Exercicis programació lineal

3.1 Una empresa de materials per a cotxes fabrica dos models d’una peça determinada, que anomenarem A i B. Cada model es fabrica en una hora, mitjançant un procés que consta de dues fases. En la primera fase del procés s’hi destinen 5 treballadors, i en la segona, 12. Per a fabricar cada model, en la primera fase es necessita 1 treballador per a cada peça. En canvi, en la segona fase es necessiten 2 treballadors per al model A i 3 treballadors per al model B. El benefici que s’obté és de 40 € pel model A i 50 € pel model B. 

a) Determineu la funció objectiu i les restriccions, i dibuixeu la regió factible.

b) Quantes peces de cada model per hora s’hauran de fabricar per tal que el benefici sigui màxim? Quin és aquest benefici màxim? 

      3.2 Una companyia aèria vol organitzar per a aquest estiu un pont aeri entre l’aeroport de Barcelona - el Prat i el de Palma de Mallorca, amb places suficients de passatge i càrrega per a transportar com a mínim 1.600 persones i 96 tones d’equipatge i mercaderies. Per a fer-ho, té a la seva disposició 11 avions del tipus A, que poden transportar 200 persones i 6 tones d’equipatge i mercaderies cadascun, i 8 avions del tipus B, que poden transportar 100 persones i 15 tones cadascun. Si la contractació d’un avió del tipus A costa 4.000 euros i la d’un avió del tipus B en costa 1.000: 

a) Determineu la funció objectiu i les restriccions, i dibuixeu la regió de les possibles opcions que té la companyia. 

b) Calculeu el nombre d’avions de cada tipus que cal contractar perquè el cost sigui el mínim i determineu quin és aquest cost mínim. 

3.3 Un taller de joieria disposa de 150 grams de plata i de 180 hores de feina per a produir dos models d’anells. Per a fer un anell del model A calen 6 grams de plata i 3 hores de feina, mentre que per a fer-ne un del model B calen 2 grams de plata i 6 hores de feina. Els anells dels models A i B proporcionen, respectivament, 35 i 55 euros de benefici per unitat. Sabent que es vendrà tota la producció, determineu quants anells de cada model cal produir per a obtenir el màxim benefici i indiqueu quin és aquest benefici. [2 punts]

3.4 Una refineria de petroli produeix gasolina i gasoil. En el procés de refinació que s’hi porta a terme s’obté més gasolina que gasoil. A més, per a cobrir la demanda cal produir com a mínim 3 milions de litres de gasoil al dia, mentre que la demanda de gasolina és de 6,4 milions de litres al dia, com a màxim. La gasolina té un preu d’1,9 €/L, i el gasoil val 1,5 €/L. Tenint en compte que es ven la totalitat de la producció, determineu quants litres de gasolina i de gasoil cal produir al dia per a obtenir el màxim d’ingressos.

      3.5 Hem de fertilitzar els terrenys d’una finca utilitzant dos adobs, A i B. El cost de l’adob A és de 0,9 €/kg, i l’adob B costa 1,5 €/kg. L’adob A conté un 20 % de nitrogen i un 10 % de fòsfor, mentre que l’adob B en conté un 18 % i un 15 %, respectivament. Per a fertilitzar els terrenys correctament ens cal un mínim de 180 kg de nitrogen i 120 kg de fòsfor. 

a) Si anomenem x els kilograms d’adob A i y els kilograms d’adob B, escriviu el sistema d’inequacions que satisfà les condicions anteriors. 

b) Quina és la despesa mínima que hem de fer si volem fertilitzar els terrenys de la finca correctament? 

   3.6 Una empresa d’informàtica fabrica ordinadors portàtils i de taula i ven tots els que fabrica. L’empresa té capacitat per a fabricar 3.000 ordinadors. Per qüestions de mercat, el nombre d’ordinadors de taula no pot ser inferior a la meitat del nombre de portàtils, però tampoc no pot superar el nombre de portàtils. L’empresa guanya 100 € per cada ordinador de taula, i un 20 % més en la venda de cada portàtil. Quants ordinadors de cada classe ha de fabricar per a maximitzar els beneficis? 

 3.7 Un botiguer va al mercat central amb la seva furgoneta, que pot carregar 700 kg, i amb 500 € a la butxaca, a comprar fruita per a la seva botiga. Hi troba pomes a 0,80 €/kg i taronges a 0,50 €/kg. Calcula que podrà vendre les pomes a 0,90 €/kg i les taronges a 0,58 €/kg. Quina quantitat de pomes i de taronges li convé comprar si vol obtenir el benefici més gran posible? 

3.8 Tinc un problema: fabrico televisors de LED, que em deixen un benefici de 100 € cadascun, i televisors de plasma, que em donen la meitat de benefici unitari. No puc produir més de 30 televisors al dia, i la diferència entre la producció dels de LED i els  de plasma és, com a màxim, de quatre unitats. Quants n’he de produir de cada classe per a guanyar el màxim?

3.9 Un florista disposa de 50 margarides, 80 roses i 80 clavells, i en fa rams de dues classes: per a uns fa servir 10 margarides, 20 roses i 10 clavells, i per als altres fa servir 10 margarides, 10 roses i 20 clavells. La primera classe de rams es ven a 40 €, mentre que la segona es ven a 50 €. Quants rams de cada classe ha de fer si vol ingressar el màxim possible

     3.10 Una petita fàbrica produeix formatge i mantega. Per a fabricar un formatge es necessiten 10 litres de llet, mentre que per a fabricar una pastilla de mantega se’n necessiten 5. La quantitat de formatges produïts no pot superar el doble de la quantitat de pastilles de mantega. De la mateixa manera, la quantitat de pastilles de mantega no pot superar el doble de la quantitat de formatges produïts. En total, la fàbrica disposa de 800 litres de llet. Després de la venda, per cada formatge s’obté un benefici de 5 € i per cada pastilla de mantega s’obté un benefici de 2 € . Determineu quina quantitat de formatges i quina quantitat de pastilles de mantega cal produir per tal que el benefici total després de la venda sigui màxim. Quin benefici s’obtindrà?