Introduction

Au cours de cette séquence, les enfants auront l'occasion de se familiariser avec la notion d'angle. Ils construiront ensuite un gnomon collectif qui sera l'emblème du projet, et feront leurs premières mesures de l'angle compris entre les rayons solaires et la verticale, comme le fit notre savant Ératosthène.

Au cours de cette séquence, vous allez réaliser vos premières mesures avec le gnomon Eratosthène. Nous vous conseillons de lire attentivement l'assistance technique N° 4 afin d' évaluer et d'améliorer la précision de celles-ci.

Notions abordées

• Notion d'angle, d'égalité d'angle. Schématisation de l'angle des rayons solaires par rapport à la verticale.

• Approche de la notion de proportion. Usage du rapporteur. Utilisation d'un tableau de mesures.

• Comparaison et interprétation de ces mesures. Evolution de l'angle des rayons solaires au cours de l'année.

Préliminaire : les mesures d'Eratosthène.

Après avoir découvert avec Eratosthène le moment du midi solaire, les enfants vont se plonger dans les premières mesures spécifiques au projet lui-même... Proposez-leur de lire le court texte ci-dessous qui va les inviter à découvrir la notion d'angles :

" Eratosthène ayant choisi, un 21 juin, d'observer au midi solaire l'ombre d'un obélisque situé aux alentours de sa bibliothèque, voulut en savoir un peu plus… Il décida d'évaluer avec précision l'angle compris entre les rayons du Soleil et l'obélisque (dont il connaissait la hauteur : 8 mètres environ). Il attendit que le Soleil soit au plus haut dans le ciel pour mesurer l'ombre projetée sur le sol : il trouva 1 m exactement. Après être retourné dans sa bibliothèque pour interpréter ses observations, il en conclut que les rayons du Soleil faisaient à ce moment précis un angle de 7,2 degrés avec la grande aiguille de granit… "

Saurez-vous découvrir comment Ératosthène s'y est pris pour trouver la valeur de cet angle, puis le mesurer à votre tour ? "

Sommaire de la séquence:

Cette séquence se compose de quatre parties, chacune pouvant faire l'objet d'une ou deux séances, ou d'une simple activité ponctuelle durant l'intervalle du déjeuner (ou plutôt en début d'après-midi puisque l'on vient de passer à l'heure d'été !).

• 1) Travaux d'approche sur les mesures d'angles

• 2) Retrouver la mesure d'angle faite par Eratosthène.

• 3) Réalisation du gnomon "Ératos" pour la classe.

• 4) Mesures angulaires à partir de nouveaux relevés, et communication des résultats .

1) Travaux d'approche sur les mesures d'angles

Durée : 1 heure, soit avec la classe entière, soit en petits groupes.

Lieu : classe

Matériel : Par groupe de 3 à 5 élèves :

• papier calque,

• feuilles à petits carreaux,

• bristol de couleur,

• photocopies agrandies d'un rapporteur en

• Plexiglas,

• règles,

• rapporteurs et ciseaux.

Remarque sur les difficultés liées au concept d'angle par Valérie Munier, laboratoire de didactique des sciences physiques de Paris 7.

Au cours de cette séquence, les élèves seront amenés à manipuler le concept d'angle. Or, ils ont souvent tendance à définir un angle comme une figure composée de deux segments de même longueur et origine.

Ainsi, deux figures différant par la seule longueur des côtés leur apparaissent comme représentant deux angles différents. Il sera donc intéressant d'insister sur le fait que l'angle se définit plutôt comme la mesure de l'écart entre deux directions matérialisées par des droites ou des segments de longueur quelconque.

et activités pour y remédier :

Pour cela, donnez par exemple des photocopies montrant des paires d'angles égaux mais dont l'un aura ses côtés plus courts que l'autre : en les découpant et en les superposant (ou en reproduisant un angle de chaque paire sur du calque) les enfants verront que l'écartement des côtés est le même.

Si vous souhaitez faire matérialiser différents angles pour des mises en ordre (par exemple du plus ouvert au plus fermé), les élèves utiliseront du bristol pour confectionner des secteurs angulaires, puis ils marqueront par un petit arc de cercle l'angle à considérer. Ils s'amuseront à comparer ces angles en superposant les secteurs angulaires (tout en prenant bien soin de faire coïncider les sommets des angles).

Ils peuvent également rechercher autour d'eux, dans la classe, la présence d'angles divers : mais ils constateront que les livres, cahiers, meubles, murs, fenêtres, etc. ont des angles tous égaux, quelle que soient la longueur de leurs côtés, puisque ce sont des angles droits ! (preuve éclatante que la valeur d'un angle n'a rien à voir avec la longueur de ses côtés…)

Concertation.

Les enfants s'interrogent sur le défi lancé à la fin du texte: : proposez-leur de faire un schéma représentant l'obélisque et son ombre, en convenant avec eux d'une échelle de réduction, et en prévoyant d'utiliser des feuilles de papier quadrillé ou millimétré.

Seulement, une question risque de se poser : comment être sûr que l'inclinaison des rayons sera la même dans cette représentation réduite ? En d'autres termes, l'angle entre les rayons et l'obélisque est-il conservé lorsqu'on change d'échelle ou bien est-il lui aussi divisé de la même façon ? Les enfants débattent alors de cette question qu'ils se posent de la façon suivante : " Est-ce qu'un gnomon deux fois plus haut fera (à la même heure) une ombre deux fois plus longue ? Et l'angle, sera-t-il aussi doublé ? " (La réponse est bien sûr " oui " pour la première interrogation, mais " non " pour la seconde !) Notant leurs hypothèses sur leurs cahiers d'expériences, les élèves répondront probablement : " oui, l'ombre fera sûrement le double " : ils pourront le vérifier sur le papier (voir plus loin) et bien sûr sur le terrain. La recherche des réponses à ces questions permettra d'aborder en toute simplicité la notion de proportion…

Faire apparaître par un schéma l'angle des rayons solaires

Sur leur papier quadrillé, les enfants commencent par tracer à la règle une ligne horizontale figurant le sol, puis ils choisissent la pente des rayons solaires (en comptant un certain nombre de petits carreaux décalés vers le bas comme le montre la Figure 2 ci-dessous), et tracent à la règle un réseau de rayons parallèles. Ensuite, ils dessinent (ou découpent dans une bandelette de papier de couleur) un premier gnomon, par exemple de 6 cm, de façon à ce que son extrémité touche l'un des rayons, tout en veillant à ce que sa base touche bien le sol.

Ils obtiennent donc un triangle rectangle puisque l'angle entre le gnomon et le sol est un angle droit. La longueur de l'ombre est définie par le rayon passant à l'extrémité du gnomon et atteignant le sol : ils épaississent le trait de l'ombre et notent soigneusement sa mesure. Ils placent ensuite, de la même manière, un 2ème gnomon deux fois plus petit que le 1er (donc de 3 cm), puis un 3ème deux fois plus grand (de 12 cm) et mesurent leurs ombres respectives. En faisant le rapport de chaque valeur obtenue avec celle de l'ombre du 1er gnomon, ils trouvent en effet la moitié pour la 2ème ombre et le double pour la 3ème : leur hypothèse se trouve donc vérifiée.

Faire une découverte fondamentale.

Mais, qu'en est-il de l'angle des rayons solaires ? A-t-il varié d'un gnomon à l'autre ? " On dirait bien que l'angle est resté le même ! " Après vérification à l'aide d'un calque, cela s'avère exact. Mais que se passerait-il si on recommençait l'expérience avec un gnomon 3 ou 5 fois plus grand ou plus petit ?

Réponse unanime : " Les ombres seraient 3 ou 5 fois plus grandes ou plus petites, mais l'angle resterait encore le même ! ".

Et si on changeait maintenant l'inclinaison des rayons et qu'on recommence le schéma ? Les élèves s'apercevront que cela ne va rien changer aux conclusions, puisque les rayons du Soleil qui atteignent les gnomons sont parallèles. Quelle découverte ! Ainsi, quelle que soit la hauteur d'un gnomon, l'angle des rayons, à un moment précis, est invariable. " Donc, l'obélisque d'Eratosthène aurait pu être plus grande ou plus petite, il aurait trouvé le même angle ! "

Conclusion : on va pouvoir choisir l'échelle de réduction que l'on désire pour dessiner l'obélisque 'Alexandrie et son ombre, car ce n'est qu'une question de convention puisque la valeur de l'angle sera conservée. Il s'agira ensuite de mesurer l'angle du rayon solaire sur le schéma obtenu.

S'initier au préalable à l'usage du rapporteur.

Si vos élèves n'ont pas encore la maîtrise du rapporteur, pas de problème : un procédé très simple va leur permettre de s'initier en douceur à ce procédé de mesure.

Donnez-leur des photocopies plus ou moins agrandies d'un rapporteur en Plexiglas, et différents angles tracés sur des morceaux de papier calque. Après avoir découvert que le sommet de l'angle doit coïncider avec " le petit trou " central du rapporteur, et que l'un des deux côtés de l'angle doit coïncider avec la graduation zéro de l'un des deux arcs gradués, ils s'entraîneront à l'évaluation de tous ces angles. Faites leur constater au passage que la précision de la mesure augmente quand, sur la photocopie, le rayon de l'arc gradué est plus grand, et qu'on a donc tout intérêt à utiliser des photocopies très agrandies.

2) Retrouver la mesure d'angle faite par Ératosthène

Durée : 15 à 20 à minutes pour le schéma et la mesure de l'angle ; 45 mn à 1h pour l'exploitation du tableau de mesures.

Lieu : classe

Matériel :

• feuilles de papier millimétré ou quadrillé,

• papier calque,

• photocopies agrandies d'un rapporteur,

• crayons bien taillés,

• règles,

• ciseaux,

• rapporteurs.

Ensuite, photocopies du tableau de mesures (voir plus loin). Pour la simulation,

• une mappemonde (ou un ballon-Terre),

• deux minuscules gnomons identiques,

• lampe torche.

Schématiser les mesures d'Eratosthène.

Répartissez les élèves en binômes et distribuez le matériel nécessaire. Sur leur feuille de papier quadrillé ou millimétré, les élèves dessinent le sol puis l'obélisque et son ombre selon l'échelle convenue : si c'est au 1/100ème, 1 cm représentera 1 mètre dans la réalité ; si c'est au 1/50ème, 2 cm représenteront 1 mètre.

Les enfants tracent ensuite l'hypoténuse du triangle obtenu pour matérialiser le rayon solaire et faire apparaître l'angle à mesurer.

Ils reproduisent alors cet angle sur du calque et le découpent en laissant tout autour une bordure quelconque, puis ils le positionnent sur la photocopie agrandie d'un rapporteur : s'ils ont été soigneux et rigoureux, ils doivent trouver un angle légèrement supérieur à 7°, ce qui correspond bien à la valeur de 7,2° trouvée par Eratosthène. Si toutefois l'écart est important avec ce résultat, ils devront se demander pourquoi et en rechercher les causes.

Les enfants remarqueront qu'avec une photocopie assez grande, la précision pourra atteindre le quart de degré, et donc atteindre celle de la mesure du savant grec ! Mais ils comprendront aussi que - de façon paradoxale - cette précision ne pourra être obtenue avec un " vrai " rapporteur, ce qu'ils vérifieront ensuite…

Ils colleront leur schéma dans leur cahier d'expériences, avec, à côté, le calque positionné sur la partie utile de la photocopie du rapporteur, et ils ajouteront quelques commentaires.

En option : Un peu d'entraînement !

Il sera intéressant que vos élèves s'entraînent au maniement du rapporteur en exécutant le jeu suivant présenté ainsi :

" Nous avons retrouvé les mesures que notre génial savant avait pu faire tout au long de l'année à Alexandrie, à partir de l'ombre du même obélisque qui, rappelons-le, faisait 8 m de haut. Ces mesures vous sont présentées dans le tableau ci-dessous, mais certaines d'entre elles ont été effacées mystérieusement… Saurez-vous les retrouver ? "

Commencez par reproduire le tableau de données ci-dessous, puis " effacez " avec du blanc couvrant quelques valeurs d'angles et d'ombres, mais en veillant à ce que, pour une même date, l'une des deux données subsiste : en effet, celle-ci sera indispensable pour trouver l'autre. Rephotocopiez ensuite le tableau, distribuez-en un exemplaire à vos élèves et faites préciser oralement la marche à suivre.

TABLEAU

Vos élèves auront ainsi l'occasion de s'entraîner à faire des schémas en réduction, et de manipuler le rapporteur afin de pouvoir remplir les cases vides : ce sera un bon entraînement pour évaluer les angles découlant de leurs propres relevés, ceux déjà faits et ceux à venir (voir plus loin).

Exploiter le tableau de données

Une fois les données manquantes retrouvées, les enfants vont remarquer que la longueur de l'ombre à midi, d'une part, et l'inclinaison des rayons solaires, d'autre part, varient - mais en sens inverse - tout au long de l'année (l'angle évolue d'un maximum le 21 décembre à un minimum le 21 juin). Ils auront probablement déjà remarqué cette évolution au cours de leurs relevés depuis le début du projet. Mais si ce n'est pas le cas, cette découverte va forcément les intriguer et ils voudront en savoir plus. Pour vérifier par eux-mêmes si c'est aussi le cas dans leur localité, il leur faudra faire de nouveaux relevés dans les semaines à venir pour en déduire l'angle des rayons solaires et voir leur évolution jusqu'à la fin de l'année scolaire….

En attendant, ils vont pouvoir exploiter les relevés déjà effectués en les schématisant pour en évaluer l'angle avec un rapporteur, puis comparer cette valeur avec celle trouvée à Alexandrie à la date la plus proche. Ils noteront la différence, tenteront de l'expliquer, puis feront une simulation pour vérifier. Simulation avec une mappemonde (ou un " ballon-Terre ")

Rappelez-leur les simulations avec le "ballon-Terre" (voir la partie 4 de la séquence 3). Ils se souviendront sûrement que les ombres des gnomons étaient de plus en plus grandes en s'éloignant de Syène vers le Nord ou vers le Sud. Dans le premier cas, elles pointaient vers le nord, dans le second cas, vers le sud.

Ils vérifieront cela de nouveau sur une mappemonde (ou un ballon-Terre) et deux minuscules gnomons identiques, en prenant cette fois Alexandrie pour référence : en s'aidant d'un Atlas, ils situeront (à peu près sur le ballon) leur propre localité par rapport à cette ville où ils feront apparaître une ombre très courte en position midi solaire. Ensuite, ils feront tourner la mappemonde pour obtenir l'ombre la plus courte au niveau de leur localité, et compareront les deux. Selon la situation géographique de votre pays,

la conclusion de cette modélisation sera variable, les enfants observant selon les cas une ombre plus grande (au nord du tropique du Cancer et au sud du Tropique du Capricorne), ou plus courte (dans la zone intertropicale).

3) Réalisation du gnomon " Eratos ".

Durée : une ou deux séances pour la réalisation et le réglage du gnomon.

Lieu : classe puis lieu ensoleillé.

Matériel : Pour le groupe-classe :

• matériaux choisis pour construire le gnomon et son support,

• outils,

• matériel pour le régler (" équerre double ",

• niveau à bulle, boussole).

Concertation

Une séance plénière se tiendra pour établir le cahier des charges de la réalisation du gnomon " Eratos ".

Tout en tenant compte des contraintes matérielles (notamment celle des dimensions du support qui ne devra pas excéder un mètre carré), chacun exprimera ses idées sur la question.

Sachant que le flou augmente vers la pointe de l'ombre, certains élèves opteront pour une tige assez courte, 15 cm leur paraissant raisonnable. Prévoyant que les ombres vont raccourcir jusqu'au 21 juin (dans l'hémisphère nord mais inversement au sud) voudront un instrument moins modeste pour le simple plaisir de pouvoir le décorer " comme un petit totem " : ils n'hésiteront pas à proposer une hauteur de 30 cm.

Un consensus pourra donc s'établir pour un gnomon faisant entre 10 et 20 cm de hauteur, de section cylindrique mais de faible diamètre, ayant un bout plat, et fixé sur un support rectangulaire d'environ 60 x 40 cm. Attention, sous certaines latitudes, aux tiges métalliques qui vont chauffer au soleil et qui risquent de se dilater si elles sont exposées longuement.

Réalisation du gnomon.

Les élèves ayant été largement entraînés à ce genre de tâche et fourmillant d'idées plus originales les unes que les autres (lesquelles seront rigoureusement soupesées avant toute exécution !) nous ne nous étendrons pas sur ce sujet. Néanmoins, une certaine sobriété sera de mise en ce qui concerne le support :

pas de traitement qui puisse faire gondoler sa surface ni de décorations qui puissent gêner les relevés d'ombre ! Méfiez-vous également du rayonnement solaire qui risque de dilater ou de déformer les matériaux que vous utiliserez si la température au moment des mesures atteint les 30 degrés. Il ne faut pas que le support se gondole car il doit rester absolument plan pour la fiabilité des relevés.

Orientation et réglage.

En ce qui concerne l'orientation du support, puis le réglage de son horizontalité et de la perpendicularité de la tige, voir la partie Réglage des gnomons tout à la fin de la séquence 2. Il va de soi que le plus grand soin sera apporté à cette triple opération, laquelle devra être vérifiée et renouvelée si besoin est, avant chaque relevé..

Témoignage de M. Pouyet de l'école de Rocquigny (08), sur la fabrication du gnomon (projet2001) :

"Voici comment nous avons construit nos gnomons :

Les enfants ont d'abord construit un gnomon individuel :

-une plaque de carton épais plantée d'une tige (bâton, grand cure-dents) et avec lequel ils ont effectué les premiers relevés....peu fiables. Très vite, il a fallu tenir compte de divers paramètres (horizontalité et verticalité) et pour finir notre gnomon se compose :

-d'une plaque de contreplaqué (2cm d'épaisseur) de 50cmx30cm percée d'un trou sur un des côtés,

-d'une tige filetée de 15cm fixée perpendiculairement à la plaque avec écrou et contre-écrou.

Ensuite, nous avons convenu d'un endroit dans la cour ensoleillé pendant le temps de midi, nous avons vérifié son horizontalité avec le niveau et les mesures se font toujours à cet endroit.

Nous marquons donc la longueur de l'ombre du gnomon sur la plaque et de retour en classe nous reproduisons à l'échelle 1/2 sur papier millimétré le triangle formé par les rayons solaires, l'ombre du gnomon et le gnomon lui-même. Nous mesurons l'angle obtenu.

Le tout ne prend guère plus de 10 minutes."

4) Mesures angulaires spécifiques au projet avec le gnomon " Ératos "

Durée : pendant plusieurs semaines, en fonction de la météo, 10 mn quotidiennes de relevés d'ombre lors du midi solaire, suivies d'une courte séance pour déterminer l'angle des rayons.

Lieu : lieu ensoleillé, classe.

Matériel : Pour le groupe-classe :

• le gnomon " Eratos ",

• des feuilles de papier millimétré,

• crayons bien taillés,

• règles,

• rapporteurs,

• du fil de couture.

Voici, enfin, le véritable départ de l'opération Eratosthène !

Les relevés de mesures que vous allez maintenant effectuer devront avoir lieu au midi solaire exactement.

Le dernier paragraphe de la séquence 3 vous proposait plusieurs solutions pour évaluer, tout au long de l'année, l'heure à vos montres (heure civile) du midi solaire. Nous vous les rappelons ici :

1. Se contenter du tracé de la direction nord donnée par une boussole, tout en sachant qu'elle est légèrement différente du nord géographique, ce qui entraînera une petite " erreur " au départ. On guettera ensuite le moment où l'ombre du gnomon franchit cette direction.

2. Tracer sur le socle du gnomon (repéré soigneusement sur le sol) ce qu'on appelle une méridienne, c'est à-dire un fragment du méridien du lieu, ce qui donnera le nord géographique. C'est une activité très intéressante, à faire une fois pour toutes, proposée en option (voir la fiche : " tracé de la méridienne ")

Se connecter sur le site du B. D. L. (Bureau des longitudes) qui, en fonction de votre localité et de la date choisie, vous fournira l'heure du midi solaire, mais en Temps Universel . En France, vous aurez à ajouter1 h si c'est l'heure d'hiver, et 2 h après le passage à l'heure d'été

"Manip"

Chaque jour, quand le soleil brille à la mi-journée et que l'ombre du gnomon " Eratos " peut honorer son rendez-vous avec la méridienne, un élève vient faire un repère très précis au crayon à l'extrémité de l'ombre, puis mesure sa longueur soigneusement.

Schéma.

Avec un crayon à pointe très fine, il reporte sur une feuille de papier millimétré, en grandeur réelle ou à l'échelle 1/2, la hauteur du gnomon et la longueur de l'ombre (mesurées au millimètre près, c'est très important), puis il trace le rayon solaire par une droite joignant les deux extrémités.

Mesure de l'angle.

Il ne reste plus qu'à mesurer l'angle à l'aide d'un rapporteur, avec toute la précision possible, c'est-à-dire à un degré ou un demi degré près ! Pour avoir une précision encore plus grande, on peut reprendre la technique du report de l'angle sur un calque puis de son positionnement sur la photocopie agrandie d'un rapporteur (revoir la figure 3).

On aura intérêt à ce que trois élèves fassent ce travail en parallèle, à partir bien sûr du même repère initial (d'où l'importance de celui-ci) : si deux ou trois des résultats concordent de façon très " serrée ", cela permettra de valider l'un ou l'autre, sinon il faudra recommencer les schémas.

Variante en option.

Des élèves voudront essayer de mesurer l'angle sur le terrain, c'est-à-dire en tendant un fil (très fin, de type fil de couture) de l'extrémité du gnomon jusqu'à celle de l'ombre, et en utilisant un rapporteur : ils verront que la " manip " est très délicate, surtout pour la tenue du fil et l'ajustement du rapporteur par rapport à la tige du gnomon ! Néanmoins ils pourront comparer leurs résultats avec ceux obtenus à l'aide des schémas et en tirer des conclusions.

On peut également faire une autre mesure de l'angle sur le terrain par une technique très simple et rapide :

il s'agit de la visée directe de l'ombre minimale de ce qu'on appelle un quadrant (cela nous a été suggéré l'an dernier par Gérard Corbet, enseignant) : voir la fiche d'activités correspondante.

Remarques:

Au fil des jours, on remarquera que les repères sur la méridienne se déplacent lentement sur celle-ci : dès le 22 décembre, ils sembleront " reculer " vers la base du gnomon. Les enfants en déduiront que la trajectoire du Soleil, après avoir atteint son plus bas niveau dans le ciel de décembre, est en train de remonter (jusqu'au 21 juin). Pensez alors à faire référence aux mesures du tableau des ombres à Alexandrie, et analysez avec eux les similitudes dans les variations de " l'ombre-calendrier " au fil de l'année.

Et si un jour l'ombre du gnomon affiche la même longueur que le gnomon lui-même, vos élèves verront que l'angle fait la moitié de l'angle droit, " comme quand on plie en deux le coin d'une feuille ". Ajoutons à ce propos qu'une localité ayant justement une latitude de 45° (comme c'est le cas pour Bordeaux), verra cela se produire le 21 mars, jour d'équinoxe (et le 21 septembre) : en effet, au moment de l'équinoxe, l'angle des rayons solaires correspond à la latitude du lieu (et donc, chaque école, où qu'elle se trouve, verra ce jour-là s'afficher également l'angle de sa propre latitude !).

Communications et échanges:

Pour chaque relevé fait au moment du midi solaire, la valeur trouvée pour l'angle sera notée soigneusement sur le schéma, ainsi que la date (et l'heure civile, mais seulement à titre indicatif puisque cette heure-là ne sera pas prise en compte lors des calculs ultérieurs).

Ces informations seront à reporter dans le tableau que nous avons créé sur le site Internet dédié au projet, dans le but que vous puissiez communiquer - et donc partager - vos mesures avec les écoles partenaires réparties dans le monde entier.

Pensez à publier régulièrement vos mesures et observez bien les résultats des autres écoles : la comparaison des mesures entre les classes fera l'objet de la prochaine séquence, et elle vous permettra d'introduire la notion de coordonnées géographiques. À bientôt sur le site !