Matriu inversa

La matriu inversa d’una matriu quadrada A, és una altra matriu A-1 del mateix ordre, que compleix que

A·A-1 =In                  A-1 ·A = In

On In és la matriu identitat d’ordre n.

Les matrius que tenen inversa s’anomenen matrius regulars o invertibles, les que no tenen inversa s’anomenen matrius singulars.

Les matrius que no són quadrades no tenen inversa i no totes les matrius quadrades tenen inversa. Una matriu quadrada d'ordre n, només té inversa si Rang (A) = n.

·        La inversa de la matriu inversa és la matriu original (A-1)-1 = A

·        La inversa del producte de dues matrius, és el producte de les inverses canviant-ne l’ordre.  (A·B)-1 = B-1 · A-1

·        La inversa de la transposada d’una matriu és igual a la transposada de la inversa de la matriu (At ) -1 = (A-1 ) t

Multiplicar per la inversa d'una matriu és el mateix que dividir quan treballem amb nombres reals

El mètode de Gauss- Jordan per trobar la matriu inversa consisteix a convertir la matriu inicial en la matriu identitat fent servir transformacions elementals. Aplicant les mateixes transformacions a la matriu identitat obtenim la matriu inversa.

Calculem la matriu inversa de la matriu A

Comencem fent transformacions a la matriu per fer zeros a la primera columna. Fem servir la primera fila per fer les operacions.

Una vegada ja tenim els zeros a la primera columna, fem zeros a la segona columna fent servir la segona fila per fer les operacions

Ara fem zeros a la tercera columna fent servir la tercera fila per fer les operacions.

Una vegada ja tenim zeros a tots els elements de la matriu excepte la diagonal, fem les operacions per transformar els elements de la diagonal en 1, dividint entre el número que hi ha.

Per tant la matriu inversa és:

Comprova que es compleix que A-1 = A2, on A és la matriu següent

Considereu la matriu 

Estudieu per a quins valors de x la matriu inversa de la matriu A coincideix amb la seva oposada, és a dir, A-1 = -A

Considereu  les matrius M, en què a és un nombre real

Determineu a de manera que la matriu inversa de M, sigui la següent: