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INSTITUTO DE AERONÁUTICA E ESPAÇOCAMPUS DE PESQUISAS GEOFÍSICAS MAJOR EDSEL DE FREITAS COUTINHOPROFESSOR ANGELO ANTONIO LEITHOLDINTRODUÇÃO À MECÂNICA ESTATÍSTICAINTRODUÇÃO À MECÂNICA ESTATÍSTICA está licenciado sob CC BY-NC-ND 4.0 por PROFESSOR ANGELO ANTONIO LEITHOLD
INTRODUÇÃO À MECÂNICA ESTATÍSTICA - SOBRE O ARTIGO INICIAL
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Em dezembro de 2004 eu reescrevi e publiquei a obra "Introdução à Mecânica Estatística" no Geocities e inseri um resumo na Wikipédia Pt para manter o registro, pois a publicação original em 2001 no BOL foi apagada quando aquele provedor foi descontinuado sem aviso prévio. O Geocities foi descontinuado pelo Yahoo, como eu tinha todas as alterações salvas, migrei para o Google Pages, e em seguida para o Google Sites. Desde então tenho mantido no ar, porém, com o passar do tempo, houve necessidade de reatualizar, pois já se vão 20 anos e a tecnologia, assim como a ciência progrediram, e muito em vinte anos, assim, a presente atualização se faz necessária e melhorias foram feitas. Estamos no ano de 2024, e ainda a publicação não está pronta, e nunca estará, conceitos foram melhorados, modernizados, e manter um site no ar não é fácil. Felizmente não ocorrem vandalismos, mas, muitos autores usaram minhas publicações, monetizaram, e sequer me citam como fonte, mesmo assim continuo a insistir e mantenho a obra atualizada. Caro leitor, caso utilize os conhecimentos aqui postados, peço que cite a fonte.
INTRODUÇÃO À MECÂNICA ESTATÍSTICA
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD A Mecânica Estatística, também chamada de Física Estatística, é um ramo fundamental da física que se dedica ao estudo de sistemas com um grande número de partículas, utilizando métodos estatísticos para descrever e prever o comportamento coletivo dessas partículas. Este campo da física é essencial para a compreensão de fenômenos macroscópicos a partir das propriedades microscópicas dos constituintes de um sistema, como átomos e moléculas. Seu desenvolvimento remonta ao século XIX, com contribuições significativas de cientistas como Ludwig Boltzmann, James Clerk Maxwell e Josiah Willard Gibbs. Boltzmann foi pioneiro ao introduzir a ideia de que as propriedades macroscópicas de um sistema podem ser derivadas das propriedades estatísticas de suas partículas microscópicas. Maxwell, por sua vez, desenvolveu a distribuição de velocidades das partículas em um gás ideal, conhecida como distribuição de Maxwell-Boltzmann. Gibbs, um dos fundadores da mecânica estatística moderna, introduziu o conceito de ensembles estatísticos, que são conjuntos hipotéticos de sistemas em diferentes estados, mas com a mesma energia, volume e número de partículas.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD A Mecânica Estatística baseia-se em alguns princípios fundamentais que permitem a conexão entre as propriedades microscópicas e macroscópicas de um sistema:
Distribuição de Boltzmann: Descreve a distribuição de partículas em diferentes estados de energia em equilíbrio térmico. Esta distribuição é fundamental para a compreensão de sistemas em equilíbrio e é expressa pela fórmula:
onde (E) é a energia do estado, (kB) é a constante de Boltzmann, (T) é a temperatura e (Z) é a função de partição.
Distribuição de Fermi-Dirac: Aplica-se a partículas que obedecem ao princípio de exclusão de Pauli, como elétrons. Esta distribuição é crucial para a descrição de sistemas de férmions, especialmente em física do estado sólido e astrofísica.
Distribuição de Bose-Einstein: Aplica-se a partículas que não obedecem ao princípio de exclusão de Pauli, como fótons e átomos de hélio-4. Esta distribuição é essencial para a compreensão de fenômenos como a condensação de Bose-Einstein e a superfluidez.
A Mecânica Estatística tem uma ampla gama de aplicações em diversas áreas da física e outras ciências:
Termodinâmica: A Mecânica Estatística fornece uma base teórica para a termodinâmica, explicando propriedades como temperatura, pressão, volume, energia interna, entropia e capacidade calorífica. Ela permite derivar as leis da termodinâmica a partir de princípios microscópicos.
Teoria Cinética dos Gases: Descreve o movimento das partículas em um gás, permitindo a derivação de propriedades macroscópicas como pressão e temperatura a partir do comportamento microscópico das moléculas.
Transições de Fase: Analisa mudanças de estado, como de sólido para líquido, líquido para gás e transições de fase mais complexas, como a transição de fase magnética. A Mecânica Estatística é fundamental para a compreensão de fenômenos críticos e pontos críticos.
Física do Estado Sólido: Desempenha um papel crucial na descrição das propriedades eletrônicas, térmicas e magnéticas dos sólidos. A teoria de bandas, a condução elétrica e a supercondutividade são exemplos de fenômenos explicados pela Mecânica Estatística.
Astrofísica: Utilizada para descrever o comportamento de sistemas astrofísicos, como estrelas e galáxias, onde a interação gravitacional entre um grande número de partículas deve ser considerada.
Biologia e Química: Aplicada na descrição de processos biológicos e químicos, como a dinâmica de proteínas, a estrutura do DNA e as reações químicas em solução.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD A Física Estatística é crucial para o avanço da ciência e da tecnologia, ela fornece uma ponte entre a mecânica clássica e a mecânica quântica, permitindo a descrição de sistemas em diferentes escalas de energia e temperatura. Além disso, suas aplicações interdisciplinares têm impacto significativo em áreas como a ciência dos materiais, a biologia molecular, a química física e a engenharia. A capacidade de modelar e prever o comportamento de sistemas complexos torna a Mecânica Estatística uma ferramenta poderosa para a inovação tecnológica. Por exemplo, o desenvolvimento de novos materiais com propriedades específicas, como supercondutores e materiais magnéticos, depende de uma compreensão profunda dos princípios da Mecânica Estatística.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Eu sempre afirmo em aula que a Mecânica Estatística é um campo vasto e multifacetado que desempenha um papel central na física moderna. Seu desenvolvimento histórico, princípios fundamentais e ampla gama de aplicações destacam sua importância para a compreensão dos fenômenos naturais e para o avanço da ciência e da tecnologia. Este campo continua a evoluir, oferecendo novas perspectivas e desafios para pesquisadores em todo o mundo, pois é uma estrutura matemática que aplica métodos estatísticos e teoria da probabilidade a grandes conjuntos de entidades microscópicas. Conforme citei anteriormente, eu me refiro também como física estatística ou termodinâmica estatística, cujas aplicações, repito, incluem muitos problemas nos campos da física, biologia, química, neurociência, ciência da computação, teoria da informação, sociologia, medicina, dentre outros campos da ciência. Seu principal objetivo é esclarecer as propriedades da matéria em conjunto, em termos de leis físicas que regem o movimento atômico.
PEQUENO HISTÓRICO
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD A mecânica estatística surgiu do desenvolvimento da termodinâmica clássica, um campo para o qual foi bem sucedida em explicar propriedades físicas macroscópicas como temperatura, pressão e capacidade térmica, em termos de parâmetros microscópicos que flutuam em torno de valores médios e são caracterizados por distribuições de probabilidade. Enquanto a termodinâmica clássica se preocupa principalmente com o equilíbrio termodinâmico, a mecânica estatística tem sido aplicada na mecânica estatística de não equilíbrio às questões de modelagem microscópica da velocidade de processos irreversíveis que são conduzidos por desequilíbrios. Exemplos de tais processos incluem reações químicas e fluxos de partículas e calor. O teorema de flutuação-dissipação é o conhecimento básico obtido pela aplicação da mecânica estatística de não equilíbrio para estudar a situação de não equilíbrio mais simples de um fluxo de corrente em estado estacionário em um sistema de muitas partículas.
Em 1738, o físico e matemático suíço Daniel Bernoulli publicou Hydrodynamica que lançou as bases para a teoria cinética dos gases. Nesta obra, Bernoulli postulou o argumento, ainda usado até hoje, de que os gases consistem em um grande número de moléculas se movendo em todas as direções, que seu impacto em uma superfície causa a pressão do gás que sentimos e que o que experimentamos como calor é simplesmente a energia cinética de seu movimento. A fundação do campo da mecânica estatística é creditada a três físicos:
Ludwig Boltzmann , que desenvolveu a interpretação fundamental da entropia em termos de uma coleção de microestados
James Clerk Maxwell , que desenvolveu modelos de distribuição de probabilidade de tais estados
Josiah Willard Gibbs , que cunhou o nome do campo em 1884
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Em 1859, após ler um artigo sobre a difusão de moléculas de Rudolf Clausius, o físico escocês James Clerk Maxwell formulou a distribuição de Maxwell de velocidades moleculares, que dava a proporção de moléculas com uma certa velocidade em um intervalo específico. Esta foi a primeira lei estatística da física, Maxwell também deu o primeiro argumento mecânico de que as colisões moleculares implicam uma equalização de temperaturas e, portanto, uma tendência ao equilíbrio. Cinco anos depois, em 1864, Ludwig Boltzmann , um jovem estudante em Viena, encontrou o artigo de Maxwell e passou grande parte de sua vida desenvolvendo ainda mais o assunto.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD A mecânica estatística foi iniciada na década de 1870 com o trabalho de Boltzmann, muito do qual foi publicado coletivamente em suas Palestras sobre a Teoria dos Gases de 1896. Os artigos originais de Boltzmann sobre a interpretação estatística da termodinâmica, o teorema H, a teoria do transporte, o equilíbrio térmico, a equação de estado dos gases e assuntos semelhantes ocupam cerca de 2.000 páginas nos anais da Academia de Viena e outras sociedades. Boltzmann introduziu o conceito de um conjunto estatístico de equilíbrio e também investigou pela primeira vez a mecânica estatística de não equilíbrio, com seu teorema H.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD O termo "mecânica estatística" foi cunhado pelo físico matemático americano J. Willard Gibbs em 1884. Segundo Gibbs, o termo "estatístico", no contexto da mecânica, ou seja, mecânica estatística, foi usado pela primeira vez pelo físico escocês James Clerk Maxwell em 1871:
"Ao lidar com massas de matéria, embora não percebamos as moléculas individuais, somos compelidos a adotar o que descrevi como o método estatístico de cálculo e a abandonar o método dinâmico estrito, no qual acompanhamos cada movimento pelo cálculo." - J. Clerk Maxwell
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD "Mecânica probabilística" pode parecer hoje um termo mais apropriado, mas "mecânica estatística" está firmemente enraizada. Pouco antes de sua morte, Gibbs publicou em 1902 Princípios Elementares em Mecânica Estatística, um livro que formalizou a mecânica estatística como uma abordagem totalmente geral para abordar todos os sistemas mecânicos, macroscópicos ou microscópicos, gasosos ou não gasosos. Os métodos de Gibbs foram inicialmente derivados da estrutura da mecânica clássica, no entanto, eram de tal generalidade que se descobriu que se adaptavam facilmente à mecânica quântica posterior e ainda formam a base da mecânica estatística até hoje.
SOBRE A MECÂNICA
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Na física, dois tipos de mecânica são geralmente examinados: mecânica clássica e mecânica quântica. Para ambos os tipos de mecânica, a abordagem matemática padrão é considerar dois conceitos:
O estado completo do sistema mecânico em um determinado momento, codificado matematicamente como um ponto de fase (mecânica clássica) ou um vetor de estado quântico puro (mecânica quântica).
Uma equação de movimento que transporta o estado para a frente no tempo: equações de Hamilton (mecânica clássica) ou a equação de Schrödinger (mecânica quântica)
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Usando esses dois conceitos, o estado em qualquer outro momento, passado ou futuro, pode, em princípio, ser calculado. Há, no entanto, uma desconexão entre essas leis e as experiências da vida cotidiana, pois não achamos necessário saber exatamente em um nível microscópico as posições e velocidades simultâneas de cada molécula enquanto realizamos processos na escala humana. A mecânica estatística preenche essa desconexão entre as leis da mecânica e a experiência prática do conhecimento incompleto, adicionando alguma incerteza sobre em qual estado o sistema está.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Enquanto a mecânica clássica considera apenas o comportamento de um único estado, a mecânica estatística introduz o conjunto estatístico, que é uma grande coleção de cópias virtuais e independentes do sistema em vários estados. O conjunto estatístico é uma distribuição de probabilidade sobre todos os estados possíveis do sistema. Na mecânica estatística clássica, o conjunto é uma distribuição de probabilidade sobre pontos de fase, em oposição a um único ponto de fase na mecânica ordinária, geralmente representado como uma distribuição em um espaço de fase com eixos de coordenadas canônicos. Na mecânica estatística quântica, o conjunto é uma distribuição de probabilidade sobre estados puros e pode ser resumido compactamente como uma matriz de densidade .
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Como é habitual em probabilidade, um conjunto (ensemble) pode ser interpretado de diferentes maneiras:
Um conjunto pode ser tomado para representar os vários estados possíveis em que um único sistema pode estar, probabilidade epistêmica, uma forma de conhecimento.
Os membros do conjunto podem ser entendidos como os estados dos sistemas em experimentos repetidos em sistemas independentes que foram preparados de maneira semelhante, mas imperfeitamente controlada, probabilidade empírica, no limite de um número infinito de tentativas.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Esses dois significados são equivalentes para muitos propósitos e serão usados de forma intercambiável neste artigo. No entanto, a probabilidade é interpretada, cada estado no conjunto evolui ao longo do tempo de acordo com a equação de movimento. Assim, o conjunto em si a distribuição de probabilidade sobre os estados, também evolui, à medida que os sistemas virtuais no conjunto continuamente deixam um estado e entram em outro. A evolução do conjunto é dada pela equação de Liouville, mecânica clássica, ou pela equação de von Neumann, mecânica quântica. Essas equações são simplesmente derivadas pela aplicação da equação mecânica de movimento separadamente a cada sistema virtual contido no conjunto, com a probabilidade do sistema virtual sendo conservada ao longo do tempo à medida que evolui de estado para estado.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Uma classe especial de ensemble são aqueles que não evoluem ao longo do tempo. Esses ensembles são conhecidos como de equilíbrio e sua condição é conhecida como equilíbrio estatístico. O equilíbrio estatístico ocorre se, para cada estado no ensemble, ele também contiver todos os seus estados futuros e passados com probabilidades iguais à probabilidade de estar naquele estado. Por outro lado, o equilíbrio mecânico é um estado com um equilíbrio de forças que deixou de evoluir. O estudo de ensembles de equilíbrio de sistemas isolados é o foco da termodinâmica estatística. A mecânica estatística de não equilíbrio aborda o caso mais geral de ensembles que mudam ao longo do tempo e/ou ensembles de sistemas não isolados.
Sobre ensembles
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Na mecânica estatística, um ensemble (conjunto) é um conceito fundamental que se refere a um grande conjunto de possíveis estados microscópicos de um sistema físico. Esses estados são descritos por diferentes configurações das posições e velocidades (ou outras variáveis relevantes) das partículas no sistema.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Existem vários tipos de ensembles, cada um adequado para descrever sistemas sob diferentes condições:
Ensemble Microcanônico: Utilizado para sistemas isolados, onde a energia, o volume e o número de partículas são constantes.
Ensemble Canônico: Aplicado a sistemas em contato térmico com um reservatório de calor, onde a temperatura, o volume e o número de partículas são constantes.
Ensemble Gran Canônico: Usado para sistemas que podem trocar energia e partículas com um reservatório, onde a temperatura, o volume e o potencial químico são constantes.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Esses ensembles ajudam a descrever de maneira estatística e probabilística as propriedades macroscópicas de um sistema a partir de seu comportamento microscópico. Mais adiante vou descrever em um capítulo sobre ensembles mais detalhadamente.
TERMODINÂMICA ESTATÍSTICA
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD O objetivo principal da termodinâmica estatística (também conhecida como mecânica estatística de equilíbrio) é derivar a termodinâmica clássica dos materiais em termos das propriedades de suas partículas constituintes e das interações entre elas. Em outras palavras, a termodinâmica estatística fornece uma conexão entre as propriedades macroscópicas dos materiais em equilíbrio termodinâmico e os comportamentos e movimentos microscópicos que ocorrem dentro do material.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Enquanto a mecânica estatística propriamente dita envolve dinâmica, vou focar no equilíbrio estatístico, estado estacionário, isso não significa que as partículas pararam de se mover, equilíbrio mecânico, mas apenas que o conjunto não está evoluindo.
Postulado fundamental
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Uma condição suficiente para o equilíbrio estatístico com um sistema isolado é que a distribuição de probabilidade seja uma função apenas de propriedades conservadas energia total, número total de partículas, etc. Existem muitos conjuntos de equilíbrio diferentes que podem ser considerados, e apenas alguns deles correspondem à termodinâmica. Postulados adicionais são necessários para motivar por que o conjunto para um determinado sistema deve ter uma forma ou outra. Uma abordagem comum de muitos autores é adotar o postulado de probabilidade igual a priori. Este postulado afirma que:
Para um sistema isolado com energia e composição exatamente conhecidas, o sistema pode ser encontrado com igual probabilidade em qualquer microestado consistente com esse conhecimento.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD O postulado de probabilidade igual a priori, portanto, fornece uma motivação para o conjunto microcanônico descrito abaixo. Há vários argumentos em favor do postulado de probabilidade igual a priori:
Hipótese ergódica, em que um sistema ergódico é definido como aquele que evolui ao longo do tempo para explorar "todos os estados acessíveis": todos aqueles com a mesma energia e composição. Em um sistema ergódico, o conjunto microcanônico é o único conjunto de equilíbrio possível com energia fixa. Essa abordagem tem aplicabilidade limitada, já que a maioria dos sistemas não é ergódica.
Princípio da indiferença:
Na ausência de qualquer informação adicional, só podemos atribuir probabilidades iguais a cada situação compatível.
Máxima entropia de informação:
Uma versão mais elaborada do princípio da indiferença afirma que o conjunto correto é o conjunto que é compatível com a informação conhecida e que tem a maior entropia de Gibbs, entropia de informação.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Outros postulados fundamentais para a mecânica estatística também foram propostos. Por exemplo, a teoria da mecânica estatística pode ser construída sem o postulado da probabilidade igual a priori. Um desses formalismos é baseado na relação termodinâmica fundamental juntamente com o seguinte conjunto de postulados:
A função de densidade de probabilidade é proporcional a alguma função dos parâmetros do conjunto e variáveis aleatórias.
Funções de estado termodinâmicas são descritas por médias de conjuntos de variáveis aleatórias.
A entropia definida pela fórmula de entropia de Gibbs corresponde à entropia definida na termodinâmica clássica .
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD O terceiro postulado pode ser substituído pelo seguinte:
Em temperatura infinita, todos os microestados têm a mesma probabilidade.
Conjunto-física matemática, Conjunto microcanônico, Conjunto canônico e Conjunto grandioso canônico
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Existem três conjuntos de equilíbrio com uma forma simples que podem ser definidos para qualquer sistema isolado limitado dentro de um volume finito. Esses são os conjuntos mais frequentemente discutidos em termodinâmica estatística. No limite macroscópico, todos eles correspondem à termodinâmica clássica.
Conjunto microcanônico:
Descreve um sistema com uma energia precisamente dada e composição fixa (número preciso de partículas). O conjunto microcanônico contém com igual probabilidade cada estado possível que é consistente com essa energia e composição.
Conjunto canônico:
Descreve um sistema de composição fixa que está em equilíbrio térmico com um banho de calor de uma temperatura precisa . O conjunto canônico contém estados de energia variável, mas composição idêntica; os diferentes estados no conjunto recebem probabilidades diferentes dependendo de sua energia total.
Grande conjunto canônico:
Descreve um sistema com composição não fixa (números de partículas incertos) que está em equilíbrio térmico e químico com um reservatório termodinâmico. O reservatório tem uma temperatura precisa e potenciais químicos precisos para vários tipos de partículas. O grande conjunto canônico contém estados de energia variável e números variáveis de partículas; os diferentes estados no conjunto recebem diferentes probabilidades dependendo de sua energia total e números totais de partículas.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Para sistemas que contêm muitas partículas, o limite termodinâmico, todos os três conjuntos listados acima tendem a apresentar comportamento idêntico. É então simplesmente uma questão de conveniência matemática qual conjunto é usado. O teorema de Gibbs sobre equivalência de conjuntos foi desenvolvido na teoria do fenômeno de concentração de medida, que tem aplicações em muitas áreas da ciência, desde a análise funcional até métodos de inteligência artificial e tecnologia de big data Casos importantes onde os conjuntos termodinâmicos não fornecem resultados idênticos incluem:
Sistemas microscópicos.
Grandes sistemas em transição de fase.
Grandes sistemas com interações de longo alcance.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Nestes casos, o conjunto termodinâmico correto deve ser escolhido, pois há diferenças observáveis entre esses conjuntos não apenas no tamanho das flutuações, mas também em quantidades médias, como a distribuição de partículas. O conjunto correto é aquele que corresponde à maneira como o sistema foi preparado e caracterizada, em outras palavras, o conjunto que reflete o conhecimento sobre esse sistema.
Métodos de cálculo
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Uma vez que a função de estado característica para um conjunto foi calculada para um dado sistema, esse sistema é resolvido, em que observáveis macroscópicos podem ser extraídos da função de estado característica. Calcular a função de estado característica de um conjunto termodinâmico não é necessariamente uma tarefa simples, no entanto, uma vez que envolve considerar todos os estados possíveis do sistema. Enquanto alguns sistemas hipotéticos foram resolvidos exatamente, o caso mais geral e realista é muito complexo para uma solução exata. Existem várias abordagens para aproximar o conjunto verdadeiro e permitir o cálculo de quantidades médias. Mais adiante descreverei com mais detalhes sobre os métodos de cálculo.
Exatidão
Há alguns casos que permitem soluções exatas:
Para sistemas microscópicos muito pequenos, os conjuntos podem ser calculados diretamente simplesmente enumerando todos os estados possíveis do sistema, usando diagonalização exata na mecânica quântica ou integral sobre todo o espaço de fase na mecânica clássica.
Alguns sistemas grandes consistem em muitos sistemas microscópicos separáveis, e cada um dos subsistemas pode ser analisado independentemente. Notavelmente, gases idealizados de partículas não interativas têm essa propriedade, permitindo derivações exatas de estatísticas de Maxwell–Boltzmann , estatísticas de Fermi–Dirac e estatísticas de Bose–Einstein.
Alguns sistemas grandes com interação foram resolvidos. Pelo uso de técnicas matemáticas sutis, soluções exatas foram encontradas para alguns modelos de brinquedo. Alguns exemplos incluem o ansatz de Bethe, o modelo de Ising de rede quadrada em campo zero, o modelo de hexágono rígido.
Monte Carlo
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Embora alguns problemas em física estatística possam ser resolvidos analiticamente usando aproximações e expansões, a maioria das pesquisas atuais utiliza o grande poder de processamento dos computadores modernos para simular ou aproximar soluções. Uma abordagem comum para problemas estatísticos é usar uma simulação de Monte Carlo para gerar insights sobre as propriedades de um sistema complexo. Os métodos de Monte Carlo são importantes em física computacional, físico-química e campos relacionados, e têm diversas aplicações, incluindo física médica, onde são usados para modelar o transporte de radiação para cálculos de dosimetria de radiação.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD O método de Monte Carlo examina apenas alguns dos estados possíveis do sistema, com os estados escolhidos aleatoriamente. Desde que esses estados formem uma amostra representativa de todo o conjunto de estados do sistema, a função característica aproximada é obtida. À medida que mais e mais amostras aleatórias são incluídas, os erros são reduzidos a um nível arbitrariamente baixo.
O algoritmo Metropolis–Hastings é um método clássico de Monte Carlo que foi usado inicialmente para amostrar o conjunto canônico.
Integral de caminho Monte Carlo , também usado para amostrar o conjunto canônico.
Outras abordagens
Gases não ideais rarefeitos: abordagens como a expansão de cluster usam a teoria de perturbação para incluir o efeito de interações fracas, levando a uma expansão virial.
Fluidos densos: outra abordagem aproximada é baseada em funções de distribuição reduzidas, em particular a função de distribuição radial.
Simulações de computador de dinâmica molecular podem ser usadas para calcular médias de conjuntos microcanônicos, em sistemas ergódicos. Com a inclusão de uma conexão a um banho de calor estocástico, elas também podem modelar condições canônicas e grand canônicas.
Métodos mistos envolvendo resultados mecânicos estatísticos fora do equilíbrio podem ser úteis.
Mecânica estatística de não equilíbrio
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Muitos fenômenos físicos envolvem processos quase termodinâmicos fora do equilíbrio, por exemplo:
Transporte de calor pelos movimentos internos de um material, impulsionado por um desequilíbrio de temperatura.
Correntes elétricas transportadas pelo movimento de cargas em um condutor, impulsionadas por um desequilíbrio de tensão.
Reações químicas espontâneas causadas por uma diminuição da energia livre, atrito, dissipação, decoerência quântica.
Sistemas sendo bombeados por forças externas ( bombeamento óptico , etc.), e processos irreversíveis em geral.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Todos esses processos ocorrem ao longo do tempo com taxas características. Essas taxas são importantes na engenharia. O campo da mecânica estatística de não equilíbrio se preocupa em entender esses processos de não equilíbrio no nível microscópico. A termodinâmica estatística só pode ser usada para calcular o resultado final, depois que os desequilíbrios externos foram removidos e o conjunto se estabilizou de volta ao equilíbrio.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Em princípio, a mecânica estatística de não equilíbrio pode ser matematicamente exata: conjuntos para um sistema isolado evoluem ao longo do tempo de acordo com equações determinísticas, como a equação de Liouville ou seu equivalente quântico, a equação de von Neumann. Essas equações são o resultado da aplicação das equações mecânicas de movimento independentemente a cada estado no conjunto. Essas equações de evolução do conjunto herdam grande parte da complexidade do movimento mecânico subjacente e, portanto, soluções exatas são muito difíceis de obter. Além disso, as equações de evolução do conjunto são totalmente reversíveis e não destroem informações (a entropia de Gibbs do conjunto é preservada). Para progredir na modelagem de processos irreversíveis, é necessário considerar fatores adicionais além da probabilidade e da mecânica reversível.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD A mecânica de não equilíbrio é, portanto, uma área ativa de pesquisa teórica, pois o alcance da validade dessas suposições adicionais continua a ser explorado. Algumas abordagens são descritas nas subseções a seguir.
Métodos estocásticos
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Uma abordagem para a mecânica estatística de não equilíbrio é incorporar comportamento estocástico (aleatório) ao sistema. O comportamento estocástico destrói informações contidas no conjunto. Embora isso seja tecnicamente impreciso, além de situações hipotéticas envolvendo buracos negros, um sistema não pode, por si só, causar perda de informações, a aleatoriedade é adicionada para refletir que as informações de interesse se tornam convertidas ao longo do tempo em correlações sutis dentro do sistema, ou em correlações entre o sistema e o ambiente. Essas correlações aparecem como influências caóticas ou pseudoaleatórias nas variáveis de interesse. Ao substituir essas correlações pela aleatoriedade propriamente dita, os cálculos podem ser muito mais fáceis.
Equação de transporte de Boltzmann: Uma forma inicial de mecânica estocástica apareceu antes mesmo do termo "mecânica estatística" ter sido cunhado, em estudos de teoria cinética. James Clerk Maxwell demonstrou que colisões moleculares levariam a um movimento aparentemente caótico dentro de um gás. Ludwig Boltzmann posteriormente mostrou que, ao tomar esse caos molecular como garantido como uma aleatoriedade completa, os movimentos de partículas em um gás seguiriam uma equação de transporte de Boltzmann simples que restauraria rapidamente um gás a um estado de equilíbrio.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD A equação de transporte de Boltzmann e abordagens relacionadas são ferramentas importantes na mecânica estatística de não equilíbrio devido à sua extrema simplicidade. Essas aproximações funcionam bem em sistemas onde a informação interessante é imediatamente (após apenas uma colisão) embaralhada em correlações sutis, o que essencialmente as restringe a gases rarefeitos. A equação de transporte de Boltzmann foi considerada muito útil em simulações de transporte de elétrons em semicondutores levemente dopados (em transistores ), onde os elétrons são de fato análogos a um gás rarefeito.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Uma técnica quântica relacionada ao tema é a aproximação de fase aleatória.
Hierarquia BBGKY : Em líquidos e gases densos, não é válido descartar imediatamente as correlações entre partículas após uma colisão. A hierarquia BBGKY (hierarquia Bogoliubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon) fornece um método para derivar equações do tipo Boltzmann, mas também estendê-las além do caso de gás diluído, para incluir correlações após algumas coliões.
Formalismo de Keldysh (também conhecido como NEGF — funções de Green não equilibradas): Uma abordagem quântica para incluir dinâmica estocástica é encontrada no formalismo de Keldysh. Essa abordagem é frequentemente usada em cálculos de transporte quântico eletrônico.
Equação de Liouville estocástica.
Métodos de quase equilíbrio
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Outra classe importante de modelos mecânicos estatísticos de não equilíbrio lida com sistemas que são apenas ligeiramente perturbados do equilíbrio. Com perturbações muito pequenas, a resposta pode ser analisada na teoria da resposta linear. Um resultado notável, conforme formalizado pelo teorema da flutuação-dissipação, é que a resposta de um sistema quando próximo do equilíbrio está precisamente relacionada às flutuações que ocorrem quando o sistema está em equilíbrio total. Essencialmente, um sistema que está ligeiramente afastado do equilíbrio — seja colocado lá por forças externas ou por flutuações — relaxa em direção ao equilíbrio da mesma forma, uma vez que o sistema não consegue perceber a diferença ou "saber" como ele chegou a estar afastado do equilíbrio.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Isso fornece uma via indireta para obter números como condutividade ôhmica e condutividade térmica extraindo resultados da mecânica estatística de equilíbrio. Como a mecânica estatística de equilíbrio é matematicamente bem definida e (em alguns casos) mais passível de cálculos, a conexão flutuação-dissipação pode ser um atalho conveniente para cálculos em mecânica estatística de quase equilíbrio.
Algumas das ferramentas teóricas usadas para fazer essa conexão incluem:
Teorema de flutuação-dissipação
Relações recíprocas Onsager
Relações Green–Kubo
Formalismo Landauer-Büttiker
Formalismo de Mori-Zwanzig
Formalismo GENÉRICO
Métodos híbridos
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Uma abordagem avançada usa uma combinação de métodos estocásticos e teoria de resposta linear. Como exemplo, uma abordagem para calcular efeitos de coerência quântica ( localização fraca , flutuações de condutância ) na condutância de um sistema eletrônico é o uso das relações de Green-Kubo, com a inclusão de defasagem estocástica por interações entre vários elétrons pelo uso do método Keldysh.
Aplicações
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD O formalismo ensemble pode ser usado para analisar sistemas mecânicos gerais com incerteza no conhecimento sobre o estado de um sistema. Ensembles também são usados em:
propagação da incerteza ao longo do tempo, [ 17 ]
análise de regressão de órbitas gravitacionais ,
previsão do tempo em conjunto,
dinâmica de redes neurais ,
jogos potenciais racionais limitados na teoria dos jogos e na economia.
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD A física estatística explica e descreve quantitativamente a supercondutividade, a superfluidez, a turbulência, os fenômenos coletivos em sólidos e plasma, e as características estruturais do líquido. Ela fundamenta a astrofísica moderna, a física do estado sólido, estudo de cristais líquidos, transições de fase e fenômenos críticos. Muitos estudos experimentais da matéria são inteiramente baseados na descrição estatística de um sistema. Isso inclui o espalhamento de nêutrons frios, raios X, luz visível e muito mais. A física estatística também desempenha um papel na ciência dos materiais, física nuclear, astrofísica, química, biologia e medicina (por exemplo, estudo da disseminação de doenças infecciosas).
FÍSICA#ESTATÍSTICACCBY-NC-ND4.0©PROFESSORANGELOANTONIO#LEITHOLD Técnicas analíticas e computacionais derivadas da física estatística de sistemas desordenados podem ser estendidas a problemas de grande escala, incluindo aprendizagem de máquina, por exemplo, para analisar o espaço de peso de redes neurais profundas. A física estatística está, portanto, encontrando aplicações na área de diagnósticos médicos.
Mecânica estatística quântica
A mecânica estatística quântica é a mecânica estatística aplicada a sistemas mecânicos quânticos. Na mecânica quântica, um conjunto estatístico (distribuição de probabilidade sobre possíveis estados quânticos ) é descrito por um operador de densidade S , que é um operador de classe de traço não negativo, autoadjunto, de traço 1 no espaço de Hilbert H descrevendo o sistema quântico. Isso pode ser mostrado sob vários formalismos matemáticos para a mecânica quântica. Um desses formalismos é fornecido pela lógica quântica.
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00h56min de 18 de dezembro de 2004 Angeloleithold Esta licença requer que os reutilizadores deem crédito ao PROFESSOR ANGELO ANTONIO LEITHOLD. Ela NÃO permite que os reutilizadores distribuam, remixem, adaptem e criem a partir do material em qualquer meio ou formato para fins comerciais. POR: O crédito deve ser dado ao PROFESSOR ANGELO ANTONIO LEITHOLD; NC: Somente o uso não comercial do trabalho é permitido. Não comercial significa que não é destinado ou direcionado principalmente para vantagem comercial ou compensação monetária POR TERCEIROS QUE NÃO O AUTOR. ND: Não são permitidos derivados ou adaptações do seu trabalho.
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