SIR2014

Obiettivi della ricerca eseguita:

L'obiettivo principale del progetto è stato quello di introdurre nuove tecniche e metodi nello studio della dinamica olomorfa in più variabili complesse, e di capire come la struttura complessa della varietà studiata influisca sulla dinamica. Le varietà su cui ci si è concentrati sono di due tipi: da una parte consideriamo domini limitati di C^n, come la palla, o più in generale i domini strettamente convessi, con la geometria rigida derivante dall'essere Kobayashi iperbolico. Ci si aspetta che tale rigidità si trasporti alla dinamica, dando luogo all'esistenza di modelli per la dinamica. Uno degli obiettivi principali del progetto è stato quello di sviluppare ed applicare una teoria astratta dei modelli canonici, sia per la dinamica in avanti quando le orbite convergono al punto di Denjoy-Wolff al bordo, che per la dinamica all'indietro in presenza di un punto repulsivo al bordo. Dall'altra parte consideriamo le varietà flessibili Stein, che ammettono una grande famiglia di endomorfismi o di automorfismi. In questo caso ci si aspetta di ottenere risultati che mostrino un'elevato grado di caoticità della dinamica. Un secondo obiettivo del progetto è stato quello di utilizzare le tecniche di Andersen-Lempert e la teoria di Oka per ottenere questi risultati, mostrando quindi che tali varietà hanno un comportamento dinamico opposto a quelle Kobayashi iperboliche. Un caso particolare di varietà flessibile è dato dallo spazio complesso C^2. Abbiamo utilizzato la teoria delle funzioni trascendenti di una variabile per iniziare lo studio delle mappe di Hénon trascendenti della forma F(z,w)=(f(z)-aw, z), da noi introdotte come generalizzazione a due variabili della dinamica trascendente unidimensionale. Tali mappe hanno un comportamento dinamico più complesso rispetto agli automorfismi polinomiali classicamente studiati, ma la loro particolare formula di definizione permette di ottenere informazioni dinamiche studiando la funzione trascendente f(z). Un altro ramo del progetto si è concentrato sulle interazioni tra il twistor discriminant locus, cioè il luogo di ramificazione di una superficie algebrica sotto la proiezione twistor sulla 4-sfera, e le proprietà globali delle funzioni slice regolari, una nozione di regolarità nel contesto quaternionico introdotto da Gentili e Struppa per generalizzare la nozione di funzione olomorfa.