張貼日期：May 28, 2018 8:7:37 AM
作者：高竹嵐 副教授（國立陽明交通大學統計研究所）
前一期提到了遊戲爛掉的其中一種可能：優勢策略的存在。在桌遊世界裡，這大致表示有個策略的［期望獲益］明顯大於其他策略。讓我們舉個例子：
石器時代遊戲畫面（https://goo.gl/images/zVaFHu）
石器時代顧名思義是一款帶你回到石器時代的遊戲。玩家各自扮演一個部落的領袖，為了部落，你要分配你的族人去打獵、砍樹、耕田，甚至是增產報國（請看版圖左下角有個站了兩個小藍人的屋子，你送兩個人進去會有三個人出來，細節請自行想像。）
遊戲的主要機制其實很單純，就是骰子的某種應用。動作大概如下：
l 首先，你派 Ｎ 個人去某個地方（例如去樹林裡砍樹。）
l 派了 Ｎ 個人，你就丟 Ｎ 顆六面骰。
l 把這 Ｎ 顆骰子丟出來的結果加起來，得到總和 Ａ。
l 把這個數字 Ａ，除以該資源種類的權數 Ｂ，就是你可以拿到幾份該資源。
表一 石器時代各資源權數與分數
比如說你派了 3 個村民到河流裡滔金，所以丟 3 顆骰子，得到總和 7。黃金的權數是 6（見表一），而 7/6 是 1.16...，所以你得到 1 份黃金。
透過這個方法，作者只要修改各個資源的權數，就自然能夠製造每種資源取得難度的差異。
木頭的權數是 3，自然就比權數 6 的黃金好拿很多。遊戲到這裡，並沒有太大的問題。問題在於後面得分的設計，請再看一次表一。這遊戲拿了資源以後會拿資源去換分，所以作者心想『好，既然已經有權數了，分數就比照辦理吧！』
這就是考驗遊戲編輯與遊戲測試員能力的時刻。考考大家：
「只給你以上的規則，你可以想像遊戲會出什麼問題嗎？」
讓我們先來考慮派一個村民，丟一顆骰子的狀況。上表是派這個村民去不同地方時，丟出不同點數的機率，以及最後平均會獲得幾分。如表所示，村民砍木頭時的期望分數，明顯大於其他資源。
表二 派一個村民去採集各種不同資源時的期望報酬表
同樣的狀況並不會因為丟比較多顆骰子就被解決，讀者可以自行推導看看派兩個村民的狀況，砍木頭的期望分數仍然遙遙領先。
現在，可以想像遊戲會出什麼問題嗎？
沒錯，就是所有人管他三七二十一，砍木頭就對了！伐木成為明顯的優勢策略，石器時代變成大伐木時代。
真實狀況甚至更為嚴峻。遊戲中，本來還要去打獵拿食物，因為每回合結束每個村民要支付 1 份食物，食物不夠就扣10 分。但，基於木頭的期望分數實在太高了，玩家甚至會採取＂村民們！餓著肚子都要給我去砍木頭！＂的所謂〈餓民流〉戰法。
設計師花了九牛二虎之力想要解決這個問題，包括限制能去砍木頭的村民數量、需要其他資源才能建造的建築物…等等，但仍然無法解決＂一上來先給我去砍木頭！＂這個大方向。
期望值
在此，玩家們的行動背後所仰賴的正是〈期望值〉理論。以遊戲的語言，就是我們平均會拿多少分。用數學的語言則是這樣：有一個行動，它會隨機地給你一個分數 X，而平均而言這個分數是 X。更明確地說，如果你得到 N 分的機率是PN，則我們稱 X 的期望值等於
E[X] = 1 × P1 + 2 × P2 + 3 × P3 + …
在這邊有幾個觀念要順便澄清：
l 期望值跟＂出現的頻率＂一點關係都沒有
丟一顆骰子，平均的點數是 3.5。但 3.5 從來都丟不出來。
l 期望值也不代表＂必然出現的總體行為＂
一個常見的迷思是這樣的：硬幣丟出正面的機率是 1/2，可以輕易算出丟兩次平均會出現 1 次正面。我已經丟一次了還沒丟出正面，那我第二次一定會丟出正面，不然平均值就不是 1 次。
很抱歉，不管你第二次還是第兩萬次丟，還是只有 1/2 的機率得到正面。
那期望值到底代表什麼？這個就需要一點篇幅來說明了。
現在假設你先做一次行動，得到 X1 分；你再作一次同樣的行動，得到 X2 分；再繼續做下去，得到 X3、X4、X5 分，依此類推。根據弱大數法則（Weak Law of Large Numbers），當 N 很大很大趨向無窮大時，
(X1 + X2 + X3 +…)/N 機率收斂到 E[X]
好…我知道這個敘述看起來很可怕，但白話講起來就是：
你重複做實驗，每次實驗的結果取平均，重複夠多次的話，
你的實驗結果要離真實平均很遠的機率會非常小。
或著，再白話一點：
你一直丟硬幣丟夠多次，除非真的很衰，否則大概會有一半是正面。
請注意，它並沒有規定每一次的結果會怎樣，它只說全部加起來除以 N 會怎樣，而且還要 N 趨向無窮大。
這麼說吧！假設你跟小明對局，然後你對他有七成勝率。很遺憾，這只代表如果你們對局無限多次，你會贏其中 70% 的對局。大數法則之神並不保證你跟他打 10 場你就會贏 7 場；只要你夠衰，甚至可能 10 場都輸。
延伸閱讀
你的遊戲爛掉了（一）必勝棋局，高竹嵐，UniMath
你的遊戲爛掉了（二）優勢策略，高竹嵐，UniMath