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La Máquina de Galton es posiblemente el proyecto que más quebraderos de cabeza nos ha dado en MATEMADERA. Hasta llegar a la versión definitiva se han realizado varios prototipos, ninguno de ellos nos aportaba suficiente confianza para considerarlo válido. El análisis de los problemas encontrados ha ocasionado buenos momento de diálogo e intercambio de opiniones.
ACTIVIDAD: EXPLORANDO LA MÁQUINA DE GALTON Y LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
ACTIVIDAD: EXPLORANDO LA MÁQUINA DE GALTON Y LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
SENTIDO: Estocástico
COMPETENCIA ESPECÍFICA 7: Representar, conceptos, información y procesos matemáticos seleccionando diferentes tecnologías, de forma individual y colectiva, consiguiendo así visualizar ideas y estructurar razonamientos matemáticos.
CRITERIO C7.1. Representar y visualizar ideas matemáticas presentes en el ámbito de las ciencias sociales, estructurando diferentes procesos matemáticos y seleccionando las tecnologías más adecuadas.
Objetivo: Comprender cómo funciona la Máquina de Galton y su relación con la distribución normal (campana de Gauss) a través de una actividad práctica y predictiva.
Materiales necesarios: Una Máquina de Galton pequeña. Rotulador para pizarra borrable.
Instrucciones:
Introducción al concepto: Explica brevemente que la Máquina de Galton fue creada por Francis Galton en 1894 para demostrar cómo los eventos aleatorios tienden a formar una distribución normal. Muestra cómo las bolitas caen rebotando en las clavijas y se acumulan en compartimentos.
Predicción inicial: Los participantes pensarán cómo creen que se distribuirán las bolitas al caer en la máquina. Deben trazar una curva aproximada que represente su predicción usando un rotulador borrable sobre el tablero de Galton.
Experimento: Giran la Máquina de Galton para que las bolitas caigan. Observa cómo las bolitas se acumulan en los compartimentos inferiores, formando un patrón.
Comparación: Compara el dibujo predicho por cada participante con el patrón real formado por las bolitas. Analiza si el patrón observado se asemeja a la curva de campana esperada.
Discusión grupal: Explica por qué el resultado tiende a ser una distribución normal: Cada bolita tiene igual probabilidad de ir hacia la izquierda o derecha al rebotar. Hay más combinaciones posibles para que las bolitas terminen cerca del centro, lo que genera mayor acumulación en esa zona. Relaciona el experimento con conceptos estadísticos como el Teorema del Límite Central y la probabilidad binomial.
Reflexión final: Pregunta a los participantes qué aprendieron sobre la relación entre eventos aleatorios y patrones predecibles. Invítalos a pensar en ejemplos cotidianos donde puedan observar distribuciones normales (como alturas, pesos o calificaciones).
ACTIVIDAD: DiBUJAR LA CURVA NORMAL.
ACTIVIDAD: DiBUJAR LA CURVA NORMAL.
SENTIDO: Estocástico
COMPETENCIA ESPECÍFICA 7: Representar, conceptos, información y procesos matemáticos seleccionando diferentes tecnologías, de forma individual y colectiva, consiguiendo así visualizar ideas y estructurar razonamientos matemáticos.
CRITERIO C7.1. Representar y visualizar ideas matemáticas presentes en el ámbito de las ciencias sociales, estructurando diferentes procesos matemáticos y seleccionando las tecnologías más adecuadas.
La máquina de Galton ha quedado preciosa, pero intuimos que los resultado que muestra no se ajustan en demasía lo que esperábamos. Así que hemos organizado un proyecto con los alumnos de PRI, la asignatura Proyecto de investigación para analizar qué ocurre realmente en nuestra máquina de Galton estructurado en los siguiente pasos:
Documentación. Búsqueda de información, biografía de Galton e imágenes de otras máquinas de Galton en la red tanto física como digitales.
Prototipos. Se analizan los errores de los de los prototipos y que mejoras se le han hecho respecto al modelo final para comprender mejor el diseño.
Distribución empírica. Recuento de cómo se habían distribuidos las bolas poniendo en marcha la máquina en 4 ocasiones.
Análisis de la distribución teórica de las bolas. Desde el punto de vista de la matemática esta es la parte más rica. La distribución teórica es una binomial, que sabemos se puede aproximar por una distribución normal, sin embargo, queríamos que los alumnos fueran capaces de deducir esto por ellos mismos. Análisis de los posible caminos para llegar a cada canal final. Triángulo de Tartaglia.
Recuento de número de bolas totales que hay en la máquina de Galton. Comprobamos que no faltan muchas para 1000 y decidimos introducir las bolas que faltan para incluirlas.
Cálculo de probabilidad de cada canaleta. Determinación de la distribución teórica de 1000 bolas. haciendo lo cálculos en una hoja de cálculo.
Estudio de la altura que tienen la canaleta cuando tiene cada una de las bolas que nos aparece en el cálculo anterior de la distribución teórica de las mil bolas. Es un proceso complejo de contar bolas, medir alturas, calcular e interpolar para determinar la altura estimada. Conclusión: con 1000 bolas la canaleta central estaría a rebosas y eso no ocurre, por tanto determinamos que vamos a reducir el número de bolas total a 750.
Repetimos el proceso y dibujamos finalmente la curva de distribución de las bolas.
Ha sido un reto dibujar esta curva nos ha llevado varias semana, pero es la manera de poder comprobar si nuestra intuición con respecto al funcionamiento de la máquina es correcto o no. Eso será el siguiente paso.
PROTOTIPOS FALLIDOS.
PROTOTIPOS FALLIDOS.
El diseño que Francis Galton (1823-1911) hizo de la máquina que lleva su nombre sirve para comprobar que con una muestra suficientemente grande la distribución binomial se aproxima a la distribución normal mediante el teorema central del límite.
En teoría bastaría colocar sobre una tabla unos topes o tacos distribuidos uniformemente y en la parte inferior una serie de canaletas. Desde la parte superior se lanzarían una serie de bolas sobre los topes. En cada choque la bola tiene que decidir con probabilidad 0,5 desplazarse a la derecha o a la izquierda. De manera que las bolas quedas distribuidos en las canaletas con la distribución binomial. Y si la cantidad de bolas es suficientemente grande, ésta se puede aproximar a la distribución normal.
De la teoría a la práctica va un buen trecho. Nuestros prototipos seguían las indicaciones pero no cumplían lo deseado. Algunas de las modificaciones que hemos hecho han sido:
Reducir y ampliar el tamaños de las canaletas.
Cambiar la inclinación del depósito superior para que cayeran las bolsas con más facilidad.
Sustituir los topes de madera por topes metálicos.
Cambiar el material de las bolas de acero a cristal y nuevamente a acero de distintos diámetros.
Ajustar el número de bolas que introducíamos en la máquina, combinando bolas de dos tamaños.
ACTIVIDAD: INTRODUCCIÓN de la curva NORMAL. Lanzamos chichetas.
ACTIVIDAD: INTRODUCCIÓN de la curva NORMAL. Lanzamos chichetas.
SENTIDO: Estocástico
COMPETENCIA 3. Formular y comprobar conjeturas sencillas o problemas de forma autónoma, reconociendo el valor del razonamiento y la argumentación y generando nuevos conocimientos tanto en el ámbito académico como en el ámbito social.
CRITERIO C3.2: Demostrar conjeturas o resolver problemas aplicando los distintos sentidos matemáticos, de forma clara y justificada, utilizando herramientas tecnológicas adecuadas para argumentar y presentar la respuesta.
Una vez que tenemos una versión de la Máquina de Galton que damos por definitiva. Es el momento de llevarla a las aulas, especialmente de los grupos de Bachillerato. Es el complemento ideal a mostrar cuando se introduce la curva normal en 1º de Bachillerato a partir de la distribución binomial.
1. Las chinchetas como objeto cotidiano. Estimación de la probabilidad.
¿Qué pensáis que es más probable que caiga con el pincho hacia arriba o hacia abajo? Os atrevéis a dar un valor de la estimación. Apuntarlo en un post-it. Lo ponemos en una gráfica y la observamos. Hacemos la media de los valores obtenidos.
Esta actividad es el desarrollo de una actividad que surgió un día en clase, estábamos en 1º de bachillerato y salía en el libro de texto un problema sobre chinchetas, y el dato nos chocó ponía que la probabilidad del pincho hacia arriba era 0,3. Les pregunté ¿Qué probabilidad crees que tiene una chincheta de caer con el pinchito hacia arriba? Y bajamos a por unas cajas de chincheta y lo comprobamos.
2. Vamos a comprobar esa conjetura: ¡Lanzamos chinchetas!
Repartimos unas pocas de chinchetas para cada uno, lanzamos chinchetas y contamos cuántas caen con el pinchito hacia arriba.
Algunas preguntas que podemos plantear: ¿Es suficiente con lanzar una vez la chincheta? ¿Cuántas son suficientes para que pueda dar una estimación? Y si juntamos los valores de todos. ¿Hacemos la media de las probabilidades o juntamos todos los datos para volver a hacer la regla de Laplace? Y ya de paso, como el que no quiere la cosa hablamos del teorema central del límite y el concepto de probabilidad como límite de las frecuencias relativas.
3. Introducción de la distribución binomial. [Descargar díptico de la actividad]
Sería más sencillo si todos lanzamos el mismo número de chinchetas, por ejemplo acordamos lanzarlas de 10 en 10, y no de una en una. Si decidimos agruparlas de 10 en 10, y lanzar anotar los resultados del número de chinchetas con los pinchos hacia arriba, estaremos trabajando con la distribución binomial. Hemos preparado unos vasitos de plástico a modo de cubiletes que junto con las chinchetas nos van a ayudar en el estudio. Id anotando en el díptico y en el tablón comunitario vuestros resultados. Actividad para practicar tablas de frecuencias, estudio de medidas de centralización y dispersión.
4. Introducción de la distribución normal.
En este punto es el momento de introducir el teorema central del límite y mostrar la curva normal como aproximación de la distribución binomial.
ACTIVIDAD: potencias
ACTIVIDAD: potencias
SENTIDO: Numérico
COMPETENCIA 3. Formular y comprobar conjeturas sencillas o problemas de forma autónoma, reconociendo el valor del razonamiento y la argumentación y generando nuevos conocimientos tanto en el ámbito académico como en el ámbito social.
CRITERIO C3.2: Demostrar conjeturas o resolver problemas aplicando los distintos sentidos matemáticos, de forma clara y justificada, utilizando herramientas tecnológicas adecuadas para argumentar y presentar la respuesta.
En primero de la ESO estamos trabajando con potencias como forma reducida de expresar cantidades muy grandes. Hemos llevado a clase una nueva versión de la máquina de Galton, en esta ocasión más manejable, de tamaño parecido a un folio que ha ido pasando por las mesas. Hemos reflexionado sobre la pregunta. ¿Cuántos caminos distintos puede recorrrer una bola?
Para facilitar la reflexión lo hemos ido haciendo por inducción.
Si solo estuviera el primer pivote. ¿Cuántas opciones tendría la bola? Esa respuesta es rápida, dos: derecha e izquierda.
Cuando añadimos la segunda fila de pivotes. ¿Cuántos pivotes hay en esa fila? En la fila 2 hay 2 pivote. ¿Cuántas opciones tendría la bola de pasar a través de ellos? Solo tres: derecha, medio e izquierda. ¿Cuántos caminos ha podido recorre para llegar hasta ahí? Han tenido 4 posibilidades, esa respuesta no les cuesta. Les pido que lo expresen 4 como potencia de 2; 4=2^2.
Con la tercera fila de pivotes repetimos el esquema de preguntas para ir guiando el razonamiento .¿Cuántos pivotes hay en esa fila? En la fila 3 hay 3 pivote. ¿Cuántas opciones tendría la bola de pasar a través de ellos? Tenemos 4 opciones. ¿Cuántos caminos ha podido recorre para llegar hasta ahí? En el proceso de reflexión a esta pregunta, varios estudiantes de manera aislada han respondido 6, que hay 6 caminos diferentes. Es muy interesante esta respuesta, en la reflexión con ellos entiendo que piensan que surge de las 3 huecos que habían el afila anterior y no son capaces a priori de pensar en que dependerá del número de caminos que llegan hasta ellos que son en realidad 4 y por tanto con la nueva decisión de derecha e izquierda sobre cada pivote, se convierten en 8 nuevos caminos. Les pido nuevamente que pongan los 8 caminos posibles como potencias de 2. 8=2^3.
Añadiendo filas. En ese punto, como grupo estaban preparados para inducir que iba a pasar en las siguiente filas hasta la fila 8ª.
MÁQUINA DE GALTON en el blog
MÁQUINA DE GALTON en el blog
Si quieres leer cómo ha sido el proceso de creación de este material dentro del proyecto CITE: Matemadera, te recomendamos que leas las entradas del blog.
https://proyectocitematemadera.blogspot.com/search/label/Galton
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