張貼日期：Mar 25, 2018 3:50:40 PM

前一期，我們提到了遊戲爛掉的其中一種可能：必勝或必和。好在這種狀況通常有一些處理方法，例如：

l 讓盤面可能性多到天文數字算不動

最經典的例子就是圍棋，盤面可能性目前還多到電腦無法窮舉。

l 讓遊戲準備時有隨機性

舉例來說，2006 年的德國年度複雜遊戲獎得主－Caylus，只有剛開始六片會在遊戲開始時隨機擺放，遊戲進行中完全沒有隨機。這等價於有 6! = 720 種不同遊戲（感謝強者我朋友朴榮恭指正）。能把 720 種情況下的必勝法都求出來，算你厲害。

l 讓遊戲途中有隨機性

這是最常見的作法。直接違背了 Zermelo’s Theorem 的假設（參考你的遊戲爛掉了（一）必勝棋局），因此定理不適用。基本上，任何要丟骰子的遊戲都是這麼一回事。

但問題是，就算解決了這一點，遊戲就沒問題了嗎？喔，很抱歉，當然不是。

囚犯困境與優勢策略

讓我們用經典的囚犯困境（Prisoner’s Dilemma）來說明。略過前面的警匪追逐過程，總之最後有兩個犯人被抓進警局，分開偵訊。警察私下跟兩個人說：

l 如果你們兩個都指控對方，你們都關 5 年；

l 如果只有其中之一指控對方，被指控的關 10 年，指控的當庭釋放；

l 如果兩方都不指控對方，你們都關 2 年。

畫成表就長這樣：

讓我們來進入甲的腦內劇場：

l 如果乙很有義氣地不指控我，而我指控乙，我就直接走人，但沒指控要關 2 年。

l 如果乙很沒義氣地指控我，而我指控乙只要關 5 年，但沒指控要關 10 年。

l 啥鬼啦！橫豎我指控都比較好嘛！乙，對不起囉～

用賽局理論（Game Theroy）的語言來說，這表示甲有一個優勢策略（Dominant Strategy）叫做「指控」。因為不管乙的選擇是什麼，甲「指控」都會得到比沒指控更好的結果。

可怕的事情是，乙會進行一模一樣的腦內劇場。換言之，甲乙最後都會選擇「指控」，然後一起被關五年，在牢房裡面互相幹譙對方，為什麼這麼沒有義氣！

當甲乙雙方都有優勢策略時，雙方自然都選擇優勢策略，進入所謂的優勢策略均衡（Pure Strategy Nash Equilibrium）中。也就是這裡雙方都互相指控的那一格（５年／５年）。

正常情況下，他們永遠無法進入所謂的柏拉圖最優（Pareto Optimal）的一格（２年／２年）。柏拉圖最優的意思是，不存在其他格子，使得每一個人都沒有變差，而且至少有一個人變得更好。在此例中，任何其他格子都至少有一個人關得比２年久，所以２年／２年是其中柏拉圖最優的格子，卻是永遠無法企及的一格。

混合策略與納許均衡

當然，不是所有的盤面都有優勢策略均衡。舉例來說，如果剪刀石頭布贏的人 1 分，輸的人 -1 分，平手 0 分的話，剪刀石頭布的盤面長這樣：

可以很輕易地看出，這個盤面沒有優勢策略；畢竟剪刀石頭布是對稱的，沒道理其中一個特別厲害。

但這是只考慮純策略（Pure Strategy）的情況下。也就是，假設雙方只能單押「我要出剪刀」或「我要出石頭」等單一選項的話。

假設讓雙方都聰明一點：與其選擇單一選項，讓我們允許雙方給予這些選項一個機率分布。

舉例來說，甲方可以選擇「我70% 要出剪刀，20% 要出石頭，10% 要出布」。這個（70%,20%,10%）稱為一個混合策略（Mixed Strategy）。

``如同優勢策略的思維，能不能找到一個『優勢』的混合策略呢？''

我們需要停下來思考一下，『優勢』是什麼意思？注意到純策略的優勢策略，可以視為『我管你選什麼，我都沒差』。所以，優勢的混合策略比照辦理，原則就是『我管你選什麼，我都沒差』。

我們可以用數學來求這個最佳策略。

假設混合策略是（x,y,z）。基於機率加起來是1，所以必然要有 x+y+z=1。此外，由於希望不管對方是出剪刀石頭還是布『我都沒差』，所以，三個狀況下的期望分數應該是一樣的。也就是說，

-y+z = z-x = x-y

簡單的代數運算就會得到 x = y = z = 1/3。非常合理，反正我隨便出，你奈我何？

套用相同的概念去分析更複雜的狀況。舉例來說，有一種剪刀石頭布的變型，是依照你出的手指數來看你贏的時候的分數，如下：

讀者有興趣可以算算看，這個盤面的混合策略是什麼？

既然有混合策略，相對就會有混合策略均衡（Nash Equilibrium）的概念。即是，雙方都照著各自的最佳混合策略走。

電影美麗境界的主角約翰·納許 (John Nash) ，用數學證明了

「如果玩家人數有限，選項有限，則必然存在混合策略均衡。」

事實上，在若干條件下，甚至可以把證明擴張到無限多的選項。例如『在 [0,1] 閉區間選一個數字』這樣的比賽。

遊戲設計的應用

那…這關遊戲什麼事？基本上，遊戲是個動態的過程，依照以上的定理，可知無法避免混合策略均衡的存在。但遊戲設計者想要避免的，有以下兩件事：

1. 希望遊戲不要從頭到尾都有固定的優勢策略

不然的話，你大可以跟別人說『輪到我，幫我做Ａ這個動作』，然後就去旁邊滑手機了。

2. 希望遊戲不要從頭到尾都有固定的最佳混合策略

不然的話，你大可以跟別人說『輪到我，幫我丟顆骰子，照骰子結果做事』，然後就去旁邊滑手機了。

世紀帝國 2 遊戲畫面（圖片來源：http://3c.technews.tw/2015/04/11/aoe2-new-expansion/）

說起來簡單，不過，執行起來一點都不簡單。遊戲史上失衡的例子所在多有。舉個相對有名的例子：如果把選種族當成一個遊戲策略選項的話，那世紀帝國２的條頓幾乎就是個優勢策略。管你對手選啥，你選條頓就對了！！

星海爭霸遊戲畫面（圖片來源：https://www.geforce.com.tw/games-applications/pc-games/starcraft-2-heart-of-the-swarm）

相對的，如果遊戲平衡設計得恰到好處，就是經典。這也是為什麼星海爭霸系列在遊戲設計史上的地位這麼崇高，因為它幾乎創造了沒有優勢策略的種族設定，人族、神族、蟲族近乎平衡。但也只是近乎平衡，你時不時還是會發現大家出來喊『T imba』（遊戲用語 =人類 imbalance = 靠北太強了啦！）或之類的。同樣的狀況，也出現在內部的策略選擇上，例如人類一度就是死神開，神族教鳳流（教士＋鳳凰）等等。

於是，你就看著暴雪（星海爭霸的公司）不斷地改版，不斷地在最佳混合策略被看出來的時候，趕快調整一些數值，讓玩家們重新去尋找最佳混合策略，延長遊戲的生命週期，同時間罵幾聲『暴雪你在想什麼啊！！！』