente intersecciones del cono proyectivo con el plano de proyección. También es el más simple figura de Lissajous forman cuando los movimientos horizontales y verticales son sinusoides con la misma frecuencia. Un efecto similar se lleva a la polarización elíptica de la luz en la óptica .
El nombre, ἔλλειψις (élleipsis, "omisión"), fue dada por Apolonio de Perga en su cónicas , haciendo hincapié en la conexión de la curva con "aplicación de las áreas".
Elementos de una elipse
Véase también: Características de las secciones cónicas
Elipses tienen dos ejes perpendiculares sobre el que la elipse es simétrica . Debido a esta simetría, estos ejes se cortan en el centro de la elipse ( C ). El mayor de estos dos ejes, lo que corresponde a la distancia más grande entre antípodas puntos de la elipse, que se llama el eje mayor (en la figura a la derecha está representado por el segmento de línea entre el etiquetado punto -a y el punto marcado con una ). El menor de estos dos ejes, y la distancia más pequeña entre los puntos antípodas en la elipse, se llama el eje menor . [1] (en la figura de la derecha está representado por el segmento de línea entre el punto marcado con -b al punto marcado b ).
El semieje mayor (denotado por una en la figura) y el semieje menor (denotada por b en la figura) son la mitad de los ejes mayor y menor, respectivamente. A veces se denominan (especialmente en los campos técnicos) las principales y menores semiejes , las principales y menores semiejes , o mayor radio y radio menor .
Los cuatro puntos en los que estos ejes cruzan la elipse son los vértices y se marcan como un , -a , b , y -b . Además de ser a la distancia más grande y el más pequeño del centro, estos puntos son donde la curvatura de la elipse es máximo y el mínimo.
Los dos focos o puntos focales de una elipse son dos puntos especiales F 1 y F 2 en eje mayor de la elipse que son equidistantes del punto central. La suma de las distancias desde cualquier punto P en la elipse a los dos focos es constante e igual al eje mayor ( PF 1 + PF 2 = 2 a ) (en la figura a la derecha corresponde a la suma de los dos verde líneas igualando la longitud del eje mayor que va desde -a a una ).
La distancia al centro de coordinación del centro de la elipse se llama a veces la excentricidad lineal , f , de la elipse. Aquí se denota por f , pero a menudo se designa por c . Debido al teorema de Pitágoras y la definición de la elipse se explica en el párrafo anterior: f 2 = un 2 - b 2 .
Un segundo método equivalente de la construcción de una elipse usando una directriz se muestra en la trama como las tres líneas azules. (Consulte la sección directriz de este artículo para obtener más información sobre este método). La línea azul discontinua es la directriz de la elipse se muestra.
La excentricidad de una elipse, denotado generalmente por ε o e , es la relación de la distancia entre los dos focos, a la longitud del eje mayor o e = 2 f / 2 a = f / una . Para una elipse la excentricidad es de entre 0 y 1 (0 < e <1). Cuando la excentricidad es 0 los focos coinciden con el punto central y la figura es un círculo. Como la excentricidad tiende hacia 1, la elipse para crear una forma más alargada. Se tiende hacia un segmento de línea ( ver más abajo ) si los dos focos se mantienen una distancia finita aparte y una parábola si uno de los focos se mantiene fija como la otra se le permite moverse arbitrariamente lejos. La excentricidad es también igual a la relación de la distancia (como la) de la línea (azul PF 2 ) de cualquier punto determinado de una elipse de uno de los focos a la distancia perpendicular a la directriz de un mismo punto (línea PD ), e = PF 2 / PD .
Elipses de dibujo
La caracterización de una elipse como el lugar geométrico de los puntos de manera que la suma de las distancias a los focos es constante conduce a un método de elaboración de un uso de dos contactos de gráfico , una longitud de cadena, y un lápiz. En este método, se aprietan en el papel en dos puntos, que se convierten en focos de la elipse. Una cuerda atada en cada extremo de los dos pasadores y la punta de un lápiz tira del lazo tenso para formar un triángulo . La punta de la lápiz entonces traza una elipse si se mueve mientras se mantiene la cuerda tensa. El uso de dos clavijas y una cuerda, jardineros utilizan este procedimiento para esbozar una flor elíptica-cama por lo que se llama la elipse del jardinero .
Crear una elipse 3,0 m por 1,5 m
Herramientas necesarias:
5 clavijas y un mazo para conducirlos
una bola de no elástica cuerda de algodón o albañiles línea
una calculadora
Método:
Place PEG centro en C (el centro de la elipse)
Determinar la orientación del eje largo (principal) y, si se desea, coloque una línea larga (más largo que el eje mayor) a lo largo de ese eje que pasa por C
Anote el radio mayor ( un ) y el radio menor ( b ), es decir, la mitad de los ejes mayor / menor completo:
Elipse del jardinero: Ejemplo resuelto
Método de alfileres y cadena
Dibujo de una elipse con dos pasadores, un bucle, y una pluma
Reflexión elipse
La distancia recorrida desde un enfoque a otro, a través de algún punto de la elipse, es el mismo independientemente del punto seleccionado.
La elipse y algunas de sus propiedades matemáticas.
Una elipse obtiene como la intersección de un cono con un plano inclinado.
Calcular las posiciones de los focos ( F 1 ) y ( F 2 )
Nota: Esta es la distancia CF . La distancia F 1 F 2 = 2,598
Coloque las clavijas en consecuencia en F 1 y F 2 en la línea de orientación que haya colocado en el paso 2.
Cortar la cuerda a la longitud del eje mayor, 2a (permitiendo el nudo y termina la cola)
Colocar la cadena en el suelo alrededor de las clavijas F 1 y F 2 , tire tensa y luego se mueve alrededor de la periferia, marca como desee en el suelo. No importa donde Start / Stop.
Una elipse también se pueden extraer utilizando una regla , una escuadra y un lápiz:
Dibuje dos líneas perpendiculares M , N en el papel; Estos son los principales ( M ) y (menores N ) ejes de la elipse. Marcar tres puntos A , B , C de la regla. A-> C siendo la longitud del eje semi-mayor y B-> C de la longitud del semieje menor. Con una mano, mover la regla en el papel, girar y deslizar el fin de mantener el punto A siempre en la línea N , y B en la línea M . Con la otra mano, mantenga la punta del lápiz sobre el papel, siguiendo el punto C de la regla. La punta traza una elipse.
El trasmallo de Arquímedes , o ellipsograph, es un dispositivo mecánico que implementa este principio. La regla se sustituye por una barra con un soporte de lápiz (punto C ) en un extremo, y dos pasadores laterales ajustables (puntos A y B ) que se deslizan en dos ranuras perpendiculares cortadas en una placa de metal. [13] El mecanismo puede ser utilizado con un enrutador para cortar elipses de material de la tabla. El mecanismo también se utiliza en un juguete llamado el "nada amoladora".
Método del paralelogramo [ editar ]
En el método del paralelogramo, una elipse es punto por punto usando puntos equidistantes en dos líneas horizontales y puntos espaciados uniformemente sobre dos líneas verticales construido. Se basa en el teorema de Steiner en la generación de las secciones cónicas. Existen métodos similares para la parábola y la hipérbola.
Definiciones y propiedades matemáticas
En la geometría euclidiana
Definición
En la geometría euclidiana , la elipse se define generalmente como el caso acotada de una sección cónica, o como el conjunto de puntos de tal manera que la suma de las distancias a dos puntos fijos (el focos ) es constante. La elipse también puede definirse como el conjunto de puntos de tal manera que la distancia desde cualquier punto en el que conjunto a un punto dado en el plano (un foco) es una fracción constante positiva inferior a 1 (la excentricidad) de la distancia perpendicular de la punto en el conjunto a una línea dada (llamada directriz ). Sin embargo, otra definición equivalente de la elipse es que es el conjunto de puntos que son equidistantes de un punto en el plano (un foco) y un círculo particular, el círculo directriz (cuyo centro está el otro foco).
La equivalencia de estas definiciones se puede probar usando las esferas Dandelin .
Ecuaciones
La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es el
Método de trasmallo [ editar ]
construcción Elipse aplicar el método de paralelogramo
eje y eje menor es la eje es
( 1 )
Esta ecuación es una consecuencia directa de la definición de los dos puntos focales. Esta ecuación significa una elipse es un círculo unidad a escala por un factor de
en el
dirección y un factor de en el dirección.
La fórmula trigonométrica paramétrica
es equivalente a ( 1 ). sustituyendo
para y para en ( 1 ) se obtiene la base identidad trigonométrica
Enfoque
La distancia desde el centro C de ya sea el enfoque se f = ae , que se pueden expresar en términos de los radios mayor y menor:
La suma de las distancias desde cualquier punto P = P ( x, y ) en la elipse a los dos focos es constante e igual a la longitud del eje mayor:
Esto es sólo una formulación matemática de la definición en la primera frase de este artículo.
La excentricidad de la elipse (comúnmente denota como sea e o
Excentricidad
Relación entre la excentricidad lineal, eje mayor y eje menor, ejemplificado por la (5, 12, 13) de Pitágoras Triple
( 2 )
) es
(donde de nuevo una y b son un medio de ejes mayor y menor de la elipse respectivamente, y f es la distancia focal) o, como se expresa en términos usando el aplanamiento factor de
Otras fórmulas de la excentricidad de una elipse se enumeran en el artículo sobre la excentricidad de las secciones cónicas . Las fórmulas para la excentricidad de una elipse que se expresa en la más general forma cuadrática se describen en el artículo dedicado a las secciones cónicas .
Directriz
Cada foco F de la elipse está asociado con una línea paralela al eje menor llamada directriz . Consulte la ilustración de la derecha, en la cual la elipse está centrada en el origen. La distancia desde cualquier punto P en la elipse al foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto a la directriz, lo que resulta en la igualdad e = PF / PD . La relación de estas dos distancias es la excentricidad de la elipse. Esta propiedad (que se puede probar usando las esferas Dandelin ) puede tomarse como otra definición de la elipse.
Además de la relación bien conocida e = f / una , donde f es la distancia desde el centro hacia el foco y una es la distancia desde el centro hacia los más lejanos vértices (más fuertemente los puntos curvados de la elipse), también es cierto que e = un / d , donde d es la distancia desde el centro a la directriz.
La elipse también puede definirse como el conjunto de puntos que son equidistantes de un enfoque y un círculo, el círculo directriz , que se centra en el otro foco. El radio del círculo es igual a la directriz eje mayor de la elipse, de manera que el enfoque y la totalidad de la elipse están dentro del círculo directriz.
Elipse como hipotrocoide
La elipse es un caso especial de la hipotrocoide cuando R = 2 r , como se muestra en la imagen adyacente.
El área
De directriz circular
Área
{{{}}} anotaciones
delimitada por una elipse es
dónde
y son las longitudes de los ejes semi-mayor y semi-menores, respectivamente. La fórmula del área es intuitiva: comenzar con un círculo de radio
(Por lo que su área es ) Y se extienden por un factor para hacer una elipse. Esta escala la zona por el mismo factor:También es fácil de demostrar rigurosamente la fórmula del área usando la integración de la siguiente manera. La ecuación ( 1 ) puede reescribirse como por esta curva es la mitad superior de la elipse. Así que dos veces la integral de
durante el intervalo de será el área de la elipse:
Una elipse (en rojo) como un caso especial de la hipotrocoide con R = 2 r .
La segunda integral es el área de un círculo de radio
es decir, Asi que
Una elipse definida implícitamente por
es la longitud del semieje mayor, es la excentricidad y la función de es la integral elíptica completa de la segunda clase ,
que calcula la circunferencia de la elipse en el primer cuadrante solo, y la fórmula de la circunferencia de una elipse por lo tanto se puede escribir
La longitud de arco de una elipse, en general, no tiene una solución de forma cerrada en términos de funciones elementales. Integrales elípticas estaban motivados por este problema. La ecuación ( 3 ) se puede evaluar usando directamente la forma simétrica Carlson . Esto da un método iterativo que converge cuadráticamente sucinta y para la evaluación de la circunferencia utilizando la media aritmética-geométrica.
La exacta serie infinita es:
( 3 )
o
dónde
es el doble factorial . Por desgracia, esta serie converge muy lentamente; Sin embargo, mediante la expansión en términos deMarfil y Bessel deriva una expresión que converge mucho más rápidamente,
Ramanujan da dos buenas aproximaciones para la circunferencia en el párrafo 16 de "Las ecuaciones modulares y aproximaciones a
"; que son
y
Los errores en estas aproximaciones, los cuales fueron obtenidos empíricamente, son de orden y respectivamente.
Más en general, la longitud de arco de una parte de la circunferencia, como una función del ángulo subtendido, está dada por una incompleta integral elíptica .
Ver también: arco de meridiano § Meridian distancia en el elipsoide
La función inversa , el ángulo subtendido como una función de la longitud del arco, viene dado por las funciones elípticas .
Algunos límites inferior y superior de la circunferencia de la elipse canónica con son
Aquí el límite superior
es la circunferencia de un circunscrita círculo concéntrico que pasa por los puntos extremos del eje mayor de la elipse, y el límite inferior
es el perímetro de un inscrita rombo con vértices en los puntos extremos de los ejes mayor y menor.
Acordes
Los puntos medios de un conjunto de paralelos acordes de una elipse son colineales. : p.147
Latus recto
Los acordes de una elipse que son perpendiculares al eje principal y pasan a través de uno de sus focos se llaman la recta latera de la elipse. La longitud de cada lado recto es
2 b 2
/
.
Curvatura
a
La curvatura está dada por
Propiedad de ángulo de bisección
Un local normal (perpendicular) a la elipse en cualquier punto P en la elipse biseca el ángulo
a los focos. Esto es evidente de forma gráfica en el método de paralelogramo de la construcción, y se puede demostrar analíticamente, por ejemplo mediante el uso de la forma paramétrica en posición canónica, como se indica a continuación.
Propiedad reflexiva
Cuando un rayo de luz procedente de un foco se refleja en la superficie interior de una elipse, que siempre pasa a través del otro foco. Un rayo de luz que viene de fuera de la elipse hacia un enfoque refleja la elipse en dirección opuesta al otro foco. [22] : pp. 36ff.
Propiedad tangente
El ángulo que contiene parte de la elipse, formado en un punto en el eje principal por una línea tangente a la elipse y el eje principal, ha medir menos de 45 °. : p. 26.
En la geometría proyectiva
En una geometría proyectiva definida sobre un campo, una sección cónica se puede definir como el conjunto de todos los puntos de intersección entre las líneas correspondientes de dos lápices de líneas en un plano que están relacionados por un proyectiva , pero no en perspectiva , un mapa (ver el teorema de Steiner ). Por dualidad proyectiva , una sección cónica también se puede definir como la envolvente de todas las líneas que conectan los puntos correspondientes de dos líneas relacionadas por un proyectiva, pero no perspectiva, mapa.
En una pappian plano proyectivo (definido sobre un campo), todas las secciones cónicas son equivalentes entre sí, y los diferentes tipos de secciones cónicas son determinadas por la forma en que se cruzan la línea en el infinito , que se denota por Ω. Una elipse es una sección cónica que no se cruzan esta línea. Una parábola es una sección cónica que es tangente a Ω, y una hipérbola es uno que cruza Ω dos veces. Desde una elipse no se cruza la línea en el infinito, pertenece propiamente al plano afín determinada por la eliminación de la línea en el infinito y todos sus puntos del plano proyectivo.
Espacio afín
Una elipse es también el resultado de la proyección de un círculo, esfera, o una elipse en una de tres dimensiones espacio afín en un plano (plano), por paralelas líneas. Este es un caso especial de cónica (perspectiva) la proyección de cualquiera de los objetos geométricos en el espacio afín desde el punto O en un plano P , cuando el punto O está situado en el plano en el infinito del espacio afín. En el contexto de pappian planos proyectivas , la imagen de una elipse por cualquier mapa afín (un mapa proyectiva que sale de la línea en el infinito invariante) es una elipse, y, en general, la imagen de una elipse por cualquier mapa proyectiva M tal que la línea M -1 (Ω) no toca o cruza la elipse es una elipse.
En la geometría analítica
Elipse general [
En la geometría analítica , la elipse se define como el conjunto de puntos
del plano cartesiano que, en los casos no degenerados, satisfacen la implícita la ecuación
previsto
Para distinguir los casos degenerados desde el caso no degenerado, vamos Δ ser el factor determinante
es decir,
A continuación, la elipse es una elipse real, no degenerado si y sólo si CΔ <0. Si CΔ > 0, tenemos una elipse imaginaria, y si Δ = 0, tenemos un punto de la elipse. [26] : p.63
los coeficientes de la ecuación general se pueden obtener de semieje mayor conocida
, Semieje menor , Coordina el centro y el ángulo de rotación utilizando las siguientes fórmulas:
Estas expresiones se pueden derivar de la ecuación canónica (véase la siguiente sección) sustituyendo las coordenadas con expresiones de rotación y traslación del sistema de coordenadas:
La forma canónica
Dejar
. A través del cambio de coordenadas (una rotación de ejes y una traslación de ejes ) de la elipse en general se puede describir por la ecuación implícita canónica
aquí
son las coordenadas del punto en el sistema canónico, cuyo origen es el centro de la elipse, cuyo eje x es el vector unitario coincidiendo con el eje mayor, y cuya
eje x es el vector perpendicular coincidiendo con el eje menor. Es decir, y
.
En este sistema, el centro es el origen
y los focos son y .
Cualquier elipse puede obtenerse por rotación y traducción de una elipse canónica con los semi-diámetros adecuados. La expresión de una elipse centrada en
es
Por otra parte, cualquier elipse canónica puede obtenerse a través de la escala del círculo de la unidad de, Definida por la ecuación
por factores a y b a lo largo de los dos ejes.
Para una elipse en forma canónica, tenemos
Las distancias de un punto
en la elipse a los focos izquierdo y derecho se y , Respectivamente.
Los coeficientes de la forma canónica se pueden obtener a partir de los coeficientes de la forma generales utilizando las siguientes ecuaciones:
dónde
es el ángulo desde el eje horizontal positivo al eje principal de la elipse.
El segmento de línea como un tipo de elipse degenerada
Un segmento de línea es una elipse degenerada con semi-eje menor = 0 y la excentricidad = 1, y con los puntos focales en los extremos que surge cuando se requiere la suma de las distancias de un punto de la elipse a los focos para igualar la distancia entre los focos. Aunque la excentricidad es 1 esto no es una parábola. Una trayectoria elíptica radial es un caso especial no trivial de una órbita elíptica, donde la elipse es un segmento de línea.
En trigonometría
Forma paramétrica general
Una elipse en posición general se puede expresar de forma paramétrica como la trayectoria de un punto
, dónde
como el parámetro t varía de 0 a 2 π . aquí
es el centro de la elipse, y es el ángulo entre la eje x y el eje mayor de la elipse.
Forma paramétrica en la posición canónica
Para una elipse en posición canónica (centro en el origen, eje mayor a lo largo del X eje x), la ecuación se simplifica a
El parámetro t (llamada la anomalía excéntrica en astronomía) es no el ángulo de
con el X eje x (véase el diagrama de la derecha).
Para un punto dado de una elipse, fórmulas de conectar el ángulo tangencial
, El ángulo polar del centro de la elipse Y el ángulo paramétrico t [28]son: [29] [30] [31] [32]
Ecuación paramétrica de la elipse (rojo) en la posición canónica. La anomalía excéntrica t es el ángulo de la línea azul con el eje X.
Forma polar con respecto al centro
Forma polar con respecto al foco
Si en lugar de utilizar coordenadas polares con origen en un foco, con la coordenada angular
todavía medido desde el eje principal, la ecuación de la elipse es
donde el signo en el denominador es negativo si la dirección de referencia
Las coordenadas polares se centraron en el centro.
apunta hacia el centro (como se ilustra a la derecha), y positivo si que los puntos de dirección que se aleja del centro.
En el caso ligeramente más general de una elipse con un foco en el origen y el otro foco en la coordenada angular
, La forma polar es
El ángulo
Las coordenadas polares se centraron en el foco.
en estas fórmulas se llama la anomalía verdadera del punto. el numeradorde estas fórmulas es el recto semi-latus de la elipse, denotado generalmente
. Es la distancia desde un foco de la elipse a la elipse en sí, medido a lo largo de una línea perpendicular al eje principal.
La siguiente ecuación de las coordenadas polares ( r , θ ) describe una elipse en general con semidiámetros un y b , centrado en un punto ( r 0 , θ 0 ), con el un eje girado por φ con respecto al eje polar:
donde r es el radio o distancia centro , y
Forma polar general
recto Semi-latus.
Excentricidad angular
es el ángulo cuyo seno es la excentricidad e ; es decir,
Como paramétrica racional polinomio
Una elipse se puede parametrizar como un polinomio de segundo grado racional, en otras palabras, descritas por las ecuaciones
y
implicar y esto implica
Sustituyendo esta ecuación para
en los rendimientos de identidad medio-ángulo primera tangentes
Sustituyendo estos valores para
y en la parametrización trigonométrica encima de los rendimientos
por
esta fórmula representa el cuarto de elipse centrada en el origen con radios y mover hacia la izquierda con el aumento Es fácil comprobar esta calculando
y
Grados de libertad
Una elipse en el plano tiene cinco grados de libertad (el mismo que una sección cónica en general), definiendo su posición vertical y horizontal, la orientación, la forma y escala. En comparación, los círculos de tener sólo tres grados de libertad (posición horizontal, posición vertical y escala), mientras parábolas tienen cuatro. Dicho de otra manera, el conjunto de todas las elipses en el avión, con cualquier métrica naturales (tales como la distancia Hausdorff ) es una de cinco dimensiones colector .
Los cinco grados de libertad se pueden identificar con, por ejemplo, los coeficientes A , B , C , D , E de la ecuación implícita, o con los coeficientes X c , Y c , phi , un , b de la forma paramétrica general. Por lo tanto una elipse está determinada únicamente por cualquier cinco puntos que se encuentran en él.
Aplicaciones
Los puntos suspensivos en la física
Reflectores elípticos y acústica
Ver también: zona de Fresnel
Si la superficie del agua es perturbado en un foco de un tanque de agua elíptica, las ondas circulares de que la perturbación, después de que refleja de las paredes, convergen simultáneamente a un solo punto: el segundo enfoque . Esto es una consecuencia de la longitud total del recorrido es el mismo a lo largo de cualquier camino de la pared de rebotes entre los dos focos.
Del mismo modo, si una fuente de luz se coloca en un foco de un elíptico espejo , todos los rayos de luz en el plano de la elipse se reflejan en el segundo foco. Dado que ninguna otra curva suave tiene una propiedad tal, puede ser utilizado como una definición alternativa de una elipse. (En el caso especial de un círculo con una fuente en su centro de toda la luz se refleja de vuelta al centro.) Si la elipse se hace girar a lo largo de su eje mayor para producir un elipsoidal espejo (específicamente, un esferoide alargado ), esta propiedad se mantiene para todos los rayos fuera de la fuente. Alternativamente, un espejo cilíndrico con sección transversal elíptica se puede utilizar para enfocar la luz a partir de una lineal lámpara fluorescente a lo largo de una línea del papel; tales espejos se utilizan en algunos escáneres de documentos .
Las ondas sonoras se reflejan de manera similar, por lo que en una gran sala elíptica a una persona de pie en un foco puede oír una persona de pie en el otro foco notablemente bien. El efecto es incluso más evidente bajo un techo abovedado en forma de una sección de un esferoide alargado. Dicha sala se llama una cámara de susurro . El mismo efecto se puede demostrar con dos reflectores en forma de las tapas de los extremos de un esferoide tal, colocados uno frente al otro a la distancia apropiada. Ejemplos de ello son el National Statuary Hall en el Capitolio de Estados Unidos (donde John Quincy Adams se dice que ha utilizado esta propiedad para espiar en los asuntos políticos); el Tabernáculo Mormón en la Manzana del Templo en Salt Lake City , Utah ; en una exposición en el sonido en el Museo de Ciencia e Industria de Chicago ; en frente de la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign Foellinger auditorio; y también en una cámara lateral del Palacio de Carlos V, en la Alhambra .
Las órbitas planetarias
En el siglo 17, Johannes Kepler descubrió que las órbitas largo de la cual los planetas viajan alrededor del Sol son elipses con el Sol [aproximadamente] en un foco, en su primera ley del movimiento planetario . Más tarde, Isaac Newton explicó esto como un corolario de su ley de gravitación universal .
Más en general, en el gravitacional problema de dos cuerpos , si los dos cuerpos están unidos entre sí (es decir, la energía total es negativo), sus órbitas son similares elipses con el común baricentro de ser uno de los focos de cada elipse. El otro foco de la elipse o bien no ha conocido significado físico. Curiosamente, la órbita del cuerpo, ya sea en el marco de referencia del otro es también una elipse, con el otro cuerpo, al mismo foco.
Órbitas elípticas de Kepler son el resultado de cualquier fuerza de atracción dirigida radialmente cuya fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Por lo tanto, en principio, el movimiento de dos partículas con carga opuesta en el espacio vacío también sería una elipse. (Sin embargo, esta conclusión hace caso omiso de las pérdidas debidas a la radiación electromagnética y la cuántica efectos , que se vuelven significativas cuando las partículas se mueven a gran velocidad.)
Para órbitas elípticas , relaciones útiles que implican la excentricidad
son:
dónde
es el radio en apoapsis (la distancia más lejana)
es el radio en periapsis (la distancia más cercana)
es la longitud del semieje mayor
También, en términos de
y , El eje semi-mayor es su media aritmética , el semieje menores la media geométrica y el recto semi-latus es su media armónica . En otras palabras,
.
Osciladores armónicos
La solución general para un oscilador armónico en dos o más dimensiones también es una elipse. Tal es el caso, por ejemplo, de un largo péndulo que es libre de moverse en dos dimensiones; de una masa unida a un punto fijo por un perfectamente elástica del resorte ; o de cualquier objeto que se mueve bajo la influencia de una fuerza de atracción que es directamente proporcional a su distancia desde un atractor fijo. A diferencia de las órbitas de Kepler, sin embargo, estos "órbitas armónicas" tener el centro de atracción en el centro geométrico de la elipse, y tienen ecuaciones bastante simples de movimiento.
Fase de visualización
En la electrónica , la fase relativa de dos señales sinusoidales se puede comparar mediante la alimentación a las entradas verticales y horizontales de un osciloscopio . Si la pantalla es una elipse, en lugar de una línea recta, las dos señales están fuera de fase.
Engranajes elípticos
Dos engranajes no circulares con el mismo contorno elíptico, cada pivotante alrededor de un foco y colocado en el ángulo apropiado, girar suavemente mientras se mantiene el contacto en todo momento. Alternativamente, pueden estar conectados por una cadena de eslabones o de la correa de distribución , o en el caso de una bicicleta el principal plato pueden ser elíptica, o un ovoide similar a una elipse en la forma. Tales engranajes elípticos se pueden usar en el equipo mecánico para producir variable de la velocidad angular o par de torsión a partir de una rotación constante del eje de accionamiento, o en el caso de una bicicleta para permitir una velocidad de rotación de manivela con diferentes variando inversamente ventaja mecánica .
Engranajes de bicicleta elíptica que sea más fácil para la cadena se deslice fuera de la rueda para cambiar de marcha.
Un ejemplo de aplicación de engranajes sería un dispositivo que enrolla el hilo en una cónica de bobina en un hilado de la máquina. La bobina tendría que terminar más rápidamente cuando el hilo se encuentra cerca del ápice que cuando está cerca de la base.
Óptica
En un material que es ópticamente anisotrópica ( birrefringente ), el índice de refracción depende de la dirección de la luz. La dependencia puede ser descrita por un elipsoide índice . (Si el material es ópticamente isotrópica , este elipsoide es una esfera.)
En lámpara- bombea láseres de estado sólido, los reflectores en forma de cilindro elíptico se han utilizado a la luz directa de la lámpara de la bomba (coaxial con un eje de elipse focal) a la varilla de medio activo (coaxial con el segundo eje focal).
En producido por láser-plasma EUV fuentes de luz utilizadas en el microchip de la litografía , la luz EUV es generada por el plasma colocado en el foco principal de un espejo elipsoidal y se recoge en el foco secundario en la entrada de la máquina de litografía.
Los puntos suspensivos en las estadísticas y las finanzas
En las estadísticas , una de dos variables vector aleatorio ( X , Y ) se forma conjunta elípticamente distribuye si sus contornos iso-densidad - loci de los valores iguales de la función de densidad - son elipses. El concepto se extiende a un número arbitrario de elementos del vector aleatorio, en cuyo caso en general los contornos iso-densidad son elipsoides . Un caso especial es la distribución normal multivariante . Las distribuciones elípticas son importantes en las finanzas , porque si las tasas de rendimiento de los activos están en forma conjunta elípticamente distribuyen todas las carteras se pueden caracterizar por completo por su media y varianza - es decir, cualquiera de las dos carteras con media idéntica y la varianza del rendimiento de la cartera tienen distribuciones idénticas de la cartera regreso.
Los puntos suspensivos en gráficos por ordenador
Dibujo de una elipse como un gráficos primitivos es común en las bibliotecas de presentación estándar, tales como la MacIntosh QuickDraw API, y Direct2D en Windows. Jack Bresenham en IBM es el más famoso por la invención de primitivas de dibujo 2D, incluyendo la línea y el dibujo del círculo, usando operaciones con enteros solamente rápidas como la suma y la rama de bit de acarreo. MLV Pitteway extendió el algoritmo de Bresenham para las líneas a las cónicas en 1967. Otra generalización eficiente para dibujar elipses fue inventado en 1984 por Jerry Van Aken.
En 1970 Danny Cohen presentado en la conferencia "Computer Graphics 1970" en Inglaterra un algoritmo lineal para dibujar elipses y círculos. En 1971, LB Smith publicó algoritmos similares para todas las secciones cónicas y les demostró tener buenas propiedades. Estos algoritmos necesitan sólo unas pocas multiplicaciones y sumas para calcular cada vector.
Es beneficioso utilizar una formulación paramétrica en gráficos por ordenador porque la densidad de los puntos es mayor donde no es la más curvatura. Por lo tanto, el cambio en la pendiente entre cada punto sucesivo es pequeño, la reducción de la aparente "jaggedness" de la aproximación.
Dibujo con trazados Curva
Curvas de Bézier compuestos también se pueden usar para dibujar una elipse con una precisión suficiente, ya que cualquier elipse puede ser interpretado como una transformación afín de un círculo. Los métodos utilizados spline para dibujar un círculo se pueden utilizar para dibujar una elipse, ya que los constituyentes curvas de Bézier se comportan adecuadamente en tales transformaciones.
Dibujo con tres puntos de un paralelogramo
Construcción de Rytz se puede utilizar para encontrar la menor y ejes mayor y su ángulo de una elipse de diámetros conjugados (que puede ser visto como tres puntos de un paralelogramo). El método utiliza los diámetros conjugados de una elipse para mapear la elipse a un círculo de la unidad bajo transformación afín y calcular los parámetros de la elipse de eso.
Los puntos suspensivos en la teoría de optimización
A veces es útil para encontrar la elipse delimitador mínimo en un conjunto de puntos. El método elipsoide es bastante útil para atacar este problema.
Ver también
Apolonio de Perga , la autoridad clásica
Óvalo cartesiano , una generalización de la elipse
Elipsoide , un análogo dimensional superior de una elipse
Coordenadas elípticas , un sistema ortogonal de coordenadas basado en familias de elipses y hipérbolas
Elíptica ecuación diferencial parcial
Distribución elíptica , en las estadísticas
Construcción de Rytz , un método para encontrar la elipse ejes de diámetros conjugados o un paralelogramo
Esferoide , elipsoide obtenido por rotación de una elipse alrededor de su eje mayor o menor
Steiner circumellipse , la elipse único que circunscribe un triángulo y compartir su centroide
Inellipse Steiner , la elipse única inscrita en un triángulo con tangentes en los puntos medios de los lados '
Superelipse , una generalización de una elipse que puede mirar más rectangular o más "puntiagudo"