Date e aule appelli sessione estiva:

Scritto primo appello: 13/06 ore 10:00 aula T2

Orale primo appello: 22/06 ore 14:00 aula 22

Scritto secondo appello: 19/07 ore 10 aula T2

Orale secondo appello: 21/07 ore 10:00 aula L3

Primo appello sessione estiva

Scritto primo appello

Terzo appello sessione invernale

Scritto terzo appello

Secondo appello sessione invernale

Lo scritto si terrà in aula T2 il 28/01/22 alle 10. L'orale si terrà in aula 12 il 01/02/22 alle 9.

Scritto secondo appello

Primo appello sessione invernale

Lo scritto si terrà online l'11/01/22 su teams alle 10. L'orale si terrà online il 12/01/22 su teams alle 10.

Scritto primo appello

Informazioni

Modalità esame: scritto e orale

Ricevimento: su appuntamento (da richiedere via mail o via teams)

Programma del corso

Numeri, insiemi, operazioni, uguaglianze e disuguaglianze. Funzioni. Grafici di funzione. Coordinate cartesiane. Vettori applicati, lunghezze, angoli, distanze. Rette e piani. Sistemi lineari. Rango di matrici e eliminazione di Gauss. Il teorema di Rouché-Capelli. Funzioni algebriche e funzioni trascendenti. Limiti e continuità. Cenni sui numeri complessi. Successioni e Serie (criteri di convergenza). Derivate prime, punti di massimo, minimo e flessi. Derivate seconde, convessità e concavità. Studio di funzioni. Lo sviluppo di Taylor e la regola di de l’Hopital. Infinitesimi. Integrali (secondo Riemann), definizione e criteri di integrabilità. Proprietà degli integrali. Teorema fondamentale del calcolo. Integrali indefiniti. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrale di funzioni razionali, di funzioni razionali trigonometriche, di radici. Integrali impropri. Equazioni differenziali del I ordine. Equazioni differenziali del II ordine, lineari a coefficienti costanti e metodo di variazione delle costanti. Modelli matematici per la dinamica di popolazioni (modello malthusiano e modello con affollamento). Modelli epidemiologici SIS e SIR. Modello preda-predatore.

Testi di riferimento

• Matematica e statistica, le basi per le scienze della vita, Marco Abate

Diario delle lezioni

1. 6/10/21 Numeri naturali, interi, razionali, reali. Proprietà della somma e del prodotto di numeri reali. Proprietà dell'ordinamento dei numeri reali. Insiemi, unione, intersezione, differenza, complementare. Funzioni, grafico di una funzione, iniettività, surgettività.

2. 7/10/21 Funzioni bigettive, funzione inversa. La surgettività e l'iniettività possono cambiare se si restringono dominio o codominio. Esempi della funzione x^2 e x^3 e dell radici quadrate e cubiche. Funzioni esponenziali e loro inverse logaritmiche. Funzioni trigonometriche e loro inverse.

3. 8/10/21 Spazi R^n, vettori, somma di vettori, moltiplicazione vettore per scalare, prodotto scalare. Norma di un vettore. Relazione tra prodotto scalare e coseno dell'angolo compreso tra i vettori, con dimostrazione usando il teorema del coseno. Prodotto scalare e ortogonalità. Distanza tra vettori. Equazioni cartesiane e parametriche di una retta in R^2.

4. 11/10/21 Equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani in R^3. Passare da parametriche a cartesiane significa risolvere il sistema lineare. Esempi di sistemi lineari. Quante soluzioni può avere un sistema lineare. Eliminazione di Gauss.

5. 13/10/21 L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è un sottoinsieme di R elevato al numero di incognite. Dimostrazione che i passaggi dell'eliminazione di Gauss non cambiano l'insieme delle soluzioni. Matrice dei coefficienti e matrice completa. Pivot. Criterio per determinare se un sistema la cui matrice dei coefficienti è a scala è compatibile. Un sistema compatibile con matrice dei coefficienti a scala ha soluzione unica se e solo se ha un pivot per ogni colonna. Se ci sono colonne senza pivot, il sistema ha infinite soluzioni, e lo spazio delle soluzioni è parametrizzato da tanti parametri quante sono le colonne senza pivot. Esempio di soluzione di un sistema lineare con parametro. Trovare l'equazione cartesiana di un piano per tre punti risolvendo il sistema ottenuto imponendo il passaggio per i tre punti.

6. 14/10/21 Matrici, somma di matrici, prodotto di matrice per scalare, prodotto righe per colonne di matrici. Osservazione che non è commutativo. Inverso additivo (opposto) di una matrice, matrice nulla. Matrice identità, esistono matrici non invertibili. Le matrici 2x2 tali che ad-bc è diverso da 0 sono invertibili. Scrivere un sistema lineare come equazione matriciale Ax=b. Dalla proprietà distributiva segue il teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare: lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare compatibile è dato da una soluzione particolare + le soluzioni del sistema omogeneo associato. Definizione di sottospazio vettoriale di R^n. Esempi: rette in R^2 passanti per l'origine, rette e piani in R^3 passanti per l'origine.

7. 18/10/21 Combinazioni lineari, Span, generatori. Come capire se n vettori generano R^m: nella matrice a scala devo avere un pivot per ogni riga. In particolare ciò non può accadere se m>n. Indipendenza lineare, relazione di dipendenza lineare. Come capire se n vettori in R^m sono linearmente indipendenti: nella matrice a scala devo avere un pivot per ogni colonna. In particolare ciò non può accadere se n>m. Due vettori sono linearmente indipendenti se e solo se non sono proporzioniali

8. 20/10/21 Definizione di base di un sottospazio vettoriale di R^n. Coordinate di un vettore rispetto ad una base, dimostrazione che le coordinate esistono e sono uniche. Proprietà delle basi: 1) dai generatori posso estrarre una base usando Gauss 2) ogni ssv ammette una base 3) due basi hanno lo stesso numero di elementi detta dimensione 4) una base di un ssv può essere completata ad una base di un ssv che lo contiene 5) m vettori linearmente indipendenti in un ssv V di dimensione m sono una base di V 6) m vettori che generano un ssv V di dimensione m sono una base di V. Lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio vettoriale di dimensione uguale al numero di variabili libere. I vettori trovati come generatori dello spazio delle soluzioni con l'eliminazione di Gauss sono sempre linearmente indipendenti.

9. 21/10/21 il rango di A e' il numero di Pivot di una riduzione a scala di A. Se Ax=0, la dimensione di Sol(Ax=0) è uguale al numero di variabili libere, cioè al numero di colonne meno il rango di A. Definizione di sottospazio affine di R^n, e di giacitura. Rette, piani e iperpiani come sottospazi affini. Teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare compatibile: Sol (Ax=b)=x_0+Sol(Ax=0), dove x_0 è una soluzione particolare di Ax=b. Quindi Sol (Ax=b) \`e un sottospazio affine la cui giacitura è Sol(Ax=0). Come passare da equazioni parametriche a equazioni cartesiane di un sottospazio affine usando l'eliminazione di Gauss. Calcolo della matrice inversa usando l'eliminazione di Gauss.

10. 27/10/21 Se il sistema Ax=b è quadrato e la matrice è invertibile allora l'unica soluzione è b=A^{-1}x. Determinante, proprietà. Una matrice quadrata è invertibile se e solo se det(A) è diverso da 0. Calcolo con Sarrus in dimensione 3. Sviluppo di Laplace. Il rango di una matrice è uguale al numero di pivot di una sua riduzione a scala, al numero massimo di colonne linearmente indipendenti, al numero massimo di righe linearmente indipendenti, e all'ordine massimo dei minori non nulli. Un sistema Ax=b è compatibile se e solo se b appartiene allo Span delle colonne di A. Conseguenza: Teorema di Rouché-Capelli. Applicazione allo studio della compatibilità di sistemi con parametro.

11. 29/10/21 Ortogonale di un sottospazio V. Trovare le cartesiane dell'ortogonale partendo dalle parametriche di V e trovare le parametriche dell'ortogonale partendo dalle cartesiane di V. Proiezione ortogonale di un punto su un piano e una retta. Distanza punto-piano e punto retta. Mutua posizione di dure rette nello spazio: coincidenti, incidenti, parallele, sghembe. Mutua posizione di due piani nello spazio: coincidenti, paralleli, incidenti. Mutua posizione di una retta e un piano nello spazio: retta contenuta nel piano, incidenti, paralleli.

12. 3/11/21 Limiti di funzioni reali. Definizione con epsilon e delta. Esempio delle funzioni 1/x, x^2, cos(1/x) e x cos(1/x).

13. 4/11/21 Forme indeterminate, limiti notevoli. Funzioni continue. Metodo di cambiamento di variabile nel limite. Come ottenere i limiti notevoli dai limiti notevoli di sen x/x e (1+1/x)^x, parte I.

14. 5/11/21 Teorema di permanenza del segno (con dimostrazione). Teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi (con dimostrazione). Teorema dei 2 carabinieri. Come ottenere i limiti notevoli dai limiti notevoli sen x/x e (1+1/x)^x, parte II. Esercizi sui limiti.

15. 10/11/21 Successioni. Definizione di limite di una successione. Permanenza del segno, confronto, due carabinieri per successioni. Se una successione converge ad y e f è una funzione continua in y allora f(a_n) converge a f(y). Criterio della radice, criterio del rapporto, criterio rapporto-radice. Calcolo di limiti di successioni utilizzando i criteri. Discussione delle velocità di andamento a infinito di n^b, a^n (a>1), n!, n^n. Studio del limite della radice n-esima delle successioni precedenti.

16. 11/11/21 Come usare i limiti di funzioni per calcolare i limiti delle successioni. Come usare le successioni per dimostrare che una funzione non ha limite. Definizione di maggioranti e minoranti, massimo e minimo, sup e inf. Per l'assioma di continuità il sup e l'inf esistono sempre. Definizione di successioni monotone. Le successioni monotone ammettono sempre limite e tale limite è il sup o l'inf a seconda che siano crescenti o descrescenti. Esempio: la successione (1+1/n)^n è debolmente crescente, quindi converge. Il suo limite è per definizione il numero di Nepero e. Discorso analogo sulle funzioni monotone e i limiti.

17. 12/11/21 Serie, definizione con le somme parziali. Serie convergenti e divergenti. Serie geometrica, dimostrazione dei vari casi. Serie armonica generalizzata. Serie telescopica. Condizione necessaria per la convergenza: il termine n-esimo deve convergere a 0. Criterio della radice, del rapporto, del confronto, del confronto asintotico. Le serie a termini positivi o convergono o divergono a + infinito perché la successione delle somme parziali è debolmente crescente. Esempi di studio della convergenza di serie a termini positivi usando i criteri.

18. 17/11/21 (Lhotka) Calcolo differenziale e derivate. Variazione assoluta, media e instantanea. Retta secante, tangente. Rapporto incrementale. Notazione di Newton, Leibniz, Lagrange. Derivabilità, derivata a destra e a sinistra. Calcolo di derivate, funzioni algebriche: funzioni costanti, l'equazione differenziale; funzioni lineari.

19. 18/11/21 (Lhotka) Derivata della somma e differenza. L'equazione differenziale lineare, unica soluzione. Calcolo differenziale, funzioni quadratiche. Relazioni di una funzione e la sua derivata. Derivata di funzioni polinomiali. Regola di Leibniz. Derivata della potenza di una funzione.

20. 24/11/21 (Malizia) Calcolo della derivata di seno, coseno, esponenziale e logaritmo. Derivata del quoziente di una funzione, derivata di funzioni composte, derivata della funzione inversa e loro applicazione nel calcolo delle derivate delle funzioni fondamentali (tangente, cotangente, arcosin, arccos, arctan, a^x, x^(p/q) con p, q interi, x^b con b reale e x reale positivo) e di qualche esempio generico di calcolo.

21. 25/11/21 (Butterley) Funzione crescente / decrescente. Punti di massimi o minimi relativi. Punto critico. Punto di flesso. Esempi. Derivata seconda.

22. 26/11/21 (Butterley) Studio qualitativo di funzioni. Funzioni convesse/concave. Esempio. La regola di l'Hôpital. Esempi.

23. 01/12/21 (Butterley) Esercizi (studio qualitativo di funzioni).

24. 02/12/21 (Butterley) Ordine di infinitesimo, "o piccolo". Esempi. Sviluppo di Taylor. Esempi.

25. 03/12/21 (Butterley) Sottografico. Definizione di integrale. Integrale definito. Proprietà dell'integrale (integrale di una costante, suddivisione dell'intervallo, integrale di un multiplo, integrale della somma, confronto di integrali). Primo e secondo teorema fondamentale del calcolo. Integrazione per parti.

26. 09.12.2021 (Malizia) : Richiami sulla definizione di integrale, sulle sue proprietà e sul teorema fondamentale del calcolo integrale. Applicazione del teorema fondamentale al calcolo di integrali dati da una formula di derivazione. Integrazione per parti: tecnica e primi esempi al riguardo.

27. 10.12.2021 (Malizia) : Esempi di applicazione della formula di integrazione per parti: x^n cos(x), x^n sin(x), x^n e^x, log x. Integrazione per sostituzione(cioè integrale di derivate di funzioni composte) ed esempi al riguardo. Altri esempi con una o entrambe le tecniche insieme, tra cui: arctan x, arcosin x, (sin x)^2.

28. 15.12.2021 (Lhotka): Equazioni differenziali del I ordine. Equazioni differenziali del II ordine. Equ. funzionali. Esempi

29. 16.12.2021 (Lhotka): Equ. diff. lineari a coefficienti costanti, esempi

30. 17.12.2021 (Lhotka): Equ. diff. caso generale, non lineari, equ. separabile, sistemi di eq. differentiali

31. 22.12.2021 (Lhotka): Modelli matematici per la dinamica di popolazioni, modello preda-predatore, esempi, preparazione all'esame