張貼日期：Oct 11, 2019 3:50:37 AM
作者：高竹嵐 副教授（國立陽明交通大學統計研究所）
圖片來源: www.pxhere.com
你有這樣的疑惑嗎？
「奇怪為什麼阿卡貝拉（A Cappella，無伴奏人聲）跟有樂器的音樂聽起來就是不太一樣？」
什麼，你說你沒聽過阿卡貝拉？來來來這邊給你置入範例，想聽現場的，11/1-3可以來［這邊］。
當然你可以說因為一個是人唱，一個不是。但其實，有個更根本的原因，和《互質》有點關係。
要說明這點，首先需要三個簡單的先備知識：
A. 首先，音高是基於一個物體震動的頻率，震動越快，聲音就越高。這裡有個簡單的表示方法是用所謂的赫茲（HZ），1HZ 表示每秒震動一下，所以 HZ 數越高，聲音就越高。鋼琴的中央 Do，對應的頻率數大約是 262HZ。
B. 接著，我們平常說的高八度，就是把 HZ 數乘兩倍，其實非常單純。所以鋼琴的中央 Do 是 262HZ，高一個八度的 Do 就是 524 HZ。
C. 第三個稍微難一點，叫做泛音列，或著也可以用駐波來解釋。
圖片來源：維基百科，『泛音列』條目。
講簡單一點，當你彈一個音時，會同時發出它的兩倍、三倍、四倍、五倍等等等，各種整數倍 HZ 數的聲音。以中央 Do 為例，你就會同時發出 262、524、786、1048 等等等 HZ 數。這後面有一些細節，詳情可以參考這個影片：
好，準備動作完成！讓我們看看上面三件事情結合起來會發生什麼事。先來看看人類唱歌時的狀況。
人類唱歌用純律
假設我們現在唱了一個中央 Do：
1. 首先由 A，知道會發出一個 262HZ 的聲音。
2. 接著由 C，知道我們同時也會發出 262x2、262x3、262x4 等等等 HZ 數的聲音。
3. 但是由 B，我們知道兩倍就是高八度，(兩倍) 262x2 HZ 是高一個八度的 Do，(四倍) 262x4 是高兩個八度的Do。
等等，那乘三倍的 262x3 HZ 跑去哪了？
你知道它一定比 262x2 HZ = 高一個八度的 Do 還要高，也一定比 262x4 HZ = 高兩個八度的 Do 還要低。
答案：它會是高一個八度的 Sol，也就是所謂的《五度音》！
但等等，所以高一個八度的 Sol 是 262x3，而我們又知道高一個八度就是乘兩倍，所以同一個八度的 Sol 的頻率就是… 啊哈！
表一：各音高對於基準音的頻率比例
但假如你很興奮地拿著表一中的頻率比，去對你家鋼琴的頻率，會發現很多很遺憾的事情。舉例來說，鋼琴上中央
Do精確的頻率是 261.63HZ，而 Sol 的精確頻率是 392.00HZ。所以它們之間的比例是：
等等，說好的剛好 3/2 呢？
琴鍵上注定不存在的等式
為什麼會是這個奇怪的數字？原因在於，鋼琴沒有辦法用剛剛所謂的純律。讓我們看一下鋼琴的鍵盤：
從上面的圖，我們有以下兩點觀察：
1. 首先，從 Do 到高八度的 Do，一共有 12 顆琴鍵（黑白鍵都算），而我們知道這個頻率會變兩倍。
換言之，每數12 顆琴鍵，頻率就要變兩倍。
2. 接著，從 Do 到 Sol，一共有 7 顆琴鍵（黑白鍵都算），而我們知道這個頻率會變 3/2 倍。
換言之，每數 7 顆琴鍵，頻率就要變 3/2 倍。
如果你接受以上兩點，那就會出現一件很可怕的事情… 讓我們考慮從 Do 往上數 12 x 7 顆鍵的那顆音：
1. 首先，它數了 7 次 12 顆鍵，所以它的 HZ 數會翻 2 倍翻 7 次。
2. 但同時，它數了 12 次 7 顆鍵，所以它的 HZ 數會翻 3/2 倍翻 12 次。
3. 問題是這根本是同一顆音，所以 HZ 數一樣，於是我們有了個奇怪的等式：
或者說 312 = 219… 但這等式根本不可能會對，因為 2 跟 3 互質啊！
鋼琴用的平均律
事實上，由類似的討論，鋼琴琴鍵上的每一顆鍵，都需要有一大堆不同的頻率，才能滿足所有的需求。但這根本辦不到，因為鋼琴上每一顆音，都只能發出一個頻率的聲音。
所以，鋼琴放棄純律，改用一種叫做（十二）平均律的東西。概念很簡單：剛剛說過，從 Do 到 Do 有十二個琴鍵，那我們就讓每個琴鍵之間的頻率倍數是平均的就好了嘛！
於是，問題就變成：
「Do 到 Do 有十二個琴鍵，頻率總共要翻 2 倍，那什麼東西連乘 12 次會變成 2 呢？」
答案就是
對，你沒看錯，歷史老師不要再說根號沒有用了，就是 2 的開 12 次方根！我們拿來比對一下，剛剛說 Do 到 Sol 一共有 7 顆鍵，它們之間的頻率比應該是
就是前面算出的那個比 1.5 低一點點的奇怪數字。
這意味人聲跟鋼琴發出的聲音，真的就是不一樣，因為一個用純律，一個用平均律。對此有興趣的讀者，聽聽帕克貝爾的卡農，用三種不同的音律下去彈的狀況：
最後，如果你夠瘋狂
現在你知道，音高、音階乃至於音跟音之間的關係，就只是《頻率與頻率的比例關係》。換言之，如果我高興，我大可以隨便講一個大於零的數字，然後就從那個頻率數開始唱歌，完全不鳥什麼 C D E 什麼 Do Re Mi 的，反正頻率之間的相對比例成立，就成立。
覺得很瘋狂嗎？就有人這樣幹出一段半升G大調的音樂：
對，你沒看錯，半升G，也就是它在鋼琴的 Sol 跟升 Sol 正中間，是一首無論如何都不可能用鋼琴彈出的曲子。詳情可以參見：
凡爾賽條約管很寬，連音樂都管
以上聽起來好像只是一些音樂家在那邊算來算去，但你知道這其實一路牽涉到第一次世界大戰凡爾賽條約（對，就是那個凡爾賽條約）嗎？如果本文分享超過 30 次，我們就來談談凡爾賽條約跟音高之間的恩怨情仇，然後以後你就可以跟歷史老師說，開十二次根號是真的有用了 XD
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2019【大城小肆】音樂劇節：A劇團親子阿卡貝拉音樂劇《阿卡的兒歌大冒險》
【演出時間】
2019 年 11 月 1 日 19:30
2019 年 11 月 2 日至 11 月 3 日 10:30
2019 年 11 月 2 日至 11 月 3 日 14:30
【演出地點】松山文創園區 多功能展演廳