平均が正規分布に従う正規分布の混合分布は正規分布になる

正規分布と正規分布の混合分布

　タイトルをみて、「あ？うん？」っとなると思う。GLMMで混合分布を扱ってきた。その時に、ガンマ分布とポアソン分布の混合分布や、ベータ分布と二項分布の混合分布を扱ってきた。それと同じように、平均が正規分布に従う正規分布、つまり正規分布と正規分布の混合分布を考えることが可能である。このような確率分布はどうなるか、今回は式変形を紹介しておこう。

　今、平均が従う正規分布を平均^μ、標準偏差σ2とする。この正規分布からμが与えられ、このμを平均、標準偏差σ1の正規分布に確率変数が従うとすると、混合分布は下記のとおり。

正規分布の定義と照らし合わせてみると、上記は平均^μ、標準偏差√(σ1^2+σ2^2)の正規分布である。正規分布同士の混合分布の結果は覚えやすいので、頭の片隅に置いておくとよいだろう。