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Área de una función y el eje de abscisas
1. La función es positiva
Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.
Ejemplos
1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.
En segudo lugar se calcula la integral:
2. Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.
En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.
2. La función es negativa
Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:
Ejemplos
1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.
2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre π/2 y 3π/2.
3. La función toma valores positivos y negativos
En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.
Ejemplos
1. Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.
El área, por razones de simetría, se puede escribir:
2. Calcular el área del círculo de radio r.
Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².
El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.
Calculamos la integral indefinida por cambio de variable.
Hallamos los nuevos límites de integración.
Área comprendida entre dos funciones
El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.
Ejemplos
1. Calcular el área limitada por la curva y = x2 − 5x + 6 y la recta y = 2x.
En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.
De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.
2.Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.
De x = o a x = 4, la parábola queda por encima de la recta.
3.Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x2 e y = −x2 + 4x.
En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.
Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración.
4. Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x2 − 2x, y = −x2 + 4x.
Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.
5.Hallar el área de de la región limitada por las funciones:
y = sen x, y = cos x, x = 0.
En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones:
La gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de integración.
Ejercicios aplicaciones de la integral. Áreas
Problemas
1. Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.
2. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.
3.Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).
4. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y2 = 4x e y = x2.
5. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.
6.Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1.
7. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).
8. Hallar el área limitada por la recta , el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.
9.Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.
10. Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados.
11. Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9.
12. Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.
13. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje OX.
14. Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2
15. Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.
Soluciones
Ejercicio 1 resuelto
Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.
Ejercicio 2 resuelto
Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.
Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.
Ejercicio 3 resuelto
Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).
Ecuación de la recta que pasa por AB:
Ecuación de la recta que pasa por BC:
Ejercicio 4 resuelto
Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y2 = 4x e y = x2.
Ejercicio 5 resuelto
Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.
·
Ejercicio 6 resuelto
Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1.
Ejercicio 7 resuelto
Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).
Ejercicio 8 resuelto
Hallar el área limitada por la recta , el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.
Ejercicio 9 resuelto
Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.
Ejercicio 10 resuelto
Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados.
Calculamos el punto de corte de la curva y la recta y = 2.
El área es igual al área del rectángulo OABC menos el área bajo la curva y = ln x.
El área de rectángulo es base por altura.
El área bajo la curva y = ln x es:
Ejercicio 11 resuelto
·Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9.
El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.
Hallamos los nuevos límites de integración.
Ejercicio 12 resuelto
Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.
Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.
Hallamos los nuevos límites de integración.
Ejercicio 13 resuelto
Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje OX.
Ejercicio 14 resuelto
Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2
Puntos de corte de la parábola y la recta y = x.
De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola.
De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola.
Ejercicio 15 resuelto
Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.
Puntos de intersección:
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0):
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):
Volumen de una función
El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por:
Ejemplos
1. Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las rectas dadas al girar en torno al eje OX:
y = sen xx = 0x = π
2. Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.
3. Calcular el volumen de la esfera de radio r.
Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².
Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.
4. Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola y2/8 = x y la recta x = 2, alrededor del eje OY.
Como gira alrededor del eje OY, aplicamos:
El volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los extremos y = −4 e y = 4.
Como la parábola es simétrica con respecto al eje OX, el volumen es igual a dos veces el volumen engendrado entre y = 0 e y = 4.
5. Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse 16x2 + 25y2 = 400, al girar:
1 Alrededor de su eje mayor.
2 Alrededor de su eje menor.
Como la elipse es simétrica al respecto de los dos ejes el volumen es el doble del engendrado por la porción de elipse del primer cuadrante en ambos casos.
6. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x −x2, y = −x + 2.
Puntos de intersección entre la parábola y la recta:
La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.
Aplicaciones de la integral. Volumen
Problemas
Ejercicios de volúmenes de funciones
1. Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor OX del área limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.
2. Calcular el volumen que engendra un triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0) al girar 360° alrededor del eje OX.
3. Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por el trapecio que limita el eje de abscisas, la recta y = x + 2 y las coordenadas correspondientes a x = 4 y x = 10, al girar alrededor de OX.
4. Calcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide y = sen x, al girar alrededor del eje OX.
5. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x −x2, y = −x + 2.
6.Hallar el volumen del cuerpo revolución engendrado al girar alrededor del eje OX, la región determinada por la función f(x) = 1/2 + cos x, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = π.
7. Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 6x − x2, y = x.
8.Hallar el volumen engendrado por el círculo x2 + y2 − 4x = −3 al girar alrededor del eje OX.
9. Hallar el volumen de la figura engendrada al girar la elipse alrededor del eje OX.
Soluciones
Ejercicio 1 resuelto
Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor OX del área limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.
Ejercicio 2 resuelto
Calcular el volumen que engendra un triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0) al girar 360° alrededor del eje OX.
Ecuación de la recta que pasa por AB:
Ecuación de la recta que pasa por BC:
Ejercicio 3 resuelto
Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por el trapecio que limita el eje de abscisas, la recta y = x + 2 y las coordenadas correspondientes a x = 4 y x = 10, al girar alrededor de OX.
Ejercicio 4 resuelto
Calcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide y = sen x, al girar alrededor del eje OX.
Ejercicio 5 resuelto
Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x −x2, y = −x + 2.
Puntos de intersección entre la parábola y la recta:
La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.
Ejercicio 6 resuelto
Hallar el volumen del cuerpo revolución engendrado al girar alrededor del eje OX, la región determinada por la función f(x) = 1/2 + cos x, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = π.
Ejercicio 7 resuelto
Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 6x − x2, i = x.
Puntos de intersección:
La parábola queda por encima de la recta en el intervalo de integración.
Ejercicio 8 resuelto
Hallar el volumen engendrado por el círculo x2 + y2 − 4x = −3 al girar alrededor del eje OX.
El centro de la circunferencia es C(2, 0) y el radio r = 1.
Puntos de corte con el eje OX:
Ejercicio 9 resuelto
Hallar el volumen de la figura engendrada al girar la elipse alrededor del eje OX.
Por ser la elipse una curva simétrica, el volumen pedido es 2 en veces el volumen engendrado por el arco entre x = 0 y x = a.
Longitud del arco
La longitud del arco, de la curva f(x), comprendido entre las abscisas x = a y x = b viene dado por la integral definida:
Ejemplo
Hallar la longitud del arco de curva en el intervalo [0, 1].
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