DISTRIBUIÇÃO DE MAXWELL-BOLTZMANN está licenciado sob CC BY-NC-ND 4.0© 1 por PROFESSOR ANGELO ANTONIO LEITHOLD 

ÍNDEX   SUMÁRIO

#professorAngeloAntonioLeithold#Py5aal Em física, na mecânica estatística, a distribuição de Maxwell–Boltzmann, ou distribuição Maxwell(iana), é uma distribuição de probabilidade particular nomeada em homenagem a James Clerk Maxwell e Ludwig Boltzmann. Foi primeiramente definido e usado para descrever velocidades de partículas em gases idealizados, onde as partículas se movem livremente dentro de um recipiente estacionário sem interagir umas com as outras, exceto por colisões muito breves nas quais elas trocam energia e momento umas com as outras ou com seu ambiente térmico. O termo "partícula" neste contexto se refere apenas a partículas gasosas, átomos ou moléculas, e o sistema de partículas é considerado como tendo atingido o equilíbrio termodinâmico.

#professorAngeloAntonioLeithold#Py5aal As energias de tais partículas seguem o que é conhecido como estatística de Maxwell-Boltzmann, e a distribuição estatística de velocidades é derivada pela equação das energias das partículas com a energia cinética. Matematicamente, a distribuição de Maxwell-Boltzmann é a distribuição ''qui'' com três graus de liberdade, os componentes do vetor de velocidade no espaço euclidiano, com um parâmetro de escala medindo velocidades em unidades proporcionais à raiz quadrada de T/m, que é relação entre temperatura e massa de partículas). A distribuição de Maxwell–Boltzmann é um resultado da teoria cinética dos gases, que fornece uma explicação simplificada de muitas propriedades gasosas fundamentais, incluindo pressão e difusão. Se aplica fundamentalmente às velocidades de partículas em três dimensões, mas acaba por depender apenas da velocidade, magnitude da velocidade, das partículas. 

#professorAngeloAntonioLeithold#Py5aal Uma distribuição de probabilidade de velocidade de partícula indica quais velocidades são mais prováveis: uma partícula escolhida aleatoriamente terá uma velocidade selecionada aleatoriamente da distribuição e é mais provável que esteja dentro de uma faixa de velocidades do que outra. A teoria cinética dos gases se aplica ao gás ideal clássico, que é uma idealização de gases reais. Em gases reais, há vários efeitos, por exemplo, interações de van der Waals, fluxo vortical, limites de velocidade relativísticos e interações de troca quântica, que podem tornar sua distribuição de velocidade diferente da forma de Maxwell–Boltzmann. No entanto, gases rarefeitos em temperaturas comuns se comportam muito próximo de um gás ideal e a distribuição de velocidade de Maxwell é uma excelente aproximação para tais gases. Isto também é verdade para plasmas ideais, que são gases ionizados de densidade suficientemente baixa. A distribuição foi derivada pela primeira vez por Maxwell em 1860 com base em fundamentos heurísticos. Boltzmann posteriormente, na década de 1870, realizou investigações significativas sobre as origens físicas desta distribuição. A distribuição pode ser derivada com base no fato de que ela maximiza a entropia do sistema. Uma lista de derivações são:

• Distribuição de probabilidade de máxima entropia no espaço de fase, com a restrição de conservação da energia média ⟨H⟩=E;

• Conjunto canônico .

#professorAngeloAntonioLeithold#Py5aal Para um sistema contendo um grande número de partículas clássicas idênticas, não interativas e não relativísticas, em equilíbrio termodinâmico, a fração das partículas dentro de um elemento infinitesimal do espaço de velocidade tridimensional d³v, centrado em um vetor de velocidade v de magnitude v, é dado por

onde:

• m é a massa da partícula;

• kB é a constante de Boltzmann;

• T é a temperatura termodinâmica;

• f(v)é uma função de distribuição de probabilidade, devidamente normalizada de modo que ∫ f (v) d³v sobre todas as velocidades é a unidade.

#professorAngeloAntonioLeithold#Py5aal Pode-se escrever o elemento do espaço de velocidade como d³v=dvxdvydv, para velocidades em um sistema de coordenadas cartesianas padrão, ou como d³v=v²dvdΩ em um sistema de coordenadas esféricas padrão, onde d=sinvƟdvɸdvƟ é um elemento de ângulo sólido e v²=|v|²=vx²+vy²+vz². A função de distribuição Maxwelliana para partículas que se movem em apenas uma direção, se esta direção for x, é

que pode ser obtido integrando a forma tridimensional dada acima sobre vy e vz. Reconhecendo a simetria de f(v), pode-se integrar sobre um ângulo sólido e escrever uma distribuição de probabilidade de velocidades como a função

#professorAngeloAntonioLeithold#Py5aal Esta função de densidade de probabilidade fornece a probabilidade, por unidade de velocidade, de encontrar a partícula com uma velocidade próxima av. Esta equação é simplesmente a distribuição de Maxwell-Boltzmann com parâmetro de distribuição

 #professorAngeloAntonioLeithold#Py5aal A distribuição de Maxwell-Boltzmann é equivalente à distribuição qui com três graus de liberdade e parâmetro de escala. A equação diferencial ordinária mais simples satisfeita pela distribuição é:

#professorAngeloAntonioLeithold#Py5aal Com o método de valores médios de Darwin–Fowler, a distribuição de Maxwell–Boltzmann é obtida como um resultado exato. Para partículas confinadas a se mover em um plano, a distribuição de velocidade é dada por

#professorAngeloAntonioLeithold#Py5aal Esta distribuição é usada para descrever sistemas em equilíbrio. No entanto, a maioria dos sistemas não começa em seu estado de equilíbrio. A evolução de um sistema em direção ao seu estado de equilíbrio é governada pela equação de Boltzmann . A equação prevê que, para interações de curto alcance, a distribuição de velocidade de equilíbrio seguirá uma distribuição de Maxwell–Boltzmann. Por exemplo, numa dinâmica molecular (MD) na qual 900 partículas esféricas duras são restringidas a se mover em um retângulo. Elas interagem por meio de colisões perfeitamente elásticas. O sistema é inicializado fora do equilíbrio, mas a distribuição de velocidade converge rapidamente para a distribuição de Maxwell–Boltzmann 2D. A velocidade média ⟨v⟩, velocidade mais provável ( modo ) vp e velocidade quadrática média pode ser obtido a partir de propriedades da distribuição de Maxwell:

funciona bem para gases monoatômicos quase ideais, como o hélio, mas também para gases moleculares, como o oxigênio diatômico. Isto ocorre porque, apesar da maior capacidade térmica, maior energia interna na mesma temperatura, devido ao seu maior número de graus de liberdade, sua energia cinética translacional, e, portanto, sua velocidade, permanece inalterada. A velocidade mais provável, vp, é a velocidade mais provável de ser possuída por qualquer molécula de mesma massa m no sistema e corresponde ao valor máximo ou à moda de f(v). Para encontrá-la, calculamos a derivada df/dv,⁠ defina como zero e resolva para v:

onde:

• R é a constante dos gases ;

• M é a massa molar da substância e, portanto, pode ser calculada como um produto da massa da partícula, m , e da constante de Avogadro , NA : M = mNA

Para nitrogênio diatômico N2, o principal componente do ar, à temperatura ambiente (300 K ), isso dá

A velocidade média é o valor esperado da distribuição de velocidade, definindo

b=1/2s²=m/2kBT:

#professorAngeloAntonioLeithold#Py5aal A velocidade quadrática média ⟨v²⟩ é o momento bruto de segunda ordem da distribuição de velocidade. A "raiz quadrada média da velocidade" vrms é a raiz quadrada da velocidade quadrada média, correspondendo à velocidade de uma partícula com energia cinética média, definindo b=1/2s²=m/2kBT:

A velocidade quadrática média está diretamente relacionada à velocidade do som c no gás, por

onde

γ = 1 + 2/f

é o índice adiabático, f é o número de graus de liberdade da molécula de gás individual. Para o exemplo acima, nitrogênio diatômico, aproximando-se do ar, em 300 mil, f=5 e

o valor real do ar pode ser aproximado usando o peso molar médio do ar (29 g/mol ), produzindo 347 m/s em 300 K (correções para umidade variável são da ordem de 0,1% a 0,6%). A velocidade relativa média

onde a distribuição de velocidade tridimensional é

integral pode ser facilmente feita mudando para coordenadas 

U = v1 - v2  e U = 1/2 (v1 + v2)

#professorAngeloAntonioLeithold#Py5aal A derivação original em 1860 por James Clerk Maxwell foi um argumento baseado em colisões moleculares da teoria cinética dos gases, bem como certas simetrias na função de distribuição de velocidade; Maxwell também deu um argumento inicial de que essas colisões moleculares implicam uma tendência ao equilíbrio. Depois de Maxwell, Ludwig Boltzmann em 1872 também derivou a distribuição em bases mecânicas e argumentou que os gases deveriam, ao longo do tempo, tender para essa distribuição, devido a colisões (ver teorema H ). Mais tarde (1877) derivou a distribuição novamente sob a estrutura da termodinâmica estatística. A derivação de Boltzmann de 1877, começa com o resultado conhecido como estatística de Maxwell–Boltzmann, da termodinâmica estatística. A estatística de Maxwell–Boltzmann fornece o número médio de partículas encontradas em um determinado microestado de partícula única. Sob certas suposições, o logaritmo da fração de partículas em um dado microestado é linear na razão entre a energia desse estado e a temperatura do sistema: existem constantes k e C de modo que, para todos i

#professorAngeloAntonioLeithold#Py5aal As suposições desta equação são que as partículas não interagem e que são clássicas; isto significa que o estado de cada partícula pode ser considerado independentemente dos estados das outras partículas. Além disso, assume-se que as partículas estão em equilíbrio térmico. Esta relação pode ser escrita como uma equação introduzindo um fator de normalização:

• Ni é o número esperado de partículas no microestado de partícula única i ,

• N é o número total de partículas no sistema,

• Ei é a energia do microestado i,

• a soma sobre o índice j leva em conta todos os microestados,

• T é a temperatura de equilíbrio do sistema,

• kB é a constante de Boltzmann .

O denominador na equação 1 é um fator de normalização para que as proporções Ni: 

• N somam-se à unidade — em outras palavras, é um tipo de função de partição, para o sistema de partícula única, não a função de partição usual de todo o sistema. Como a velocidade e a rapidez estão relacionadas à energia, a Equação pode ser usada para derivar relações entre a temperatura e as velocidades das partículas gasosas. Tudo o que é necessário é descobrir a densidade de microestados em energia, que é determinada pela divisão do espaço de momento em regiões de tamanhos iguais.

• A energia potencial é considerada zero, de modo que toda a energia está na forma de energia cinética. A relação entre energia cinética e momento para partículas massivas não relativísticas é

onde p² é o quadrado do vetor momento p=[ px , py , pz ]. Podemos, portanto, reescrever a Equação como:

onde:

• Z é a função de partição , correspondente ao denominador na equação 1 ;

• m é a massa molecular do gás;

• T é a temperatura termodinâmica;

• k B é a constante de Boltzmann .

Esta distribuição de N i  : N é proporcional à função de densidade de probabilidade fp para encontrar uma molécula com estes valores de componentes de momento, então:

#professorAngeloAntonioLeithold#Py5aal A constante de normalização pode ser determinada reconhecendo que a probabilidade de uma molécula ter algum momento deve ser 1. A integração do exponencial sobre todos os px , py e pz produz um fator de

a distribuição é vista como o produto de três variáveis ​​independentes distribuídas normalmente px, py, pz, com variância mkBT. Além disso, pode-se observar que a magnitude do momento será distribuída como uma distribuição de Maxwell-Boltzmann, com a igual à raiz quadrada de mkBT. A distribuição de Maxwell–Boltzmann para o momento (ou igualmente para as velocidades) pode ser obtida de forma mais fundamental usando o teorema H em equilíbrio dentro da estrutura da teoria cinética dos gases. A distribuição de energia é:

onde d³p é o volume infinitesimal do espaço de fase dos momentos correspondente ao intervalo de energia dE . Utilizando a simetria esférica da relação de dispersão energia-momento E=|p|²/2m, isso pode ser expresso em termos de dE como

#professorAngeloAntonioLeithold#Py5aal Como a energia é proporcional à soma dos quadrados dos três componentes de momento distribuídos normalmente, essa distribuição de energia pode ser escrita de forma equivalente como uma distribuição gama , usando um parâmetro de forma:

• kforma=3/2 e um parâmetro de escala, θescala=kBT.

Usando o teorema da equipartição , dado que a energia é distribuída uniformemente entre todos os três graus de liberdade em equilíbrio, também podemos dividir:

• fE(E)dE em um conjunto de distribuições qui-quadrado, onde a energia por grau de liberdade, ε é distribuída como uma distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade,

#professorAngeloAntonioLeithold#Py5aal No equilíbrio, essa distribuição será válida para qualquer número de graus de liberdade. Por exemplo, se as partículas forem dipolos de massa rígida com momento dipolar fixo, elas terão três graus de liberdade translacionais e dois graus de liberdade rotacionais adicionais. A energia em cada grau de liberdade será descrita de acordo com a distribuição qui-quadrado acima com um grau de liberdade, e a energia total será distribuída de acordo com uma distribuição qui-quadrado com cinco graus de liberdade. Isso tem implicações na teoria do calor específico de um gás. Reconhecendo que a densidade de probabilidade de velocidade fv é proporcional à função de densidade de probabilidade de momento por

que é a distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann. A probabilidade de encontrar uma partícula com velocidade no elemento infinitesimal [ dvx , dvy , dvz ] em torno da velocidade v = [ vx , vy , vz ] é

o momentum, esta distribuição é vista como o produto de três variáveis ​​independentes distribuídas normalmente vx , vy , vz mas com variância kBT/m. Também pode ser visto que a distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann para o vetor velocidade [ vx , vy , vz] é o produto das distribuições para cada uma das três direções:

Cada componente do vetor de velocidade tem uma distribuição normal com média

desvio padrão

o vetor tem uma distribuição normal tridimensional, um tipo particular de distribuição normal multivariada, com média

onde I é a matriz identidade 3 × 3. A distribuição de Maxwell-Boltzmann para a velocidade decorre imediatamente da distribuição do vetor velocidade, acima. Observe que a velocidade é

e o elemento de volume em coordenadas esféricas

onde ϕ e θ são os ângulos de coordenadas esféricas do vetor velocidade. Integração da função de densidade de probabilidade da velocidade sobre os ângulos sólidos dΩ produz um fator adicional de 4 π. A distribuição de velocidade com substituição da velocidade pela soma dos quadrados dos componentes do vetor:

#professorAngeloAntonioLeithold#Py5aal No espaço n- dimensional, a distribuição de Maxwell–Boltzmann torna-se:

A distribuição de velocidade se torna:

onde A é uma constante de normalização. O seguinte resultado integral é útil:

onde ᴦ(z) é a função Gama. Este resultado pode ser usado para calcular os momentos da função de distribuição de velocidade:

que é a própria velocidade média

que fornece a velocidade quadrática média

A derivada da função de distribuição de velocidade:

Isso produz a velocidade mais provável ( modo )

REFERÊNCIAS

 Mandl, Franz (2008).Física Estatística. Física de Manchester (2ª ed.). Chichester: John Wiley & Sons.ISBN 978-0471915331.

 Young, Hugh D.; Friedman, Roger A.; Ford, Albert Lewis; Sears, Francis Weston; Zemansky, Mark Waldo (2008). Física Universitária de Sears e Zemansky: Com a Física Moderna (12ª ed.). São Francisco: Pearson, Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-50130-1.

 Enciclopédia de Física (2ª edição), RG Lerner , GL Trigg, editores VHC, 1991, ISBN 3-527-26954-1 (Verlagsgesellschaft), ISBN 0-89573-752-3 (VHC Inc.)  

 NA Krall e AW Trivelpiece, Principles of Plasma Physics, San Francisco Press, Inc., 1986, entre muitos outros textos sobre física básica de plasma

 Maxwell, JC (1860 A):Ilustrações da teoria dinâmica dos gases. Parte I. Sobre os movimentos e colisões de esferas perfeitamente elásticas. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 4ª série, vol. 19, pp. 19–32.[1]

 Maxwell, JC (1860 B):Ilustrações da teoria dinâmica dos gases. Parte II. Sobre o processo de difusão de dois ou mais tipos de partículas em movimento entre si. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 4ª série, vol. 20, pp. 21–37.[2]

Müller-Kirsten, HJW (2013). "2". Fundamentos de Física Estatística (2ª ed.). World Scientific . ISBN 978-981-4449-53-3. OCLC  822895930 .

 Serway, Raymond A.; Faughn, Jerry S. & Vuille, Chris (2011). Física Universitária, Volume 1 (9ª edição). Cengage Learning. p. 352. ISBN 9780840068484.

 Gyenis, Balazs (2017). "Maxwell e a distribuição normal: Uma história colorida de probabilidade, independência e tendência ao equilíbrio". Estudos em História e Filosofia da Física Moderna . 57 : 53–65 . arXiv : 1702.01411 . Bibcode : 2017SHPMP..57...53G . doi : 10.1016/j.shpsb.2017.01.001 . S2CID 38272381 . 

 Boltzmann, L., "Weitere studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen." Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften em Wien, mathematisch-naturwissenschaftliche Classe , 66 , 1872, pp.

 Boltzmann, L., "Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung respektive den Sätzen über das Wärmegleichgewicht." Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften em Viena, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe . Abt. II, 76 , 1877, pp. Reimpresso em Wissenschaftliche Abhandlungen , Vol. II, pp. 164–223, Leipzig: Barth, 1909. Tradução disponível em : http://crystal.med.upenn.edu/sharp-lab-pdfs/2015SharpMatschinsky_Boltz1877_Entropy17.pdf Arquivado em 05/03/2021 no Wayback Machine

 Parker, Sybil P. (1993). Enciclopédia McGraw-Hill de Física (2ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-051400-3.

 Laurendeau, Normand M. (2005). Termodinâmica Estatística: Fundamentos e Aplicações . Cambridge University Press. p  . 434. ISBN 0-521-84635-8.

Tipler, Paul Allen; Mosca, Gene (2008). Física para Cientistas e Engenheiros: com Física Moderna (6ª ed.). Nova York: WH Freeman. ISBN 978-0-7167-8964-2.

Shavit, Arthur; Gutfinger, Chaim (2009). Termodinâmica: dos Conceitos às Aplicações (2ª ed.). CRC Press. ISBN 978-1-4200-7368-3. OCLC  244177312 .

Ives, David JG (1971). Termodinâmica Química . Química Universitária. Macdonald Técnico e Científico. ISBN 0-356-03736-3.

Nash, Leonard K. (1974). Elementos de Termodinâmica Estatística . Princípios de Química (2ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-05229-9.

Ward, CA; Fang, G. (1999). "Expressão para prever o fluxo de evaporação de líquidos: Abordagem da teoria da taxa estatística". Physical Review E . 59 (1): 429– 440. doi : 10.1103/physreve.59.429 . ISSN  1063-651X .

Rahimi, P; Ward, CA (2005). "Cinética da Evaporação: Abordagem da Teoria da Taxa Estatística". Revista Internacional de Termodinâmica . 8 (9): 1–14 .