MATEMARAVILLAS

PRODUCTOS ALTERNATIVOS

Multiplicamos con las manos

En este apartado expondré una curiosa manera de hacer productos con las manos.

Siempre ha estado mal visto contar con las manos, así que ahora propondré un pequeño divertimento para romper un poco esta mala imagen de los dedos calculadores. No se trata de ningún método revolucionario ni de cálculo rápido, es un simple pasatiempo...

Será necesario conocer las tablas de los 5 primeros números y de memorizar (calcular) los productos de los múltiples de 5 como se verá.

Este método se puede aplicar a números del 6 al 100, o mayores, pero es más sencillo trabajando con cifras pequeñas, obviamente. Veamos un pequeño estudio demostrativo.

Supongamos que queremos multiplicar 14 x 12, los pasos a seguir son los siguientes:

a) Le restamos 10 a cada número, para poder expresarlo con los dedos, y nos quedan 4 y 2.

b) Eso quiere decir que hemos rebajado en 10 x 10 = 100 el producto.

c) Ahora sumamos los dedos que tenemos 4 + 2 = 6, y esto, lo multiplicamos por 10 (número restado), es decir, 6 x 10 = 60.

d) Finalmente multiplicamos los dedos de cada mano, 4 x 2 = 8.

Ahora sumamos las tres cantidades anteriores: 100 + 60 + 8 = 168,

y ya tenemos el resultado 14 x 12 = 168.

Probemos ahora a multiplicar 18 x 17, de un modo similar efectuaremos:

a) Le restaremos 15 a cada número, para poder expresarlo con los dedos, nos quedan 3 y 2

b) Eso quiere decir que hemos rebajado en 15 x 15 = 225 el producto.

c) Ahora sumamos los dedos que tenemos 3 + 2 = 5, y eso, lo multiplicamos por 15 (número restado), es decir, 5 x 15 = 75.

d) Finalmente multiplicamos los dedos de cada mano, 3 x 2 = 6.

Ahora sumamos las 3 cantidades anteriores: 225 + 75 + 6 = 306, y ya tenemos que

18 x 17 = 306

Otro ejemplo 21 x 23, los pasos a seguir son los siguientes:

a) Le restaremos 20 a cada número y nos quedan 1 y 3, hemos rebajado en 20 x 20 = 400.

b) Ahora sumamos los dedos que tenemos 1 + 3 = 4, lo multiplicamos por 20: 4 x 20 = 80.

c) Finalmente multiplicamos los dedos de cada mano, 1 x 3 = 3.

Sumamos las 3 cantidades: 400 + 80 + 3 = 483, y obtenemos que: 21 x 23 = 483.

Eso funciona para cualquier cifra, pero nos surge un problema si queremos operar cifras de grupos diferentes, es decir, dónde se haya de restar una cantidad diferente a cada mano.

Supongamos que queremos calcular 32 x 18, entonces tenemos que hacer unos pequeños cambios:

a) Le restamos 30 al primer número y 15 al segundo, por tanto, nos quedan 2 y 3.

b) Eso quiere decir que hemos rebajado en 30 x 15 = 450 el producto.

c) Ahora multiplicamos los dedos por la cantidad restada en la otra mano (productos cruzados), o sea, 2 x 15 = 30 y 3 x 30 = 90 y lo sumamos 30 + 90 = 120.

d) Multiplicamos los dedos de cada mano, 2 x 3 = 6.

Ahora sumamos las 3 cantidades anteriores: 450 + 120 + 6 = 576, así que: 32 x 18 = 576

Una poco más complicado en este caso, pero funciona igualmente.

Para acabar con este método, y para los más avanzados, presentaré su demostración:

Dados dos números x e y, los podemos expresar en forma de un múltiplo de 5 más un resto:

x = 5·m + a; y = 5·n + b. 5·m y 5·n son los múltiplos de 5 que restaremos, a y b los dedos.

Entonces tenemos que: x · y = (5m + a) · (5n + b) = 25·m·n + a·5n + b·5m + a·b.

Por tanto: 25·m·n es la primera cantidad rebajada, a·5n + b·5m los productos cruzados y a·b el producto de los dedos.

Obviamente, si m = n, el cálculo es más rápido: 25·n² + (a + b)·5n + a·b.

Ahora ya podréis ir presumiendo de que ¡¡sabéis multiplicar con las manos!!

Un método diferente y más rápido de multiplicar

Buscando métodos de calculo mental o rápido diseñé una pequeña estrategia que, después de un poco de práctica, me funciona muy bien para hacer productos con números no muy grandes. Lo llamo "método de las decenas cruzadas" y funciona de la siguiente manera:

Tenemos, por ejemplo, el producto 27 x 34,

· Primer paso: Calcular las unidades: 7 x 4 = 28, por tanto, el resultado acaba en 8 y tengo 2 decenas.

· Segundo paso: Calcular las decenas, esto se hace en dos partes: 34 x 2 = 68 y 3 x 7 = 21.

es decir, las 2 decenas del primer número por el otro 34 y las 3 decenas del segundo por 7.

· Tercer paso: Sumamos todas las decenas 2 + 68 + 21 = 91. El resultado es 918.

Otro ejemplo, el producto 37 x 52,

· Primer paso: Calcular las unidades: 7 x 2 = 14, el resultado acaba en 4 y me llevo 1 decena.

· Segundo paso: Calcular las decenas en dos partes: 52 x 3 = 156 y 7 x 5 = 35.

· Tercer paso: Sumamos todas las decenas 1 + 156 + 35 = 192. El resultado ahora es 1.924.

Puede parecer complicado de entrada, pero con un poco de práctica, he comprobado que funciona bastante bien como un recurso de cálculo mental.

Método "lineal de los productos cruzados"

Este es un método de multiplicar mucho interesante que no necesita hacer la suma final de hileras de números, se resuelve linealmente siguiendo un esquema predeterminado.

Esta ilustración nos indica como tenemos que ir operando los diferentes números:

DECIMALES PERIÓDICOS

La sorprendente belleza de la infinitud

Estoy seguro que siempre que estáis calculando una división y habéis llegado, finalmente, a obtener la conocida repetición infinita de cifras -o bien, al resto 0 de una división exacta, que también se podría considerar un decimal de período cero- os habéis sentido tan liberados de la pesada carga de seguir operando, que, probablemente, no os habéis fijado en que aquellas cadenas de cifras esconden una belleza especial y sorprendente. O quizás, sólo me lo parezca a mí que soy un loco del cálculo.

Supongo que la mayoría de vosotros, internautas perdidos en esta página de divagaciones numéricas, ya sabréis que existen dos tipos de decimales periódicos:

(Nota: Parece mentida que no se pueda escribir el signo del período con el ordenador, me quejaré a Bill Gates :-(

y ¿ahora qué pongo yo en lugar de la simpática "barretina" de los números periódicos?

Pues bien, he pensado de ponerlos entre acentos, subrayados y en cursiva.

y si alguien tiene una solución mejor que me lo diga, que si me agrada, le regalaré alguna cosilla...)

· Puros: Cuando el período comienza justo detrás de la coma: 6,´83` ; 25,´3` ; etc.

· Mixtos: Cuando entre la coma y el período encontramos varias cifras: 4,1´6` ; 7,50´48`

En general los períodos puros se obtienen a partir de los números primeros y los mixtos de sus múltiples combinados con las cifras 2 ó 5.

Hechas estas puntualizaciones, pasemos a observar las cifras periódicas obtenidas con diversos números primos:

Si dividimos por 3 se pueden obtener los períodos ´3`, ´6` o división exacta (de hecho 1 = ´9`), este caso es muy conocido, y lo único que nos puede hacer pensar es que los períodos son todos múltiples del ´3` que podríamos considerar como la base.

Los números 9 y 11 parecen tener una cierto "idilio" entre ellos, ¿no os lo creéis?

Pues, ahora vais a ver lo que se dicen el uno al otro:

NUEVE: "Mira Once, ¡Yo soy la cifra unitaria mayor que existe!" (en sistema decimal)

ONCE: "Escucha Nueve, Yo soy el número máximo de dos cifras que se puede escribir en todos

los sistemas de numeración posibles!*. Además, yo soy capaz de enseñar tu tabla de

multiplicar ¡mejor que tú mismo!"

(*) Efectivamente, tiene toda la razón, porque desde el sistema binario hasta cualquier otro, siempre hallaremos el número 11, con diferentes valores, claro!...

NUEVE: "¡Pero qué dices!. Yo soy el único número que puede construir la "sagrada tabla del 9",

la única en la cual todos sus valores son "múltiplos sinceros" y en la cual a cada paso las

decenas aumentan en (+1) y las unidades disminuyen en (-1). ¡Ninguna otra es comparable!.

¿Cómo puedes, pues, afirmar que tú la puedes enseñar mejor que yo?"

ONCE: "Así es, porque cuando tú la construyes sólo das la solución una vez, yo en cambio

soy capaz de hacer tu tabla dando los resultados repetidos ¡infinitas veces!"

NUEVE: "No hables más y demuéstralo, que de bocazas está el mundo lleno!"

ONCE: "Observo una gran incredulidad por tu parte, así que escúchame bien:

Cuando tu construyes tu tabla te vas multiplicando por las demás cifras, yo en cambio utilizo

la división, sí chico sí, construyo tu tabla, infinitamente repetida, ¡DIVIDIENDO! así,

1/11 = 0,09090909... = 0,´09` ; 2/11= 0,181818... = 0,´18` ;3/11 = 0,272727 = 0,´27`

y sucesivamente hasta el 9/11 = 0,8181... = 0,´81` y 10/11 = 0,909090 = 0,´90`

ya han de ser "despistados" si no la aprenden conmigo que ¡se la repito infinitas veces!

Y como ya sabrás, también soy el único número capaz de clonar cifras ... "

NUEVE: "Lo he de reconocer, eres seguramente el mejor maestro de la tabla del 9.

pero tanto que presumes de ser capaz de clonar cifras, ya te gustaría a tí poder

clonar un número infinitamente, incluso tú pretendías ser una cifra repetida indefinidamente y

pobrecito mío, ¡te quedaste en sólo dos! Seguro que tienes envidia del 1111...

En cambio yo soy capaz de clonar cualquier cifra por sí misma hasta el infinito.

Lo quieres ver? 1/9 = 0,11111... = 0,´1` ; 2/9 = 0,2222... =0,´2` ; 8/9 = 0,´8`

Soy el rey de la clonación. ¡Ay, si yo hubiese agarrado a la pobre 'Dolly'!"

De verdad que en el fondo se estiman, pero, ¡se distraen así!...

Periodicidad de ciclo completo y de ciclo parcial

La división entre 7 da lugar a números decimales con un período de seis dígitos, es el primero de los números que tienen la "periodicidad de ciclo completo", una característica bastante especial y curiosa. Veamos en que consiste:

1 / 7 = 0,142857142857... = 0,´142857` ; 2 / 7 = 0,´285714` ; 5 / 7 = 0,´714285` ; etc.

Es evidente que en todos los casos se repiten las cifras del período, sólo cambian de orden.

es decir, cumplen un ciclo completo y cerrado. Eso puede parecer poco interesante, pero si probamos a multiplicar las cifras de este período resultante, 142857, por otros números, tendremos una pequeña sorpresa, ya que siempre se repiten estas cifras en una rotación.

142857 x 2 = 285741 ; 142857 x 3 = 428571 ; 142857 x 4 = 571428

142857 x 5 = 714285 ; 142857 x 6 = 857142 ; 142857 x 7 = 999999

Con el producto por 7 culmina la serie con ¡un triunfal 999999!

Si se prueba con números mayores que 7, entonces vuelve a salir la serie pero será necesario sumar la primera y la última cifra: 142857 x 8 = 1142856 ; 142857 x 9 = 1285713

Esta pequeña maravilla del cálculo no es un fenómeno aislado, de hecho es habitual en otros números primeros, como el 17, que tiene un período de 16 cifras:

1 / 17 = 0,´0588235294117646` ; 2 / 17 = 0,´1176460588235294` ; etc.

y que también podría tener el fenómeno de los productos cíclicos, si no fuese por pequeñas irregularidades:

0588235294117646 x 2 = 1176470588235292 ; etc.

También lo encontramos en el 19, que tiene un período de 18 cifras:

1 / 19 = 0,´0,052631578947368421` ; 2 / 19 = 0,´105263157894736842` ; etc.

el cual cumple totalmente el fenómeno de los productos cíclicos, como se puede observar:

052631578947368421 x 2 = 105263157894736842

052631578947368421 x 7 = 368421052631578947

052631578947368421 x 19 = 999999999999999999

Podríamos continuar con este capítulo indefinidamente, expongo un par de ejemplos más:

El número 23 tiene un período de 22 cifras: 0,´0434782608695652173913`

El número 29 tiene un período de 28 cifras: 0,´0344827586206896551724137931`

La conclusión es clara, la mayoría de los números primeros dan lugar a decimales periódicos con un ciclo completo de n - 1 cifras.

Quizás algunos de vosotros habréis pensado: "Este tío es supersticioso y se ha dejado el 13"

¡Pues no!, si queremos a los números, los tenemos que estimar a todos y no hacer caso de lo que dice la gente... (por cierto hoy, que escribo esto, es viernes 13)

El número 13 es el primero de los números que tienen la "periodicidad de ciclo parcial" y lo cual consiste en que aparecen dos tipos diferentes de períodos, con la mitad de la longitud, depende de cuales sean los dividendos utilizados, es decir:

1 / 13 = 0,076923076923 = 0,´076923` ; 2 / 13 = 0,153846153846 = 0,´153846`

3 / 13 = 0,230769230769 = 0,´230769` ; 5 / 13 = 0,384615384615 = 0,´384615`

Si ahora probamos a hacer los productos cíclicos, hallaremos que cumplen perfectamente, y que los resultados obtenidos son las cifras de uno o del otro tipo de período:

076923 x 2 = 153846 ; 076923 x 3 = 230769 ; 076923 x 9 = 692307

y como ya os podéis imaginar: 076923 x 13 = 999999

todo perfecto otra vez, así que de supersticioso nada, que el 13 también hace las coses como debe.

Otros números que cumplen la "periodicidad de ciclo parcial" son:

El 31, que tiene también un período fraccionado en dos partes de 15 cifras:

Ex. 1 / 31 = 0,´032258064516129` y 3 / 31 = 0,´096774193548387`

El 43, con un período fraccionado en dos partes de 21 dígitos:

Ex. 1 / 43 = 0,´023255813953488372093` i 2 / 43 = 0,´046511627906976744186`

El 53, con un período fraccionado en cuatro partes de 13 dígitos::

Ex. 1 / 53 = 0,´0188679245283` ; etc.

Bien lo dejo aquí, las ideas ya han quedado suficientemente expuestas...

Me parece que este capítulo nos ha permitido descubrir una poco más que los números parecen tener un alma lógica y bella escondida bajo una fría apariencia, ¿o no?

(índice)