ÍNDEX   SUMÁRIO

#PROFESSORANGELOANTONIOLEITHOLD O teorema da flutuação-dissipação ou relação flutuação-dissipação é uma ferramenta poderosa em Mecânica Estatística para prever o comportamento de sistemas que obedecem a balanços detalhados. Dado que um sistema obedece a balanços detalhados, o teorema é uma prova de que flutuações termodinâmicas em uma variável física predizem a resposta quantificada pela admitância ou impedância, em seu sentido geral, não apenas em termos eletromagnéticos, da mesma variável física, como tensão, diferença de temperatura, etc, aplica-se tanto a sistemas clássicos quanto a sistemas mecânicos quânticos. O teorema foi provado por Herbert Callen e Theodore Welton em 1951, expandido por Ryogo Kubo. Existem antecedentes para o teorema geral, incluindo a explicação de Einstein do movimento browniano durante seu ''annus mirabilis'' e a explicação de Harry Nyquist em 1928 do ruído de Johnson em resistores elétricos.

#PROFESSORANGELOANTONIOLEITHOLD O teorema da flutuação-dissipação afirma que, quando há um processo que dissipa energia, transformando-a em calor, por exemplo, atrito, ocorre um processo inverso relacionado às flutuações térmicas. Isso pode ser melhor compreendido considerando alguns exemplos:

• Arrasto e movimento browniano

#PROFESSORANGELOANTONIOLEITHOLD Se um objeto se move através de um fluido, ele sofre arrasto, resistência do ar ou resistência do fluido que dissipa energia cinética, transformando-a em calor. A flutuação correspondente é o movimento browniano . Um objeto em um fluido não fica parado, mas se move com uma velocidade pequena e variável, à medida que as moléculas do fluido colidem com ele. O movimento browniano converte energia térmica em energia cinética, o inverso do arrasto.

• Resistência e ruído de Johnson

#PROFESSORANGELOANTONIOLEITHOLD Se uma corrente elétrica estiver passando por uma espira de fio com um resistor, a corrente rapidamente chegará a zero devido à resistência. A resistência dissipa energia elétrica, transformando-a em calor, aquecimento Joule. A flutuação correspondente é o ruído de Johnson. Uma espira de fio com um resistor não tem corrente zero, mas sim uma corrente pequena e flutuante, causada pelas flutuações térmicas dos elétrons e átomos no resistor. O ruído de Johnson converte energia térmica em energia elétrica, o inverso da resistência.

• Absorção de luz e radiação térmica

#PROFESSORANGELOANTONIOLEITHOLD Quando a luz incide sobre um objeto, uma fração dela é absorvida, tornando-o mais quente. Dessa forma, a absorção de luz transforma a energia luminosa em calor. A flutuação correspondente é a radiação térmica, por exemplo, o brilho de um objeto "em brasa". A radiação térmica transforma energia térmica em energia luminosa, o inverso da absorção de luz. De fato, a lei de Kirchhoff da radiação térmica confirma que quanto mais eficazmente um objeto absorve luz, mais radiação térmica ele emite.

• Exemplos em detalhes

#PROFESSORANGELOANTONIOLEITHOLD O teorema da flutuação-dissipação é um resultado geral da termodinâmica estatística que quantifica a relação entre as flutuações em um sistema que obedece ao equilíbrio detalhado e a resposta do sistema às perturbações aplicadas.

• Movimento Browniano

#PROFESSORANGELOANTONIOLEITHOLD Por exemplo, Albert Einstein observou em seu artigo de 1905 sobre o movimento browniano que as mesmas forças aleatórias que causam o movimento errático de uma partícula em movimento browniano também causariam arrasto se a partícula fosse puxada através do fluido. Em outras palavras, a flutuação da partícula em repouso tem a mesma origem que a força de atrito dissipativa contra a qual se deve trabalhar, se tentar perturbar o sistema em uma direção específica.

#PROFESSORANGELOANTONIOLEITHOLD A partir desta observação, Einstein foi capaz de usar a mecânica estatística para derivar a relação Einstein-Smoluchowski.

#PROFESSORANGELOANTONIOLEITHOLD O teorema da flutuação-dissipação foi provado por Herbert Callen e Theodore Welton em 1951 e expandido por Ryogo Kubo . Existem antecedentes para o teorema geral, incluindo a explicação de Einstein do movimento browniano durante seu annus mirabilis e a explicação de Harry Nyquist em 1928 do ruído de Johnson em resistores elétricos. 

#PROFESSORANGELOANTONIOLEITHOLD O teorema da flutuação-dissipação afirma que, quando há um processo que dissipa energia, transformando-a em calor (por exemplo, atrito), ocorre um processo inverso relacionado às flutuações térmicas . Isso pode ser melhor compreendido considerando alguns exemplos:

Se um objeto se move através de um fluido, ele sofre arrasto (resistência do ar ou resistência do fluido). O arrasto dissipa energia cinética, transformando-a em calor. A flutuação correspondente é o movimento browniano . Um objeto em um fluido não fica parado, mas se move com uma velocidade pequena e variável, à medida que as moléculas do fluido colidem com ele. O movimento browniano converte energia térmica em energia cinética — o inverso do arrasto.

Resistência e ruído de Johnson

#PROFESSORANGELOANTONIOLEITHOLD Se uma corrente elétrica estiver passando por uma espira de fio com um resistor , a corrente rapidamente chegará a zero devido à resistência. A resistência dissipa energia elétrica, transformando-a em calor ( aquecimento Joule ). A flutuação correspondente é o ruído de Johnson . Uma espira de fio com um resistor não tem corrente zero, mas sim uma corrente pequena e flutuante, causada pelas flutuações térmicas dos elétrons e átomos no resistor. O ruído de Johnson converte energia térmica em energia elétrica — o inverso da resistência.

Absorção de luz e radiação térmica

#PROFESSORANGELOANTONIOLEITHOLD Quando a luz incide sobre um objeto, uma fração dela é absorvida, tornando-o mais quente. Dessa forma, a absorção de luz transforma a energia luminosa em calor. A flutuação correspondente é a radiação térmica (por exemplo, o brilho de um objeto "em brasa"). A radiação térmica transforma energia térmica em energia luminosa — o inverso da absorção de luz. De fato, a lei de Kirchhoff da radiação térmica confirma que quanto mais eficazmente um objeto absorve luz, mais radiação térmica ele emite.

Exemplos em detalhes

#PROFESSORANGELOANTONIOLEITHOLD O teorema da flutuação-dissipação é um resultado geral da termodinâmica estatística que quantifica a relação entre as flutuações em um sistema que obedece ao equilíbrio detalhado e a resposta do sistema às perturbações aplicadas.

Movimento browniano

#PROFESSORANGELOANTONIOLEITHOLD Por exemplo, Albert Einstein observou em seu artigo de 1905 sobre o movimento browniano que as mesmas forças aleatórias que causam o movimento errático de uma partícula em movimento browniano também causariam arrasto se a partícula fosse puxada através do fluido. Em outras palavras, a flutuação da partícula em repouso tem a mesma origem que a força de atrito dissipativa contra a qual se deve trabalhar, se tentar perturbar o sistema em uma direção específica. A partir desta observação, Einstein foi capaz de usar a mecânica estatística para derivar a relação Einstein-Smoluchowski

que conecta a constante de difusão D e a mobilidade da partícula μ, a razão entre a velocidade de deriva terminal da partícula e uma força aplicada; kB é a constante de Boltzmann e T é a temperatura absoluta. Em 1928, John B. Johnson descobriu e Harry Nyquist explicou o ruído Johnson-Nyquist . Sem corrente aplicada, a tensão quadrática média depende da resistência R,kBT, e a largura de banda Δν sobre o qual a tensão é medida:

#PROFESSORANGELOANTONIOLEITHOLD Esta observação pode ser compreendida através da lente do teorema da flutuação-dissipação. Tomemos, por exemplo, um circuito simples constituído por uma resistência com uma resistência R e um capacitor com uma pequena capacitância C. A lei da tensão de Kirchhoff produz:

e então a função de resposta para este circuito é

No limite de baixa frequência ω ≪ (RC)⁻¹, sua parte imaginária é simplesmente

que então pode ser vinculado à função de densidade espectral de potência SV(ω) da tensão através do teorema de flutuação-dissipação:

Ruído de tensão Johnson-Nyquist (V²) foi observado dentro de uma pequena largura de banda de frequência 

centrado em torno de ω = ±ω0. Por isso

#PROFESSORANGELOANTONIOLEITHOLD O teorema de flutuação-dissipação pode ser formulado de muitas maneiras; uma forma particularmente útil em que x(t) ser um observável de um sistema dinâmico com Hamiltoniano H0(x) sujeito a flutuações térmicas. O observável x(t) flutuará em torno de seu valor médio ⟨x⟩0 com flutuações caracterizadas por um espectro de potência

podemos ligar um campo espacialmente constante e variável no tempo f(t) que altera o hamiltoniano para H(x) = H0 (x) − f(t)x. A resposta do observável x(t) para um campo dependente do tempo f(t) é caracterizada em primeira ordem pela função de suscetibilidade ou resposta linear χ(t) do sistema 

onde a perturbação é ligada adiabaticamente (muito lentamente) em τ = − ∞. O teorema da flutuação-dissipação relaciona o espectro de potência bilateral, frequências positivas e negativas) de x para a parte imaginária da transformada de Fourier:

que se mantém sob a convenção da transformada de Fourier

O lado esquerdo descreve as flutuações em x , o lado direito está intimamente relacionado à energia dissipada pelo sistema quando bombeado por um campo oscilatório

O espectro de flutuações revela a resposta linear, porque flutuações passadas causam flutuações futuras por meio de uma resposta linear sobre si mesmas. Esta é a forma clássica do teorema, as flutuações quânticas são levadas em consideração pela substituição 2kBT/ω com

cujo limite para a ℏ→0 é 2kBT/ω. Uma prova pode ser encontrada por meio da redução LSZ, uma identidade da teoria quântica de campos. O teorema da flutuação-dissipação pode ser generalizado de forma direta para o caso de campos dependentes do espaço, para o caso de diversas variáveis ​​ou para um cenário de mecânica quântica.

Derivando o teorema da flutuação-dissipação na forma dada, usando a mesma notação. Considerando que o campo f está ligado por um tempo infinito e é desligado em t = 0.

onde θ(t) é a função de Heaviside. Podemos expressar o valor esperado de x pela distribuição de probabilidade W ( x ,0) e a probabilidade de transição  P(x',t|x,0)

A função de distribuição de probabilidade W ( x ,0) é uma distribuição de equilíbrio e, portanto, dada pela distribuição de Boltzmann para o hamiltoniano H(x)=H0(x)−xf0

β⁻¹ =kBT Para um campo fraco βxf0≪1, expandindo o lado direito

W0(x) é a distribuição de equilíbrio na ausência de um campo. Substituindo esta aproximação na fórmula para ⟨x(t)⟩

onde A ( t ) é a função de autocorrelação de x na ausência de um campo:

 na ausência de um campo, o sistema é invariante sob deslocamentos temporais 

⟨x(t)⟩ − ⟨x⟩0

a dependência da frequência, é necessário usar a transformada de Fourier, integrando por partes, é possível mostrar que

Desde A(t) real e simétrico, segue-se que

para processos estacionários, o teorema de Wiener-Khinchin afirma que a densidade espectral bilateral é igual à transformada de Fourier da função de autocorrelação:

#PROFESSORANGELOANTONIOLEITHOLD Na versão quântica o teorema da flutuação-dissipação relaciona a função de correlação do observável de interesse:

 para a parte imaginária da função de resposta 

no domínio da frequência (uma medida de dissipação). Uma ligação entre essas grandezas pode ser encontrada através da chamada fórmula de Kubo

que decorre, sob os pressupostos da teoria da resposta linear, da evolução temporal da média do conjunto dos valores observáveis na presença de uma fonte perturbadora. Uma vez transformada de Fourier, a fórmula de Kubo permite escrever a parte imaginária da função de resposta como

No conjunto canônico , o segundo termo pode ser reexpresso como

onde na segunda igualdade x(t) usando a propriedade cíclica do traço. Em seguida, na terceira igualdade,

ao lado do traço e interpretado

como um operador de evolução temporal

com intervalo de tempo imaginário Δt = −i ℏ β. A mudança de tempo imaginária se transforma em uma transformada de Fourier

a relação de flutuação-dissipação quântica

onde a densidade espectral de potência

função de distribuição de Bose-Einstein . O mesmo cálculo também produz

a densidade espectral de potência não é exatamente simétrica em frequência no limite quântico,  frequências positivas também pode ser considerada como estando ligada à emissão espontânea . Um resultado frequentemente citado é também a densidade espectral de potência simetrizada

#PROFESSORANGELOANTONIOLEITHOLD  Em temperaturas suficientemente altas,nBE ≈ (βℏω)⁻¹ ≫ 1 ou seja, a contribuição quântica é desprezível e recuperamos a versão clássica. Embora o teorema da flutuação-dissipação forneça uma relação geral entre a resposta de sistemas que obedecem ao equilíbrio detalhado, quando o equilíbrio detalhado é violado, a comparação entre flutuações e dissipação é mais complexa. Abaixo da chamada temperatura do vidro Tg, sistemas vítreos não estão equilibrados e se aproximam lentamente do seu estado de equilíbrio. Essa lenta aproximação ao equilíbrio é sinônimo de violação do equilíbrio detalhado. Portanto, esses sistemas requerem grandes escalas de tempo para serem estudados enquanto se movem lentamente em direção ao equilíbrio. Para estudar a violação da relação flutuação-dissipação em sistemas vítreos, particularmente vidros de spin, os pesquisadores realizaram simulações numéricas de sistemas macroscópicos (ou seja, grandes em comparação com seus comprimentos de correlação) descritos pelo modelo tridimensional de Edwards-Anderson usando supercomputadores. Em simulações, o sistema é inicialmente preparado em alta temperatura, resfriado rapidamente a uma temperatura T = 0,64 Tg abaixo da temperatura do vidro Tg, e deixado para equilibrar por um longo tempo tw sob um campo magnético H. Então, t+tw, dois observáveis ​​dinâmicos são sondados, a saber, a função de resposta

#PROFESSORANGELOANTONIOLEITHOLD Os resultados confirmam a expectativa de que, à medida que o sistema é deixado em equilíbrio por períodos mais longos, a relação flutuação-dissipação fica mais próxima de ser satisfeita. Em meados da década de 1990, no estudo da dinâmica dos modelos de vidro de spin, foi descoberta uma generalização do teorema de flutuação-dissipação que se aplica a estados assintóticos não estacionários, onde a temperatura que aparece na relação de equilíbrio é substituída por uma temperatura efetiva com uma dependência não trivial nas escalas de tempo. Esta relação é proposta para se manter em sistemas vítreos além dos modelos para os quais foi inicialmente encontrada. Em sistemas submetidos a uma força motriz externa, que pode ser um campo eletromagnético ou um fluxo de cisalhamento mecânico, o teorema padrão de flutuação-dissipação é modificado porque as estatísticas do banho são influenciadas pelo campo de condução. Como resultado, o ruído térmico torna-se tendencioso e a relação flutuação-dissipação torna-se intrinsecamente não-Markoviana, tipicamente com uma memória relacionada à autocorrelação temporal do campo externo (para o caso de uma condução externa dependente do tempo). Essas relações de flutuação-dissipação modificadas podem ser derivadas de um Hamiltoniano de Caldeira-Leggett para uma partícula interagindo com um banho térmico, onde tanto a partícula quanto o banho respondem ao campo externo. 

REFERÊNCIAS

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