Урок №7
Дата проведения: 20.04.20
Тема урока: Разложение на множители суммы и разности кубов.
Вспомним формулы сокращенного умножения;
1. (а + b)2 = а2 + 2а b + b2 - квадрат суммы
2. (а - b)2 = а2 - 2а b + b2 - квадрат разности
3. а2 – b2 =(а – b) (а +b) - разность квадратов
4. (а + b)3 = а3 + 3а2 b +3а b2 + b3 - куб суммы
5. (а - b)3 = а3 - 3а2 b + 3а b2 - b3 - куб разности
Выведем еще две формулы.
Для разложения на множители суммы кубов используется тождество
а3+ b3 = (а + b) (а2 - а b + b2), (1)
которое называют формулой суммы кубов.
Чтобы доказать тождество (1), умножим двучлен (a+b) на трехчлен (а2 - а b + b2):
(a+b) (а2 - а b + b2) = а3 – а2 b + а b2 + а2 b - а b2 + b3 = а3+ b3
Множитель (а2 - а b + b2) в правой части формулы (1) напоминает трехчлен а2 - 2а b + b2 который равен квадрату разности a и b. Однако вместо удвоенного произведения a и b в нем стоит просто их произведение. Трехчлен (а2 - а b + b2) называют неполным квадратом разности a и b. Итак,
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.
Пример 1. Разложим на множители многочлен 8х3 +у3 .
Данный многочлен можно представить в виде суммы кубов двух выражений:
8х3 +у3 = (2х)3 + у3
Применив формулу (1), получим (2х)3 + у3 = (2х + у) (4х2 – 2ху + у2)
Для разложения на множители разности кубов используется тождество
а3 - b3 = (а - b) (а2 + а b + b2), (2)
которое называют формулой разности кубов.
Чтобы доказать тождество (2), преобразуем произведение двучлена a-b и трехчлена (а2 + а b + b2), который называют неполным квадратом суммы a и b:
(a - b) (а2 + а b + b2) = а3 + а2 b + а b2 - а2 b - а b2 - b3 = а3- b3
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.
Пример 2. Разложим на множители 27х3 – у3 .
Представим данный многочлен в виде разности кубов двух выражений и применим формулу (2). Получим
27х3 – у3 = (3х)3 – у3 = (3х – у) (9х2 + 3ху + у2
1. Закрепление нового материала: № 905, № 907, № 912.
№ 905. Разложите на множители многочлен:
а) х3+ у3 = (х + у) (х2 - ху + у2)
б) m3 - n3 = (m - n) (m2 + mn + n2)
в) 83+ a3 = 23 + a3 = (2 + a) (22 – 2a + a2) = (2 + a) (4 – 2a + a2)
№907. Представьте выражение в виде суммы или разности кубов и разложите его на множители:
а) 8х3 – 1 = (2х)3 – 13 = (2х - 1) ( 4х2 + 2х + 1);
б) 1 + 27у3 = 13 + (3у)3 = (1 + 3у) (12 – 1*3у + (3у)2) = (1+ 3у) (1 – 3у + 9у2);
д) 125а3 – 64б3 = (5а)3 – (4б)3 = (5а – 4б) ((5а)2 + 5а*4б + (4б)2) =
(5а – 4б) (25а2 + 20аб + 16б2).
V. Домашнее задание: читать п. 36, знать формулы, выполнить № 906, 908