張貼日期：May 24, 2018 11:26:37 AM

圖片取自《嚦咕嚦咕新年財》電影劇照

歷久不衰的桌遊—麻將

這幾年來，桌上遊戲的產量驚人，各地桌遊店林立，深受各年齡層的喜愛，每個月都有許多新桌遊被開發出來。在這之中比較受歡迎的桌遊，往往都有個特性，就是「運氣 + 鬥智」。一個桌遊，若完全沒有運氣，玩的人就會很少，例如：〈拈〉。因為，懂得方法的人就一定贏，這樣誰想玩？但若完全靠運氣的桌遊，玩的人也一定不多，因為沒有策略運用的空間。因此，受歡迎的桌遊，通常都運氣與鬥智各半，運氣的部份大多都是要抽牌、丟骰子；鬥智方面就是要做一些計算、優化，讓自己提高勝算。

今天就來聊聊一個歷時百餘年的古老桌遊〈麻將〉。閱讀本文之前，讀者須對麻將的基本規則有初步的了解，至少了解一些專有名詞：胡、吃、碰、聽…等等。接下來，我們將從數學的角度，來探討一些麻將中的冷知識。

骰位

打麻將每雀（將）開始前，要先抽牌（一般用東西南北四張牌）決定座位，稱為「骰位或抓位」。由於規則中的吃牌只能吃上家丟出的牌，加上每個牌手打牌的風格不一，因此上下家的關係就頗為重要。

比如說，如果婆婆坐在妳的上家，那妳講話就要特別小心一點，否則她會一直餵到妳叫嫑嫑的，千萬不要以為婆婆老人痴呆了。

圖片取自《嚦咕嚦咕新年財》的經典對白

一雀結束後，為了避免四家牌手的座位關係和上一雀相同，當骰到與上一雀座位關係不變時，有重新骰位的規定。

請問重骰的機率有多高呢？

學過高中數學環狀排列單元的話，你知道四人的環狀排列只有 3!=6 種情況，每種發生的機率相同，所以重骰的機率是1/6。

如果你已經把排列組合還給高中數學老師，參考一下這個直觀的算法。自己的上家和前一雀一樣的機率為 1/3，下家又一樣的機率剩 1/2，一旦上下家都決定，對家只剩一人沒得選也就固定了，因此，重骰機率 1/3 x 1/2 也是 1/6。

我猜你應該也有一種牌友，輸了很愛「牽拖」上家，經常牌桌上會有類似對話出現：

「婆婆～妳這是盯我啊！」

「運氣已經很差了還坐在雀壇影印機的下家！」

為了避免有人輸了「牽拖」，建議大家可以直接約好打 6 雀，把 6 種座位組合都輪一次，均衡一下上下家關係造成的影響。換位的作法其實很常見，你看籃球、排球、足球、羽球…也都是要換場確保場地因素的公平性。

抓牌

每一風有四個莊，每人輪流當莊家，每一局開始前，會由莊家丟三顆骰子（一般六面那種），依照三顆骰子總和，決定從哪裡開始抓牌。規則是先看要拿誰的門前牌（逆時針方式數），再看從哪裡開始拿（順時針方式數）。例如 14 就是從莊家下家（由莊家開始逆時針數到 14 會數到下家）的門前牌，留下 14 組，從第 15 組開始依序抓牌。

在這種規則下，每次從哪裡開始抓牌的機率會一樣嗎？

我們先計算骰出 3~18 每種點數的機率：

由上表可知，莊家骰到的起始抓牌處之機率並不相等，骰到自己與上家的機率大了一點點。

再細分下去，每張牌在抓牌階段，被不同家拿到的機率也不盡相同。請參照下面的示意圖（這是筆者從 excel 直接拷過來的，原諒我沒有把所有的字轉正）。

洗完牌後，每個人前面會砌 18 落牌，從莊家前，由右而左開始編號，依拿牌方向（順時針）編號 1 至 72 落牌，然後把骰到 3 點、4 點、…、到 18 點，各種拿牌的情形，每張牌被每一玩家拿到的次數加起來，就是下表。

舉例來說，莊家最右手邊的一落牌（如上圖圈起來的地方），不管骰多少，在抓牌階段，只會被莊家自己或其對家拿到，機率分別是 55/216 與 50/216，一定不會被左右兩家拿到。

因此，在拿牌階段最能合作作弊的，是對家。利用簡單的堆牌合作，雙方就能夠掌握一手好牌。

比如說莊家洗牌時，把一堆萬子，放在編號 1, 5, 9, 10, 14, 18 的地方，然後對家也把萬子放在編號 39, 43, 44, 47, 48, 52 的地方，則抓完牌後，兩家拿到萬子數量將會大大增加，另外兩家拿到萬子的機會就會下降。這是機率大小和期望值發揮作用的地方。當然，如果遇上真正的老千，藉由精準操控骰子，基本上要從哪裡開始拿已經被完全掌握住了。

這裡以台灣牌（16張麻將）為例，香港牌（13張麻將）也是差不多；若是打台灣南部牌（不玩花牌）的話，每個人只砌 17 落，也是會有類似的情況。如果打得是美國牌，那就不好說了，因為莊家有權要求再換三張…

總之，一坐上牌桌第一件事，要先問清楚打的是什麼牌！打麻將的學問還真不少，光是骰位和拿牌就藏了許多眉角，遑論實戰中出入每張牌所涉及的優化策略之複雜。

手裡拿到上面 17 張牌，自摸了嗎？

下一集要和讀者分享胡牌的快速判斷法。