El método de Romberg es una técnica de integración numérica basada en la extrapolación de Richardson y fue desarrollado por el matemático alemán Werner Romberg en 1955. Su propósito era mejorar la precisión de los métodos de integración conocidos hasta entonces, como la regla del trapecio, sin aumentar demasiado el número de evaluaciones de la función. 

Física: cálculo de áreas bajo curvas, energía, trabajo, etc.
Ingeniería: integraciones en análisis estructurales o electromagnéticos.
Estadística y probabilidades: integrales de funciones de densidad.
Computación científica: como subrutina para algoritmos más complejos.

El método de Romberg se basa en aplicar la regla del trapecio repetidamente y mejorar su resultado usando la extrapolación de Richardson.

Alta precisión sin necesidad de conocer derivadas de la función.
Automatizable: se puede programar para detenerse cuando la diferencia entre iteraciones sea suficientemente pequeña.
Aprovecha métodos básicos (como el de trapecios), pero los mejora significativamente.
Menor esfuerzo computacional comparado con otros métodos de alta precisión como la cuadratura gaussiana.

Utiliza la extrapolación de Richardson, que también puede aplicarse a métodos como Euler o Runge-Kutta para mejorar su orden de precisión.
Comparado con la cuadratura de Simpson, Romberg puede alcanzar una mayor precisión con menos evaluaciones, aunque con mayor complejidad algorítmica.
A diferencia de los métodos adaptativos, Romberg trabaja con una estructura fija de refinamientos, pero puede detenerse si se alcanza una tolerancia deseada.