Embedded Files
Integración por partes I
El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.
Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata.
Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
Ejercicios
Integrales racionales I
En la integración de funciones racionales se trata de hallar la integral , siendo P(x) y Q(x) polinomios.
En primer lugar, supondremos el grado de P(x) es menor que el de Q(x), si no fuera así se dividiría.
C(x) es el cociente y R(x) el resto de la división polinómica.
Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.
Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes casos:
1º El denominador tiene sólo raíces reales simples
La fracción puede escribirse así:
A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.
Ejemplo
Se efectúa la suma:
Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:
Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador.
Se calculan las integrales de las fracciones simples:
Otra forna de hallar los coeficientes es realizando las operaciones e igualando coeficientes.
Igualamos coeficientes:
Integrales por sustitución I
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la regla de la cadena.
El método se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por sustitución
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla, procedemos a integrar:
3º Se vuelve a la variable inical:
Ejercicios
Si n es par, entonces se pueden escribir senn y cosn en forma de potencias de y respectivamente.
Ejemplos
Ejercicios resueltos de integración por partes
Problemas
Ejercicios de integración por partes
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Soluciones
Ejercicio 1 resuelto
Ejercicio 2 resuelto
Ejercicio 3 resuelto
Ejercicio 4 resuelto
Ejercicio 5 resuelto
Ejercicio 6 resuelto
Ejercicio 7 resuelto
Ejercicio 8 resuelto
Ejercicio 9 resuelto
Ejercicio 10 resuelto
Ejercicios resueltos de integrales racionales
Problemas
Ejercicios integrales racionales
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Soluciones
Ejercicio 1 resuelto
Ejercicio 2 resuelto
Ejercicio 3 resuelto
Ejercicio 4 resuelto
Sustituimos x por −2
Derivamos y volvemos a sustituir por menos −3:
Volvemos a derivar:
Ejercicio 5 resuelto
Ejercicio 6 resuelto
Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1.
Ejercicio 7 resuelto
Ejercicio 8 resuelto
Ejercicio 9 resuelto
Ejercicios resueltos de integrales por sustitución
Problemas
Ejercicios de integración por sustitución
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Soluciones
Ejercicio 1 resuelto
Ejercicio 2 resuelto
Ejercicio 3 resuelto
Ejercicio 4 resuelto
Ejercicio 5 resuelto
Ejercicio 6 resuelto
Ejercicio 7 resuelto
Ejercicio 8 resuelto
Ejercicio 9 resuelto
Ejercicio 10 resuelto
Ejercicio 11 resuelto
Ejercicio 12 resuelto
Ejercicio 13 resuelto
Ejercicio 14 resuelto
Ejercicio 15 resuelto
Page updated
Google Sites
Report abuse