Rang d'una matriu

Una fila no nul·la Fi d’una matriu depèn linealment de les files si es compleix que:

Fi=k1F1 + k2F2 + … + kmFm.

Una fila d’una matriu és linealment independent quan no depèn linealment d’altres files de la matriu. 

Si una fila o columna és múltiple d'una altra, seran linealment dependents.

Podem donar les mateixes definicions per columnes.

El rang d’una matriu A, Rang (A), és el nombre de files o de columnes no nul·les linealment independents que té la matriu.

El rang per files sempre és igual al rang per columnes.

Com que el rang per files i per columnas sempre és igual, com a molt el rang serà el nombre més petit, entre el nombre de files i de columnes. A més una matriu i la seva transposada tenen sempre el mateix rang.

Si en una matriu hi ha dues files que tenen el mateix nombre de zeros, poden ser combinació lineal una de l'altra. Per tant, encara que la matriu sigui ja triangular superior, intentarem fer un zero més.

Calcula el rang de la matriu següent:

Volem transformar aquesta matriu en una matriu triangular superior. Com que el primer element de la matriu és 0, canviem d'ordre les dues primeres files.

Sempre hem de seguir un ordre per aconseguir transformar la matriu. Copiem la primera fila igual. Fem 0 els elements de la primera columna, fent servir la primera fila. Per fer les operacions, el mètode és semblant a resoldre un sistema pel mètode de reducció.

Per tant, en aquest cas hi ha prou amb restar la tercera fila i la primera.

Quan ja tenim els dos 0 a la primera columna, copiem igual la primera i la segona fila i canviem la tercera, fent servir la segona.

Tenim dues files no nul·les, per tant Rang (A) = 2

Calcula el rang de les següents matrius, fent servir el mètode de Gauus:

Calcula el rang de les matrius A, B i A·Bt