Testi di riferimento per la parte di algebra lineare

Geometria analitica con elementi di algebra lineare, Marco Abate e Chiara de Fabritiis

Dispense del corso di Massimo Gobbino

Diario delle lezioni (parte di algebra lineare)

1. 2/10/19 Introduzione alla geometria analitica in R^2 e in R^n. Somma di vettori e prodotto per scalare. Prodotto scalare e distanza tra vettori. Rette nel piano e nello spazio in equazioni parametriche e cartesiane. Passare da cartesiane a parametriche vuol dire risolvere il sistema lineare. Piani nello spazio.

2. 9/10/19 Eliminazione di Gauss, matrici a scala e pivot. Variabili libere e soluzioni di un sistema lineare.

3. 15/10/19 Matrici, somma e prodotto per scalare di matrici. Prodotto di matrici. Scrivere un sistema lineare col prodotto di matrici. Definizione di spazio vettoriale. R^n, le matrici e i polinomi. Definizione di sottospazi vettoriali ed esempi.

4. 17/10/19 Combinazioni lineari, span, sistema di generatori, indipendenza lineare, base, dimensione. I polinomi hanno dimensione infinita. Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Come trovarle risolvendo un sistema lineare con matrice data dai vettori della base in colonna.

5. 22/10/19 Teorema di esistenza della base con dimostrazione. Lemma fondamentale di sostituzione senza dimostrazione. Proprietà delle basi come conseguenza del lemma fondamentale. Tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi. Definizione di somma e intersezione di sottospazi.

6. 23/10/19 Formula di Grassmann con dimostrazione, definizione di somma diretta, soluzione di un esercizio sulla somma diretta.

7. 29/10/19 Come passare da parametriche a cartesiane. Applicazioni lineari. Come trovare la matrice associata ad un'applicazione lineare data una base dello spazio di partenza e una base dello spazio di arrivo.

8. 30/10/19 Definizione di nucleo e immagine. Dimostrazione che sono sottospazi. L'immagine e' generata dalle immagini di una base. Il nucleo è 0 se e solo se l'applicazione è iniettiva. Teorema della dimensione e conseguenze.

9. 6/11/19 Come trovare il nucleo e l'immagine di un'applicazione lineare. I vettori che otteniamo con l'algoritmo di Gauss sono base del nucleo. I vettori colonna della matrice che corrispondono ai pivot sono base dell'immagine. Matrice inversa, condizioni per l'invertibilità di una matrice. Algoritmo di Gauss simultaneo per trovare la matrice inversa. Ad una matrice A posso associare un'applicazione lineare L_A, e la matrice associata a L_A rispetto alle basi canoniche è proprio A.

10. 11/11/19 Il prodotto di matrici corrisponde alla composizione di applicazioni lineari. Matrice di cambiamento di base come matrice che rappresenta l'identità rispetto alle due basi date. Come scrivere la matrice associata ad un'applicazione lineare con le matrici di cambiamento di base. Esercizio: scrivere la matrice associata alla proiezione relativa ad una decomposizione in somma diretta rispetto alla base canonica.

11. 12/11/19 Determinante, assiomi e proprietà. Determinante di matrici diagonali e triangolari. Sviluppo di Laplace e algoritmo di Gauss modificato. Teorema di Binet. Formula di Cramer.

12. 19/11/19 L'inversa col metodo dell'aggiunta. Come completare un insieme di vettori ad una base usando l'eliminazione di Gauss. Struttura delle soluzioni di un sistema lineare, sottospazi affini. Definizione di rango per righe, per colonne, coi minori. Teorema di Rouché-Capelli. Soluzione di un sistema lineare con parametro. Mutua posizione di rette nello spazio con Rouché-Capelli, sia partendo da equazioni parametriche che da equazioni cartesiane (Qua finisce il programma per Chimica Applicata).

13. 20/11/19 Basi ortogonali e ortonormali. Vettori non nulli a 2 a 2 ortogonali sono linearmente indipendenti. Come trovare le coordinate di un vettore usando il prodotto scalare. Procedimento di Gram-Schmidt. Ortogonale di un sottospazio è in somma diretta col sottospazio ( con dimostrazione). Metodi per calcolare la retta ortogonale ad un piano dato in cartesiane o in parametriche. Esercizi sugli ortogonali.

14. 26/11/19 Calcolare il punto di un piano più vicino a un punto dato. Matrici ortogonali e proprietà con dimostrazione. Esempio di una rotazione nel piano. Le matrici ortogonali preservano il prodotto scalare. Definizione di autovettori e autovalori, autospazi. t è un autovalore di A se e solo se il determinante di (A -t Id) si annulla (con dimostrazione). Osservazione che una rotazione di 90 gradi non ammette autovalori reali.

15. 27/11/19 Polinomio caratteristico e invarianza per similitudine di matrici. Una matrice diagonalizzabile ha n autovalori reali. Molteplicità algebrica e geometrica. La molteplicità geometrica è minore o uguale di quella algebrica, con dimostrazione. Criterio per la diagonalizzabilità.

16. 3/12/19 Esercizi vari: verificare la diagonalizzabilità dell'applicazione lineare coniugio dallo spazio delle matrici 2x2 in sé, discussione delle soluzioni di un sistema lineare con parametro, calcolo di basi per la somma e l'intersezioni di due sottospazi di R^4.