Embedded Files
Hverdagssprog og formelsprog
Hverdagssprog og formelsprog
Når du skal regne noget ud, har du brug for at vide, hvordan man gør. Hvis vi skal udregne arealet af et gulv med længde 7,2 m og bredde 4,3 m, skal vi blot gange de to tal med hinanden, og vi får arealet til at være:
A = 7,2 m · 4,3 m = 30,96 m2
Nu er det nok de færreste, der lige er interesseret i arealet af netop dette gulv. Men man kunne få brug for at finde arealer af andre rektangler. Hvis vi skal finde arealet af et rektangel, skal vi blot kende de to sidelængder og så gange dem med hinanden. Da rektangler findes i alle mulige størrelser og former, vil både rektanglets længde og bredde være variable. Lad os bruge symbolet l for rektanglets længde og symbolet b for rektanglets bredde. Arealet er også en variabel, da det også varierer fra det ene rektangel til det andet. Lad os bruge symbolet A for denne variabel.
At vi skal gange længde med bredde for at finde arealet kan udtrykkes ved formlen:
A = l · b
Herved har vi opnået en ligning, der udtrykker en sammenhæng mellem de tre variable: længde, l, bredde, b og areal, A. Fordelen ved at skrive en sådan formel op er, at man hurtigt kan se, hvordan arealet udregnes. Desuden kan man nemt selv udregne arealet ved blot at indsætte de aktuelle værdier for længde og bredde på de tilsvarende variables plads i formlen og så udregne værdien. På denne måde er formlen for rektanglets areal en kort måde at beskrive, hvordan rektanglets areal udregnes. Samtidig er formelsproget internationalt, så formlen vil blive forstået over det meste af verden, hvis altså folk kan matematik.
Eksempel 2.2.1 - Cirkel og cylinder
Arealet af en cirkel kan findes ved at multiplicere π med radius i anden potens. Her er både cirklens radius en variabel, hvor vi bruger symbolet r, og arealet er også en variabel, og her bruger vi symbolet, A. Formlen kan så skrives (læg mærke til, at vi ofte udelader gangetegn mellem variable i formler):
A = π r2
Rumfanget af en cylinder kan findes ved at multiplicere arealet af grundfladen med cylinderens højde. Grundfladen er en cirkel med radius, r , og lader vi h betegne højden, kan formlen for rumfanget, V, skrives:
V = A · h
V = π · r2 · h
Eksempel 2.2.2 - Pyramide
Hvis vi skal finde rumfanget af en pyramide, så kan vi gange grundfladens areal med en tredjedel af højden. Her er to variable, nemlig højden af pyramiden. Lad os bruge symbolet, h, for denne. Grundfladens areal er en anden variabel, og lad os bruge symbolet, A, for denne. Så kan vi omsætte beskrivelsen i ord til formlen:
V = 1/3 · h · A
hvor symbolet, V, betegner rumfanget.
Ofte vil man i matematik arbejde med metoder til at løse konkrete problemer uden at arbejde med de konkrete tal, der optræder i forskellige problemstillinger. Derfor vil det være hensigtsmæssigt ikke at angive de konkrete tal i en udregning, men at lade bogstaver repræsentere de tal, der skal indgå i regningerne – altså at bruge variable for tallene i stedet for de konkrete tal. På denne måde kan man bedre analysere selve beregningsmetoderne. Man kan nemmere overskue de regnemetoder, som anvendes.
Lad os se på et eksempel:
Tænk på et tal, læg 4 til tallet.
Gang så med 2.
Træk 6 fra resultatet.
Gang nu med 5.
Træk endelig 10 fra.
Prøv proceduren på et par konkrete tal, som du selv vælger og få herigennem en ide om, hvad der sker med tallet. Måske kan du allerede overskue, hvad der sker i regneprocessen. Hvis du starter med 7 ender du med 70. Hvis du starter med 3 ender du med 30. Ligegyldigt hvad du starter med, så ender du med et resultat, der er 10 gange større end starttallet.
Lad os analysere regningerne. Det tal, du starter med, er en variabel, for du kan jo starte med, hvad du vil. Lad os kalde tallet for a:
1) Tænk på et tal, læg 4 til tallet. a + 4
2) Gang så med 2. 2 · (a + 4) = 2a + 2 · 4 = 2a + 8
3) Træk 6 fra resultatet. (2a + 8) – 6 = 2a + 2
4) Gang nu med 5. 5 · (2a + 2) = 5 · 2a + 5 · 2 = 10a + 10
5) Træk endelig 10 fra. (10a + 10) – 10 = 10a
Heraf ses, at slutfacit præcis er 10 gange større end starttallet.
Eksempel 2.2.3 - Snor om kugle
Et reb lægges omkring Jorden ved ækvator, så det er helt stramt. Så forlænges rebet med 1 meter og løftes op, så det overalt er lige højt over jorden. Hvor højt ligger rebet nu?
Jordens omkreds er 40.000.000 m ved ækvator, og det er således også rebets længde inde vi forlængede det. I en cirkel er de to variable, radius r, og omkreds O, forbundet ved følgende formel:
O = 2π · r eller
Vi kan derfor udregne Jordens radius, og det er også radius i den cirkel, som rebet danner:
Når vi så udvider rebet med 1 meter, vil omkredsen af den cirkel, som rebet nu danner være O = 4.000.001 m. Radius i den nye cirkel, som rebet danner bliver:
Forskellen på r og R er netop den højde, som rebet løfter sig. Det bliver 0,16 m eller 16 cm hele vejen rundt.
Lad os analysere situationen lidt nærmere og generalisere problemstillingen. Vi vil nu betragte en vilkårlig cirkel, hvis omkreds forlænges med 1 meter. Den oprindelige cirkels omkreds sættes til O. Den udvidede cirkels omkreds bliver så: O1 = O + 1m. De tilsvarende radier bliver:
og
Forskellen på de to radier er:
Vi ser altså, at det faktisk er ligegyldigt, hvor stor den oprindelige cirkel er, den forlængede cirkel har altid en radius, der er 16 cm større. Det gælder uanset om den oprindelige snor var lagt om et æble med en radius på 3 cm eller Jorden, der jo har en noget større radius.
Page updated
Report abuse