Integrales

Integral

Función primitiva o antiderivada

Función primitiva de una función dada f(x), es otra función F(x) cuya derivada es la función dada.

F'(x) = f(x)

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee : integral de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Línealidad de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

Fórmulas de integrales

Sean a, k, y C constantes (números reales) y consideremos a u como función de x y a u' como la derivada de u.

Integral de una constante

La integral de una constante es igual a la constante por x.

Ejemplo

Integral de cero

Integral de x

Si la función a integrar es x, las fórmulas de integración son:

Ejemplos

Integrales de potencias

Ejemplos

Integral logaritmica

Ejemplos

Integral exponencial

Ejemplos

Integral del seno

Ejemplos

Integral del coseno

Ejemplos

Integral de la tangente

Ejemplos

Integral de la cotangente

Ejemplos

Integral del arcoseno

Ejemplos

Integral del arcotangente

Ejemplos

Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente.

Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.

Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para obtener uno en el denominador.

Dentro del binomio al cuadrado multiplicaremos por su raíz cuadrada de 4/3.

Ejercicios integrales

1 Resolver las siguientes integrales de tipo potencial:

1.

2.

3.

4.

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6.

7.

8.

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11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

2 Calcular las integrales logarítmicas:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

3 Resolver las siguientes integrales exponenciales:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

4 Calcular las integrales trigonométricas:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

5 Resolver la integrales trigonométricas:

1.

2.

3.

4.

5.

6 Calcular las integrales:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

6 Problemas de integrales

1.Hallar una función F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2 tome el valor 25.

2.De las infinitas funciones primitivas de la función y = x² - x + 1, ¿cuál es la que para x = 3 toma el valor 5?

3.Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por él punto P(0, 4).

4.Escribe la función primitiva de y = x² + 2x cuya representación gráfica pasa por él punto (1, 3).

5.Calcular la ecuación de la curva que pasa por P(1, 5) y cuya pendiente en cualquier punto es 3x² + 5x − 2.

6.Hallar la primitiva de la función , que se anula para x = 2