El cálculo diferencial e integral

El cálculo diferencial e integral es la matemática del cambio, de la variación, de la transformación.

El cálculo es la herramienta matemática apropiada para estudiar el movimiento de un objeto bajo la acción de una o varias fuerzas, o un fenómeno de crecimiento o decrecimiento.

Podemos hablar de dos partes muy vinculadas entre sí: el cálculo diferencial y el cálculo integral.

El cálculo diferencial estudia la forma y rapidez con que se producen los cambios, los valores que deben tomar ciertas variables para que los resultados sean óptimos, etc.

Aporta técnicas sencillas para el estudio de temas de fundamental importancia dentro de las distintas ramas de la matemática, física, química, economía, etc.

Por ejemplo:

· en geometría analítica; permite determinar las ecuaciones de la recta tangente y normal a una curva en un punto.

· en física; definir la velocidad instantánea y aceleración.

· en química; definir la velocidad de reacción.

· en economía; definir tasa de variación.

· Permite el cálculo de límites indeterminados.

· permite estudiar funciones mediante el cual podemos obtener sus gráficas.

· permite calcular errores.

El cálculo integral permite resolver el problema de determinar una función a partir de información sobre la rapidez con que cambia, calcular el área de la figura encerrada por una curva, determinar el trabajo realizado por una fuerza variable, hallar áreas, volúmenes, etc.

Concepto de Derivada

No existe fenómeno en la naturaleza o en la sociedad que escape al fenómeno del cambio.

Podemos encontrar muchos ejemplos en nuestra vida coidiana: la población de un país cambia a través del tiempo, la temperatura ambiental cambia durante el año, el área de un cuadrado con la longitud del lado, etc.

El estudio de la variación lleva a construir uno de los conceptos más importantes del Cálculo: la derivada.

El estudio de la derivada como tasa de variación o como razón de cambio tiene numerosas aplicaciones. Por ejemplo una de las más vistas y simples es la velocidad, razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo. Otras pueden ser, la tasa de crecimiento de una población de bacterias (ciencias naturales), la tasa de variación de una reacción química, velocidad de reacción (ciencias naturales) . En Economía se habla de ingreso marginal, costo marginal, utilidad marginal, las cuales son tasas de variación. Otras razones de cambio: del trabajo con respecto al tiempo ,potencia (Física), la razón con la que aumenta la velocidad con la que fluye la sangre según la distancia a la pared de un vaso sanguíneo, la razón con la que se esparce un rumor.

Todos estos ejemplos son casos especiales de un concepto matemático: la derivada.

Derivada de una función en un punto. Función Derivada:

Fórmulas útiles

Ejemplo 2. Velocidad media - Velocidad instántanea

Desde una torre de 450m de altura se deja caer una piedra. Se desea calcular la velocidad a la que cae transcurridos 5 segundos.

Solución: la distancia recorrida en cualquier instante es según una ley física: s(t)=4,9. t²

Calculamos la velocidad promedio en un intervalo de tiempo por ejemplo en (5;5,1):

= 49,49 m/seg

Si consideramos intervalos cada vez más pequeños

§ en (5;5,01) es v_m=49,049m/seg

§ en (5,001) es v_m =49,0049m/seg

Para hallar la velocidad instantánea debemos considerar que el tiempo es un instante único. El intervalo tiene una amplitud que tiende a cero:

Sea (5; 5+h) el intervalo de amplitud h:

La velocidad media es:

agregar formula de veloccidad media

La velocidad instantánea en t=5 es:

Entonces: = 49 m/seg

DEFINICIÓN:

Si s(t) es la posición de una partícula en cualquier instante t Definimos la velocidad instantánea en un instante t₀ como el límite de la velocidad media si el intervalo de tiempo tiende a cero: