Introduction

Vous voici arrivés au bout du chemin ! Cette ultime étape couronnera les efforts et la persévérance qui ont été les vôtres tout au long du projet et dont nous vous félicitons. Le moment est bientôt venu d'utiliser les données que vous aurez soigneusement récoltées soit par vos propres relevés soit en communiquant avec d'autres classes via Internet. Mesurons maintenant ensemble la longueur de votre méridien et calculons enfin la taille de notre planète.

Remarque : cette dernière étape est la plus délicate du projet, c'est pourquoi nous avons délibérément choisi une démarche progressive qui vous permettra de guider vos élèves vers le calcul final.

-Sciences expérimentales et technologiques :

• - La matière : plan horizontal et vertical : intérêt dans quelques dispositifs techniques.

• - Le ciel et la Terre :

• - la lumière et les ombres

• - le mouvement apparent du Soleil..

- Mathématiques :

• Espace et géométrie :

• - l'utilisation de plans et de cartes.

• - l'utilisation d'instruments (règle, équerre, compas) et de techniques (pliages, calque, papier quadrillé).

• - les relations et propriétés géométriques : alignement, perpendicularité, parallélisme

• - Grandeurs et mesures :

• - le repérage du temps et des durées (année, mois, semaine, jour, heure, minute, seconde) et leurs relations.

• - les angles : comparaison, reproduction.

• - Exploitation des données numériques :

• - problèmes relevant de la proportionnalité.

• - utilisation de données organisées en listes, en tableaux.

-Géographie :

• - Regards sur le monde : comparaison de représentations globales de la Terre (globes, planisphères) et du monde (cartes).

Compétences spécifiques :

• Savoir que les repérages sont relatifs : tel lieu est à l'est (ou au nord) de tel autre mais à l'ouest (ou au sud) d'un troisième.

• Être capable de représenter qualitativement la trajectoire apparente du Soleil dans le ciel et son évolution au fil de l'année.

• Savoir qu'elle est la plus courte à la date du solstice d'hiver (le soleil est alors bas sur l'horizon) et la plus longue à la date du solstice d'été (le soleil est alors haut dans le ciel).

• Être capable d'exploiter un calendrier pour déterminer les caractéristiques de chaque saison et les dates qui marquent le début de chacune d'entre elles.

• Utiliser un plan ou une carte pour situer un objet,

• Anticiper ou réaliser un déplacement, évaluer une distance

Commentaires :

La réalisation de mesures effectuées par des groupes d'élèves donne l'occasion de comparer les résultats et d'aborder la précision d'une mesure. Il n'est pas nécessaire d'introduire le terme d'incertitude et exclu d'utiliser le formalisme correspondant. On se contente, en liaison avec la rubrique mathématique sur les décimaux, de faire réfléchir au nombre de chiffres qu'il est raisonnable d'utiliser pour exprimer un résultat expérimental.

Préliminaire : la mesure d'Eratosthène

Voici notre savant grec arrivé au bout de ses réflexions et qui nous livre enfin les résultats de son expérience.

Donnez à lire le texte suivant à vos élèves :

"Ayant mesuré l'angle entre les rayons solaires et la verticale représentée par l'obélisque dans sa ville d'Alexandrie, Ératosthène dessina sur le sol une coupe de la Terre selon un méridien. Il y figura les villes de Syène et d'Alexandrie et traça les rayons du Soleil arrivant à ces deux villes. C'est en comparant les angles de ces rayons avec la verticale en chacune de ces villes et en prolongeant le rayon du soleil à Syène jusqu'au centre de la Terre que lui vint l'idée géniale de mesurer le tour de notre planète.

Il comprit vite qu'une seule donnée lui manquait : la distance entre Alexandrie et Syène. Il savait que les caravanes qui traversaient le désert étaient utilisées pour mesurer les distances entre les villes. En effet, des hommes qu'on appelait "bématistes" marchaient à côté des chameaux en comptant leurs pas. Connaissant la longueur moyenne d'un pas, ils calculaient les distances parcourues en multipliant cette longueur par le nombre de pas effectués durant le voyage ! On disait qu'il y avait près d'un million de pas entre Alexandrie et Syène ... Cela faisait environ 5 000 stades égyptiens (l'unité de longueur utilisée à cette époque).

Ératosthène trouva rapidement après quelques calculs simples que la circonférence de la Terre valait exactement 250 000 stades. Il s'empressa de communiquer son résultat à ses collègues scientifiques et géographes et la nouvelle se répandit vite dans tout le monde grec qu'un savant nommé Ératosthène venait pour la première fois de mesurer la taille de notre planète."

À vous de jouer ! Essayez de reproduire la figure qui rendit Ératosthène célèbre dans le monde entier et découvrez comment il a mesuré le tour de la terre. Puis utilisez vos propres mesures et celles d'une école partenaire pour calculer par vous-même la taille de notre planète.

1- Comment Eratosthène mesura la circonférence de la Terre

a - notion de verticale à l'échelle de la Terre

Les enfants discutant du texte lu devant la classe sont amenés à se poser de nombreuses questions. La première chose à comprendre est la notion de verticale dans les deux villes de Syène et d'Alexandrie. S'ils ont suivi les activités sur les notions de verticalité et d'horizontalité, ils auront certainement une bonne intuition de la verticale locale. Mais que se passe-t-il à l'échelle de notre planète ?

Posez-leur la question suivante :

"Lorsque les gnomons sont bien réglés (revoir cette activité si nécessaire et les notes qu'ils avaient prises dans leur cahier d'expérience), comment se présentent-ils par rapport au support horizontal ?"

Ils n'hésiteront pas à répondre qu'ils sont bien verticaux et donc perpendiculaires au sol horizontal.

"Que se passe-t-il alors pour des gnomons disséminés à la surface de la Terre ?"

Ils débattront alors sur ce point et noteront dans leur cahier leurs hypothèses qu'ils tenteront de vérifier par une expérience. Pour cela, ils peuvent partir d'une simple bande de papier rigide sur laquelle ils collent des bâtonnets ou des punaises, bien perpendiculaires à la feuille posée à plat. Voici les gnomons tels qu'ils les observent autour d'eux lorsqu'ils sont réglés. Puisqu'ils sont convaincus que la Terre n'est pas plate, ils courbent alors la bande et observent que les gnomons ne sont plus parallèles mais que les directions dans lesquelles ils pointent s'écartent petit à petit. En refermant la bande sur elle-même, ils voient les gnomons rayonner à la surface de la Terre. Ils dessinent alors sur leur cahier cette étrange figure de la Terre couverte de pics comme un hérisson.

Remarquant que tous ces gnomons représentent la direction de la verticale en chaque point de la Terre, demandez leur ce qui se passe lorsqu'ils prolongent par la pensée les pics à l'intérieur de la Terre ? Ils convergent tous vers le centre de la Terre ! On peut le vérifier en reprenant l'expérience précédente et en remplaçant les bâtonnets par des aiguilles à tricoter ou de pics à brochette.

Ils en concluent que la direction de la verticale en chaque point de la Terre pointe vers le centre de notre planète, et donc que les gnomons en deux villes éloignées l'une de l'autre ne sont pas parallèles mais que leurs directions font un angle entre elles.

Dessinez alors au tableau le cercle-Terre et demandez-leur alors comment placer sur cette dernière figure les villes de Syène et d'Alexandrie en utilisant ce qu'ils savent sur les mesures d'Eratosthène.

b - Découvrir le secret d'Eratosthène

La question est difficile et vous les aiderez à trouver la réponse qui les conduira à la célèbre figure d'Eratosthène !

Les petits textes historiques nous ont raconté qu'à Syène, le 21 juin à midi, les rayons du soleil atteignaient le fond des puits et que les objets verticaux n'avaient pas d'ombre. Ils suivaient donc précisément la verticale ! Sur une grande feuille format A4 ou A3, ils redessinent le cercle-Terre comme sur le premier croquis de la figure 2. Ils tracent plusieurs rayons du soleil (bien parallèles entre eux !) dont l'un suit exactement cette verticale.

(on peut commencer par tracer sur une grande feuille les rayons solaires parallèles et découper dans un canson de couleur un cercle-Terre, le fixer sur la feuille en le perçant en son centre d'une attache parisienne, on fait alors tourner la Terre jusqu'à ce que les rayons du Soleil tombent verticalement à Syène).

Comment placer Alexandrie maintenant ? Demandez-leur ce qu'Eratosthène a mesuré ce même jour et à la même heure ? "l'angle entre les rayons du soleil et son obélisque... donc l'angle que font ces rayons avec la verticale !" Il ne reste plus qu'à retrouver la valeur de cet angle (7.2 degrés) et à faire un schéma comme l'explique la figure 2.

Les enfants vont utiliser un calque sur lequel ils traceront l'angle d'Alexandrie et qu'ils feront glisser ensuite sur leurs figures jusqu'à ce que le rayon tombant sur l'obélisque soit parallèle aux autres.

Le secret d'Eratosthène :

Après avoir noté au crayon noir la position d'Alexandrie, ils tracent la verticale passant par cette ville et rejoignant le centre de la Terre. Demandez-leur ce qu'ils pensent alors de l'angle entre cette verticale et celle de Syène ? "Il ressemble drôlement à celui du secteur angulaire et donc à celui mesuré par Eratosthène"

Ils s'empressent alors de le vérifier en retournant le calque et en superposant l'angle à celui au centre de la Terre.

Ça marche ! C'est donc cela le secret d'Eratosthène ! Faites-leur vérifier que pour une autre valeur d'angle (le double par exemple), ils obtiennent le même résultat. Ils placent la nouvelle Alexandrie pour un angle de 14 deg, tracent la verticale et mesurent le nouvel angle au centre de la Terre. Ils peuvent également utiliser le rapporteur pour ces vérifications.

Ils reproduiront alors sur leur cahier d'expériences la figure débarrassée des tracés inutiles, fiers de l'avoir redécouverte par eux-mêmes. Ils noteront également la conclusion qui constitue le fameux secret d'Eratosthène :

l'angle mesuré entre les rayons solaires et la verticale à Alexandrie est exactement l'angle entre Alexandrie et Syène mesuré au centre de la Terre. Ils verront alors apparaître sur leur figure le "Z de Zorro" qui, n'en doutons pas, les aidera à mémoriser cet incroyable résultat !

Question subsidiaire : que se passerait-il pour ces deux angles si on faisait tourner la Terre de manière à ce que les rayons solaires ne soient plus verticaux à Syène ? (faire légèrement tourner le cercle-Terre dans le sens inverse des aiguilles d'une montre)

Ils font alors l'expérience, retracent les angles et les comparent, ils vérifient alors que les angles ne sont plus égaux !!! En effet, un angle supplémentaire vient d'apparaître à Syène et change la donne.

En décalquant les nouveaux angles apparus à Syène et Alexandrie entre les rayons et la verticale, ils découvriront peut-être après quelques manipulations que l'angle entre les deux villes au centre de la Terre (matérialisé par le tout premier gabarit) est égal à la différence des angles mesurés dans les deux villes entre rayons solaires et verticale (ils peuvent aussi les mesurer au rapporteur et chercher la relation entre les trois angles : à Syène, à Alexandrie et au centre de la Terre entre les deux villes). Cela se remarque aussi très facilement à l'aide des calques.

Ils ont ainsi simplement généralisé la conclusion aux cas (majoritaires !) où les rayons solaires ne tombent pas selon la verticale. Ils s'empresseront alors de noter cette découverte sur leur cahier, elle leur sera bien utile pour reproduire la figure d'Eratosthène à partir de leurs propres mesures. (Remarquez que cette dernière conclusion s'applique également le 21 juin entre Syène et Alexandrie, mais que l'un des angles est nul... la différence est donc égale à l'angle mesuré à Alexandrie tout simplement.)

Voilà maintenant vos élèves armés pour mesurer le tour de la Terre dans tous les cas de figure !

c- Mesurer la longueur du méridien passant par Syène et Alexandrie

Pour faciliter l'apparition de la règle de trois (ou règles des proportions) indispensable au calcul du méridien, proposez-leur de réfléchir au scénario suivant :

Imaginez qu'Eratosthène ait mesuré un angle différent à Alexandrie. Imaginez que Syène et Alexandrie soient en fait situées sur une Terre semblable à une tarte découpée par exemple en 8 parts égales, les deux villes étant situées comme sur la figure 4. Si on connaît la longueur du bord d'une tarte, comment trouver la longueur du tour complet de cette tarte ?

"C'est facile, il suffit de multiplier la longueur par 8 !" répondront-ils. En êtes-vous sûrs ? Vous pouvez leur proposer de le vérifier en faisant un grand cercle partagé en 8 sections égales et mesurant avec deux ficelles la longueur du bord d'une part et la longueur du périmètre entier. Ils trouveront alors un rapport 8 entre les longueurs des deux ficelles.

C'est exactement ce que se disait Eratosthène, mais combien de "parts de tarte" y a-t-il en réalité ?

Ils peuvent proposer plusieurs expériences pour tenter de le découvrir. Vous pouvez former des groupes pour tester les différentes propositions :

- on peut utiliser le gabarit d'angle de 7,2 degrés et le faire tourner autour du centre de la Terre pour voir combien de part on doit faire pour remplir la Terre (ou la moitié de la terre et on multipliera par 2 le résultat)

- on peut utiliser de la ficelle et comparer la longueur du bord de la "part" Syène-Alexandrie (sur la vraie figure réalisée précédemment) et comparer à la longueur du tour complet de la Terre

- ceux qui préfèrent le calcul diviseront 360 degrés (le tour complet du cercle) par 7,2 degrés (l'angle au centre)

Ils trouveront un facteur 50 exactement (par le calcul au moins !).

Il ne reste donc plus qu'à appliquer les règles de proportionnalité puisque Eratosthène nous dit que la distance entre Syène et Alexandrie vaut 5 000 stades égyptiens. On multiplie par 50 et on trouve... 250 000 exactement !!!

Comme le grand savant grec. Voilà enfin l'énigme résolue.

Mais au fait, que valait donc le stade égyptien ? Ultime quête qui les emmènera dans les encyclopédies ou sur les moteurs de recherche d'Internet. ils trouveront l'équivalence suivante :

1 stade égyptien = 157,5 m, ce qui porte à 39375 km le tour de la Terre ! Comparez-le vite aux valeurs trouvées dans les dictionnaires et vous vous apercevrez de l'incroyable précision de cette mesure.

2- Plan de travail

Les écoles européennes doivent être inscrites sur la plateforme eTwinning et utiliseront le Twinspace Eratosthène comme espace de travail.

a- Vérifiez vos coordonnées

Les enseignants consultent la fiche google partagée avec : ville, pays, nom de l'école, coordonnées et carte Google de l'école. Ils affichent un message dans le bulletin des enseignants s'il y a une erreur ou une nouvelle école à inscrire.

b- Partagez votre mesure dans la fiche de données google sheet

A partir d'un copier-coller de la fiche "vérifiez votre école": ("check your school" )identifiez l'école, saisissez la date, le gnomon et l'ombre. L'angle du soleil est calculé automatiquement ATAN (ombre/gnomon)

c- Publication de la mesure dans le journal du projet

L'enseignant ou l'élève admin poste dans le journal du projet : photo + données (école, date, heure, gnomon, ombre)

d- Choisir le meilleur partenariat

Le deuxième onglet de la feuille google partagée (calcul)ation) calcule la distance entre les latitudes des villes, et la circonférence

e-Tracer la figure géométrique

Vous pouvez facilement dessiner la figure en utilisant l'un des 3 modèles Geogebra