張貼日期：Jun 27, 2016 10:14:24 AM
作者：郭君逸 副教授（國立臺灣師範大學數學系）
最近在 TED 看到了一個有趣的《吃香菇中毒只能靠一種母青蛙解毒的機率》影片：
http://ed.ted.com/lessons/can-you-solve-the-frog-riddle-derek-abbott
這段影片引發了網友非常多的討論。再閱讀以下文章之前，建議先觀賞此影片。雖然影片有中文字幕，為了方便起見，在此簡單說明影片大綱，就是有一個愛吃香菇的人不小心在森林裡吃了毒菇中毒，奄奄一息當下發現前方和後方出現了唯一能夠解毒的青蛙品種，條件是只有母蛙可以解毒，且只有公蛙會叫，問題是前方出現一隻蛙，同時後方傳出蛙鳴轉頭發現兩隻蛙的情況下，聰明的你該做何選擇 {往前或往後}？
有人說 TED 的影片說錯了，有人說對了，也有人為它寫了更詳細的說明文章。
蒙特霍爾問題
這件事讓我想到了在 1990 年紅極一時的蒙特霍爾問題( Monty Hall Problem [2])。當時美國有個益智綜藝節目《Let’s Make a Deal》，最後一個關卡，參賽者面對的是三個門，主持人 Monty Hall 會告知參賽者，有兩個門後是山羊，有一個門後是凱迪拉克跑車，參賽者選了其中一個門後，主持人為了提升節目的緊張刺激氣氛，會從參賽者沒選的兩個門中打開一個山羊門，此時參賽者就會大呼一口氣：「呼～好險沒選那道門！」這個時候，主持人會給參賽者一個機會：「還剩下一個沒有開過的門，你要換嗎？」
主編家裡剛好有3個相同的門?!
那參賽者是該換好，還是不換好呢？此即為著名的蒙特霍爾問題。在電影《決勝21點》中，教授在課堂上也問了同樣的問題。
智商據說高達 228 的 Savant，是雜誌 Parade 上的科普專欄作者，她在 1990 年 9 月 9 日的專欄中提到了 Monty Hall Problem 的解答「換! 有 2/3 的機率可以得到凱迪拉克。」此文一出引發了廣泛的討論，當時有一大票人都覺得 Savant 算錯了，他們所持的論點不外乎是「只剩下兩個門，很顯然換與不換的機率都是 1/2 才對啊!」其中還包含許多數學專家，連極擅長機率方法的大數學家 Paul Erdős 也不能在短時間內搞清楚這件事 (請參考[1])。隨著大量的指正信函湧入，Savant 趕緊在下一期專欄中補充說明，詳細列出了所有樣本空間來澄清她的結論。不少人仍然抱持著懷疑無法信服，直到有人用電腦做了上萬次的摸擬後，大多數人才漸漸地同意 Savant 的說法。
搞清楚樣本空間才不會上當
在真的解決此兩個問題前，我們先來談談機率統計中幾個很重要，但又容易被忽略的概念。第一個就是「樣本空間(Sample Space)」。白話來說，樣本空間就是所有會發生的情況的集合。
球
例子1：袋子中有四顆球，分別為 1,2,3,4 號球，從袋中隨意取出兩顆，請問兩球的號碼是相鄰的機率是多少？
解題時，第一個就是要先列出樣本空間(所有可能的情況)：{12, 13, 14, 23, 24, 34}共 6 種；而想要計算的情況[兩球號碼相鄰]的所有可能情形有：{12, 23, 34}共 3 種，所以答案為 3/6 = 1/2。
另一種想法是這樣，取出的兩顆球視為有順序的，所以先取 1 號再取 2 號，與先取 2 號再取 1 號視為不相同，因此樣本空間(所有可能的情況)為：{12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43}共 12 種；要計算[兩球號碼相鄰]的情況有：{12, 21, 23, 32, 34, 43}共 6 種，所以答案為 6/12 = 1/2。
兩者的答案雖相同，但其實前者的解法漏講了一件事，也就是第二個容易犯錯的地方：假設。
我們面對機率問題，都會有一些數學上的假設，在這些假設下，我們才有辦法計算機率，否則是沒辦法算的。而取球問題，「通常」我們都會假設每一顆被取到的機率相同 (identical)，而且每顆球被取的到機率互不影響(independent)，有了這兩個條件才有辦法計算下去。
但這時候讀者可能會說：「啊題目又沒講，誰知道它是這樣假設啊！」
其實這就是一種數學能力的培養，這也是老師要教給學生很重要的一個部份，解題反而是其次。例子1若要寫的很詳細的話，會變成這樣：
「一個不透明的袋子中放有四顆球，四顆球上編號各為 1, 2, 3, 4，而且四顆球從外觀上摸不出有任何的差別。現在閉著眼睛，從袋中任意取出兩球，每一顆球被取到的機會相同，請問被取到的兩球上面的數字恰好相差 1 的機率為何？」
這樣子一來題目會變的很多文字，而且也不見得能夠說的仔細。另一方面就是，若我們要拿數學來解決生活上的問題時，這些建模時所需要的「常識」性假設還是要自己來才行呀。
回到例子1，因為假設每顆球被選到的機率一樣，所以雖然是同時選兩顆球，選出來我們看到的情況是 {12, 13, 14, 23, 24, 34} 六種，但卻不知道這六種發生的機率(其實可以，但就是要多花兩三句話解釋。)因此若把兩顆球分開來看，先取 1 號再取 2 號，跟先取 2 號再取 1 號，……，樣本空間改為是有順序的樣本，在此假設下，這 12 種取法發生的機率都相同，然後我們要的數字相鄰的事件是其中 6 種，所以是 1/2。
硬幣
若讀者還是霧煞煞的話，我們舉個耳熟能詳的例子：
例子2：丟兩枚硬幣，請問一正一反的機率是多少？
(題目沒有假設「硬幣只會出現正面跟反面兩種，不會立著，而且正面跟反面的機率要相同，兩枚硬幣的結果不會互相影響」，但，你懂的…)
想法1：丟兩枚硬幣的樣本空間為 {正正，正反，反反} 三種，要算的一正一反的情況，就只有 {正反} 這一種，所以答案是 1/3。
想法2：把兩枚硬幣視為有順序，樣本空間為 {正正，正反，反正，反反} 四種，要算的情況有 {正反，反正} 兩種，所以答案是 2/4 = 1/2。
不用說，其實大家都知道是想法2正確，這就是因為「常識」的假設，是單個硬幣丟出正、反的機率相同，所以我們要將兩個硬幣視為有順序來計算才行。但題目若有「假設此兩硬幣丟出的每種情況機率相同」，那在這個假設下，想法1才是對的了。
布丁
以下是真實的例子。
台北市的某知名高中，高一期中考有個題目：「布丁有四種口味，一個禮盒裝有六個布丁，請問(1)最多有幾種不同的禮盒？(2)每種口味至少一個的禮盒有幾種？(3)假設每次每種口味的布丁被選到的機會相同，請問任選六個裝一盒，裡面每種口味至少一個的機率是多少？」
考試考完，出題老師公布的答案是「(1) 84種; (2) 10種; (3) 10/84。」
行文至此，各位讀者發現哪裡怪怪了嗎？沒關係！全校數學老師也都沒發現錯誤。
經過了約一個月左右，有個追根究抵的學生跟別班的某老師提出此答案有誤，並講了他自己的想法，後來經過幾個老師討論，出題老師才承認第三題的機率不應該是 10/84。那麼應該是多少呢？
由上面這些例子，可見，樣本空間的選擇並不唯一，但它是要符合某些條件才能有助於機率計算，這往往是被忽略的，也因此即使是數學專家，也時常會出錯。
有了樣本空間的概念後，現在我們回來看 TED 影片中，青蛙的問題，應該就會很明顯了。影片中有一些假設，要特別注意，因為會影響答案：《因為中毒，體力只夠往前或往後選一個，每隻青蛙公或母機率相同。》
選擇往前走的話，樣本空間是{公, 母}兩種，但只有{母}能存活，所以存活率是 1/2 。
往後走的話，已知有一隻公蛙，兩隻青蛙視為有順序，樣本空間是{公母，母公，公公}，影片中有說可以兩隻一起舔，因此存活的情況有{公母，母公}，所以存活率是 2/3 ，所以要往後轉，存活率較高。
但如果讀者沒弄清楚的話，以為兩隻只能選一隻舔，樣本空間變成{公母舔公，公母舔母，母公舔母，母公舔公，公公舔左公，公公舔右公}六種，看了那麼多公公我的偏頭痛又發作了，其實只有舔母的兩種能存活，存活率變 1/3 。
讀者可以試試，若現在的假設改成：《因為中毒太嚴重，頭暈無法思考，是往前走或往後走，只能隨便選一個，機率相同，若遇到兩隻青蛙的話，可以同時舔》，請問存活率是多少？
最後談到 Monty Hall Problem，其實網路上有很多文章都有詳細的說明了 (參考[3])，我們便不多著墨，但讀者可以試著把樣本空間列出來試試。
這裡列出各種常見的錯誤想法：
想法A：最後剩兩個門，能夠選到的情況樣本空間就是{車，羊}，其中有一個是轎車，所以中獎機率是 1/2 。
想法B：最後剩兩個門，任選一個，的樣本空間{車羊選車，車羊選羊，羊車選羊，羊車選車}，中獎的機率是 1/2。
想法C：若觀眾選擇要換，所有的情況從一開始就要列出來，
(這裡僅列出轎車在A門，轎車在B或C門的情況類似)：
1. 觀眾選A→主持人開B→觀眾換成C→沒中
2. 觀眾選A→主持人開C→觀眾換成B→沒中
3. 觀眾選B→主持人開C→觀眾換成A→中獎
4. 觀眾選C→主持人開B→觀眾換成A→中獎
中獎機率是2/4 = 1/2 。
若觀眾不換的話，
5. 觀眾選A→主持人開B→觀眾不換→中獎
6. 觀眾選A→主持人開C→觀眾不換→中獎
7. 觀眾選B→主持人開C→觀眾不換→沒中
8. 觀眾選C→主持人開B→觀眾不換→沒中
中獎機率也是2/4 = 1/2 。所以換不換都一樣。
以上三種想法，在樣本空間上其實都只是計算了樣本的「量」，但每個樣本發生的機率並不全然相同，導致產生跟前面布丁題目一樣的盲點。
麻煩的是，Monty Hall Problem 並無法列出每個樣本發生機率一樣的樣本空間，所以我們要把每個樣本的機率計算進去才行，
1. 觀眾選A機率1/3→主持人開B機率(1/2)→觀眾換成C→沒中(機率為1/6)
2. 觀眾選A機率1/3→主持人開C機率(1/2)→觀眾換成B→沒中(機率為1/6)
3. 觀眾選B機率1/3→主持人一定開C→觀眾換成A→中獎(機率為1/3)
4. 觀眾選C機率1/3→主持人一定開B→觀眾換成A→中獎(機率為1/3)
所以觀眾選擇換的話，中獎機率變成 2/3 。
數學中沒有什麼比機率論更容易令專家出錯
總結一下，古典機率問題計算都必須要先知道樣本空間，而樣本空間有很多不同的取法，但只有在每個樣本發生的機率都一樣時，才能直接使用「量相除」來計算，否則會常常發生錯誤。這個是非常重要的觀念，算題目時，若沒弄清楚，就會常常覺得為何無法這樣算，無法那樣算，或是答案錯了而不自知，即使是數學老師，也時常的弄錯。著名的科普數學家 Martin Gardner 也曾在《Scientific American》中發表了一個類似 Monty Hall Problem 的 Three Prisoner Problem，當時他給了這樣一個註解："In no other branch of mathematics is it so easy for experts to blunder as in probability theory."
2009 年華視有個綜藝節目「平民大富翁」，一開始由聶雲主持，後來換吳宗憲，中間有個關卡，有 26 個手提箱，每個箱子裡面有不同的獎金，最高獎金是 50 萬，由觀眾先選一個手提箱，然後主持人會從沒選的箱子中挑三個低獎金的打開，然後再問觀眾要不要換，觀眾抉擇之後，主持人又再打開三個，再問觀眾要不要換，一共會進行六輪，總共打開了 18 個箱子，才會確定觀眾的箱子。假設主持人都只會打開低獎金的箱子，請問觀眾要用什麼策略最後選到 50 萬的機會最高呢？每次都換嗎？還是都一樣？這個問題就留給讀者動腦囉～
其實硬幣是不公正的
最後提一件有趣的事，機率的題目常常都須[假設硬幣是公正的]，但其實[硬幣是不公正的]。史丹佛(Stanford)大學的 Persi Diaconis 教授，做了研究，投擲(toss)硬幣時，原本朝上的那面，後來朝上的機率是 51%，並非 50%。佩柏戴恩(Pepperdine)大學的 Brian Fisher 教授也做了研究，桌上轉(spin)硬幣，讓它自動停止的話，因為硬幣花紋、重量不平均的關係，其實頭朝上或尾朝上的機率並不相同，不同硬幣也不同，有時差異可以高達 70% 之多。這個有趣的現象，被收錄到《Penn & Teller Tell a Lie》的第四集中讓觀眾猜猜是否是真實的，此節目在台灣的譯名為《泰勒與潘安真假猜一猜》，有興趣的讀者可以搜尋來看看，分別在 23 分鐘與 31 分鐘的地方出現。同樣的，廟宇常見的「筊杯」也有類似的現象。
延伸閱讀
參考資料
1. Alladi K, Krantz S. 2015. Reflections on Paul Erdős on his birth centenary. Notices of the American Mathematical Society 62(2):121-143.
Alladi K, Krantz S. 2015. Reflections on Paul Erdős on his birth centenary, part ii. Notices of the American Mathematical Society 62(3):226-247.
2. John Teirney, Behind MontyHall’s Doors: Puzzle, Debate and Answer? The New York Times, July 21, 1991.
3. Monty Hall Problem, Wikipedia.