El método de Euler es uno de los métodos numéricos más antiguos y básicos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Fue desarrollado por el matemático suizo Leonhard Euler en el siglo XVIII, específicamente en 1768, como parte de sus trabajos en análisis y mecánica. El método de Euler modificado, también conocido como método del punto medio o Euler mejorado, es una mejora del método original. Surge como una solución a los problemas de precisión y estabilidad del método de Euler, y se basa en tomar un promedio entre la pendiente inicial y una pendiente estimada al final del intervalo. 

Ingeniería: modelado de circuitos eléctricos, vibraciones mecánicas.
Física: caída libre con resistencia, dinámica de partículas.
Biología: crecimiento poblacional, cinética de enzimas.
Economía: modelos de tasas de cambio y crecimiento económico.

EULER 

Sencillo de implementar.
Buen punto de partida para introducir los métodos numéricos.
Bajo costo computacional.

EULER MODICFICADO 

Mayor precisión que el método de Euler simple.
Reduce errores de truncamiento.
Mejora la estabilidad numérica en algunos casos.

Comparación con Runge-Kutta: Euler es más simple pero menos preciso. Runge-Kutta (por ejemplo, el de cuarto orden) ofrece mejores resultados con pasos similares.
Métodos multietapa como Adams-Bashforth usan más información de pasos anteriores, a diferencia de Euler que solo usa la información del punto actual.
El método de Euler modificado puede verse como un paso intermedio entre Euler y Runge-Kutta: mejora la precisión sin la complejidad total de métodos de mayor orden.