張貼日期：Dec 05, 2018 11:58:3 AM
作者：郭君逸 副教授（國立臺灣師範大學數學系）
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找錢原理
打麻將的數學冷知識終於要出第三集，在打麻將的數學冷知識（一）我們提醒大家，骰位抓牌時每疊牌被四家拿到的機率並不相同，要留意遊戲的不對稱性；在打麻將的數學冷知識（二）一眼就知道胡牌了沒，我們看到快速判斷胡牌了沒有的方法。這回我們要來談談打麻將時另一個困擾－找錢。打牌會伴隨著賭注，有經驗的場主通常得多準備一些零錢，避免有找不開的情況發生。零錢很多當然就不會遇到找錢麻煩，但是，到底「最少需要多少零錢才夠用呢？」，就是一道有趣的數學謎題。
首先，我們要先給個合理的數學建模，有三條規則：
1. 找不開可以跟其他家換錢
(若不能跟其他家換的話，就沒什麼好談的了，當零錢持續集中到某個人身上時，其他人就一定很難找的開。因此這個假設是合理的。)
2. 不能欠，每把輸贏一定要立刻結算
(若能欠的話，也沒什麼好談的，就一直欠即可。因此這個假設也是合理。)
3. 每位玩家有足夠的錢
(不夠錢，就不是找不找得開的問題了。)
我們先看單純一點的情況，只允許使用 50 元硬幣與 10 元硬幣支付賭注（也就是沒有百元鈔和千元鈔），此時，涉及找錢的零錢就只有 10 元硬幣。
兩人找錢引理：
兩個人身上共有 4 個 10 元硬幣的話，一定找的開。
舉例來說，甲和乙有很多 50 元硬幣，甲有 1 個 10 元，乙有 3 個 10 元(兩人身上 10 元硬幣共 4 個)，此時甲不管是要付給乙 10元、20元、30元、40元、50元、60元…都可以找的開；相反地，乙要付給甲多少錢也都沒有找錢的麻煩。同樣的道理，兩人各有 2 個10 元硬幣也不會有困難，這題留給讀者動動腦。
麻將找錢定理：
四個人身上共有 12 個 10 元硬幣的話，一定找的開。
這個要用廣義鴿籠原理來證明。
現在甲、乙、丙、丁四人，假設甲、乙兩人有輸贏，我們先把四人分成三個籠子，10 元硬幣當作鴿子:
第一個籠子有「甲乙兩人的 10 元硬幣」
第二個籠子有「丙的 10 元硬幣」
第三個籠子有「丁的 10 元硬幣」
最糟糕不能找開的情況，就是甲乙兩人自己找不開，丙跟丁兩人又沒有足夠硬幣可以換；亦即，第一個籠子只有 3 個 10 元，第二、三個籠子都只有 4 個 10 元，共 11 個 10 元，所以此時只要再生出 1 個硬幣，變成 12 個，就能保證「甲乙兩人共有 4 個 10 元以上，不然的話丙丁會有人有 5 個 10 元」，若前者發生，就用 兩人找錢引理 解決，若後者發生，就跟有 5 個 10 元的人換錢即可。
讀者可能會好奇「如果是自摸的話，四個人都牽涉到錢的變動怎麼辦?」….. 其實，就先解決兩個人(把有問題的人都解決掉，就沒有問題了…)的問題，反正四人擁有的 10 元硬幣總數也不會減少，不管解決兩人問題之後，零錢變成何種分布，總共還是有 12 個硬幣，因此，其他人的結算依然能夠找開。
把這個定理推廣到兩種面額但更多人的一般情況：
兩種面額多人找錢定理：
有 n 個人，只能使用面額 a 與 b 的話，其中 b 是 a 的某個倍數 b=ka，這裡都考慮正整數。則所有人身上總共有 (n-1)(k-1) 個 a，必定能找開。
更多面額的話，就分開算即可。以四人為例，若允許使用 10 元、100 元跟 500 元(沒有50 元)，那就是套用 10 元和 100 元兩種面額找錢定理，再套用 100 元和 500 元兩種面額找錢定理，得知需要 27 個 10 元，與 12 張 100 元，其他都用 500 元，這樣還是都能找開。
一般來說，以台幣為例，面額 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 都允許使用的話，場主只要準備 1元、10元、100元各 12 個(張)、5、50、500元各 3 個(張)，其餘的都拿 1000 元的大鈔，就能找開所有的錢了。
其它冷知識
為何海底要留8疊牌？
若所有海底的牌都使用的話，至少會產生以下兩個問題
1) 打到最後幾張時，記憶力極好的玩家，可以根據已出現的牌推算剩下的有哪些牌。
2) 獨聽某一張的人，等到最後一定會胡，(例如已經拿了 7 張花的人，到最後一定可以胡)，可能導致人人都想做大牌，單吊、胡牌機率小沒關係，聽的牌最終還是會現身。
為了避免上述問題，刻意有一小部份的牌不使用，以增加不確定性。許多遊戲都有類似的安排，例如：雙人大老二。
至於留幾張牌呢？一般作法是留約一個玩家的量，因為每個人一開始都是抓 16 張牌，所以海底就留一個人拿的牌數，留 16 張。換句話說，等於有 5 個人在打牌 （編按: 聽起來也太可怕了吧XDD），海底也算一個人。當有人槓牌時，相對的，其它的牌就會容易聚集，所以就當作第 5 人也槓一張，所以就變成了留 17 張牌（多一張）在海底。
當然，還是那句話，不管規則怎麼訂，大家都是相對公平的，沒有玩花牌的人，就改成留 14 張；或是有些人玩「鐵八」、「鐵七」等留固定張數的規則。只要事先講好，都是相對公平的。
會不會有一副牌型同時平胡又碰碰胡呢？
這是一個有趣的問題。平胡又碰碰胡，從來沒聽過，應該不可能吧?! 別急著下結論，先來看看這個例子
牌型為碰碰胡，但把三組「234」拿出來重新排列後變成
就可以算成平胡牌型了，不是嗎？
答案是，也不是! 因為這副牌只有 11 張，其他張數未必辦得到。
有興趣的讀者且看以下說明，把所有的牌，分成一四七、二五八、三六九，共三堆，複習一下<打麻將的數學冷知識（二）一眼就知道胡牌了沒>說過的快速判斷眼睛法則：
一副牌依一四七、二五八、三六九分成三堆，每堆的張數除以 3 的餘數必有一個與另兩個不同，則眼睛就在不同的那堆裡。
根據上述原理可以知道眼睛會在哪一堆，把眼睛拿掉後，若是平胡則剩下都是「順」，必定三堆數量一樣多張，同時又要是碰碰胡的話，每一堆都必須為 3 的倍數才能湊成「刻」，因此，搭子數必定要是 3 的倍數才能夠分成一樣多的三堆。不論玩的是 16 張麻將（5個搭子），或是 13 張麻將（4個搭子），三堆必無法一樣多，因此，結論是無法同時碰碰胡又平胡的。
結語
打麻將的數學冷知識系列文章用了很多數學的角度來看麻將，相信讀者一定會覺得，對於自己麻將的技術的提升非(ㄨㄢˊ)常(ㄑㄩㄢˊ)有(ㄇㄟˊ)用。打麻將除了具備基本牌技之外，剩下就靠運氣左右輸贏，不必太在意勝敗，開心就好，好好享受打牌的過程。其實受民眾歡迎的桌遊設計，運氣成份通常佔有很大的比例，想想這也挺自然的，若能夠使用數學理論達成「必勝」的話，反而就沒人想玩了。
一系列文章的主要目的是要告訴大家，數學處處都有，問題在於如何去發現它。從中小學的基本數學，到大學的高等數學，很多都可以運用到生活中，雖然沒有數學，還是一樣能過生活，但有了它的輔助，可以讓生活過得更「理性」哦。