2.4 Sammenhæng mellem variable

Ofte har man en række data med samhørende værdier for to variable, x og y, fx opstillet i en tabel. For at undersøge, om der er en matematisk sammenhæng mellem de to variable, kan man tegne et xy-plot af disse. Her vil man hurtigt kunne se, om der er en sammenhæng, eller om værdierne af de variable varierer på tilfældig måde. Hvis de indtegnede punkter i xy-plottet ligger omkring en kurve, er der stor sandsynlighed for at der er en sammenhæng, hvorimod hvis punkterne danner en ”sky” af punkter i koordinatsystemer, er der ingen sammenhæng.

I tabellen herunder er der en opgørelse over, hvor længe buspassagerer har ventet på bussen 1A i København, hvor længe deres tur har varet, og hvor lang en strækning de har kørt med bussen.

Både ventetid ved stoppestedet og afstanden man skal køre i bus er variable, men der er selvfølgelig ingen sammenhæng mellem disse to variable. Det ses også i Diagram 1 herunder, hvor punkterne ligger tilfældigt fordelt i koordinatsystemet.

Derimod vil man forvente, at der er en sammenhæng mellem afstand og tid, når man sidder i bussen. Det ses i Diagram 2 herunder, hvor der er en forholdsvis pæn systematik i måden hvorpå punkterne ligger.

Når man skal finde et mønster i et datasæt, betyder det, at man skal finde den type sammenhæng, der bedst beskriver data. Derfor har vi brug for at beskrive forskellige typer af sammenhænge og deres karakteristiske egenskaber. En sammenhæng mellem to variable beskrives mest hensigtsmæssigt ved en formel, der angiver sammenhængen. Formlen findes lettest ved at benytte det vi kalder for "regression", som beskrives herunder.

Regression

I det følgende beskrives de enkelte trin man skal igennem for at kunne undersøge om der er en sammenhæng mellem variable, og i så fald hvordan man finder formlen der beskriver sammenhængen matematisk. Formlen kalder man for en matematisk model, og man siger at man laver en regression på data for at finde den matematiske model. Metoden beskrives vha. variablene "Køretid i minutter" og "Afstand i km".

Indtastning af dataserier

Det anbefales at indskrive de to variable som to kolonner i et regneark. Bemærk at tallene ikke behøves at blive indskrevet i en voksende rækkefølge. Husk at holde styr på hvilket tegn du skal anvende som kommaet i decimaltal, det afhænger af det softwareprogram du benytter. Typisk vil det være sådan at softwareprogrammet placerer tal i højre side af cellerne. Så hvis dine tal bliver placeret i venstre side af cellerne, har du nok anvendt det forkerte tegn. Anvendes GeoGebra, som vist i figuren herunder, skal man bruge et punktum.

Punktplot

Indsæt altid data i et punktplot. Nogle softwareprogrammer benytter måske et lidt andet navn end punktplot; Punktdiagram, xy-plot eller xy-diagram betyder det samme.

Valg af matematisk model

Vælg den matematiske model der tegner en kurve, som bedst passer til punkterne. Det man kigger efter er, hvorledes punkterne fordeler sig om den kurve der tegnes. Punkterne skal fordele sig jævnt omkring linjen uden en systematik i om de ligger over og under kurven.

I eksemplet herunder passer den lineære model, som er vist på billedet til venstre, bedre til punkterne end den eksponentielle model, som er vist på billedet til højre. Det skyldes at det synes tilfældigt om punkterne ligger over eller under kurven ved den lineære model, mens der er en klar systematik i hvordan punkterne ligger fordelt om kurven ved den eksponentielle model. Her ligger alle de midterste punkter nemlig over kurven, mens de yderste punkter ligger under kurven.

Man skal huske at benytte en matematisk model, som er i overensstemmelse med den virkelighed man forsøger at beskrive. F.eks. vil en polynomiel model af 5. grad passe næsten perfekt med punkterne, som det ses i figuren herunder, men modellen giver ikke mening hvis vi forsøger at anvende den på en køretur der varer 35 minutter. Ved 35 minutter ser vi nemlig at den tilbagelagte afstand ifølge modellen er mindre end den tilbagelagte afstand efter 30 minutter.

Formel for matematisk model

Når man har fundet den bedste matematiske model, skal man have fundet en formel for den kurve der er blevet tegnet. Hvordan man finder formlen afhænger at hvilket softwareprogram man arbejder med. I dette eksempel kan vi ovenfor aflæse at formlen for sammenhængen er y = 0,23 · x - 0,27.

Videovejledning

I afsnit 2.6 kan du se videovejledninger til regression vha. GeoGebra, WordMat og Excel.

Konklusion

Vi kan konkludere at den bedste matematiske model til at beskrive sammenhængen mellem de to variable "Køretid i minutter" og "Afstand i km" er en lineær model med formlen y = 0,23 · x - 0,27, hvor y angiver afstanden i km og hvor x angiver køretiden i minutter.

Opgaver

Opgave 2.14

Opgave 2.15

Næste afsnit: 2.5 Typer af sammenhænge