Resolució de sistemes lineals: mètode de gauss

Treballarem amb sistemes de tres incògnites, però podem seguir el mateix procediment amb qualsevol sistema.

El mètode de Gauss consisteix en passar d'un sistema d'equacions a un altre equivalent esglaonat, igual que fèiem amb les matrius per calcular el rang 

Per aconseguir-ho, seguirem el següent mètode:

• Agafarem com a primera equació qualsevol que el primer coeficient sigui diferent de zero. les millors són les que tenen coeficient 1.

• Reduirem a zero el primer coeficient de la resta d'equacions fent servir les transformacions vàlides.

• Sense modificar la primera equació, reduirem a zero el segon coeficient de la tercera equació, utilitzant la segona equació.

• Si hi ha més de tres equacions, seguim aplicant el mateix mètode a la resta d'equacions successivament.

Així arribarem a un sistema esglaonat, on cada equació té una incògnita menys que la anterior. 

• Aïllem la incògnita de la última equació. 

• Substituïm aquest valor a l'equació anterior i aïllem la següent incògnita

• Així successivament.

Donat el sistema:

Fem els canvis per arribar a un sistema equivalent esglaonat. Primer fem zero el coeficient de x a la segona i tercera equació, fent servir la primera equació.

Ara fem zero el coeficient de la y, a la tercera equació, fent servir la segona equació. Com que les dues tenen el mateix coeficient , restem les dues equacions

Una vegada tenim un sistema esglaonat, comencem aïllant la incògnita de la tercera equació.

Substituïm a la segona equació, i aïllem la y

I per últim substituïm a la primera equació el valor de les incògnites y i z, i aïllem x 

La solució del sistema és x = 1,  y = 1 i  z = 1

Per tant, és un sistema compatible determinat, té una única solució.

Ara pots veure la resolució aquí

Fem els primers passos igual que en l'exemple anterior, fins arribar a un sistema esglaonat

La tercera equació no condiciona res, ja que és certa sempre. Quan passa això, el sistema és compatible indeterminat, té infinites solucions. Per tant, direm que la z és lliure, la resta de incògnites dependran del valor que prengui la z. Això ho expressem de la següent manera:

A la segona equació substituïm z pel paràmetre i aïllem y

Una vegada fet, substituïm a la primera equació z i y, i aïllem x

Les solucions del sistema són:

Per calcular una solució en concret, donem un valor a z i calculem la resta de incògnites, per exemple:

Fem els primers passos igual que en l'exemple anterior, fins arribar a un sistema esglaonat

Si tenim un sistema com l'anterior, que ja és triangular, en el que a la última equació hi ha una igualtat que no és certa. 

per tant, el sistema és incompatible, no té solució

Resol ara el següent exercici

Ara pots comprovar la resolució aquí

Resol els següents sistemes d'equacions lineals:

Resol els següents sistemes d'equacions lineals