1 Klötzchen

Ein Klötzchen kippt bei der Hälfte der Länge. Dann ist das Gewicht, das über der Kante liegt, gleich dem Gewicht, das über dem Tisch liegt.

2 Klötzchen

Legt man ein zweites Klötzchen unter das erste wie oben gezeigt, so ändert sich vorerst nichts. Wie weit man das zweite Klötzchen herausschieben, ohne dass das Gebäude kippt?

Gleichgewicht ist erreicht, wenn das Gesamtgewicht über der Kante gleich dem Gesamtgewicht vor der Kante ist, also dann wenn wir das ganze Gebäude einen Viertel der Klötzchenlänge vorschieben. Dann gilt: 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1 für das Gewicht über der Kante und für das Gewicht vor der Kante: 3/4 + 1/4 = 1.

3 Klötzchen

Das dritte Klötzchen wird vollständig auf den Tisch gelegt. Nichts ändert sich an den Gleichgewichtsbedingungen. Wie weit kann man nun das ganze Gebäude vorschieben?

Es kann soweit vorgeschoben werden, bis wieder maximal die Hälfte des Klötzchengewichts über die Tischkante vorkragt. Da nun insgesamt 3 Klötzchen vorgeschoben werden, gilt: 1/6 des Gesamtlänge darf vorgeschoben werden, was 3 mal 1/6 = 3/6 oder eben wie oben die Hälfte der Gesamtlänge und damit auch des Gesamtgewichtes ausmacht. Insgesamt vorgeschoben sind also nun 1/2 + 1/4 + 1/6 der Gesamtlänge, also schon fast eine volle Kötzchenlänge.

4 Klötzchen

Das vierte Klötzchen wird vollständig auf den Tisch gelegt. Nichts ändert sich an den Gleichgewichtsbedingungen. Wie weit kann nun das ganze Gebäude vorgeschoben?

Bei 4 Klötzchen überkragt das erste Klötzchen die Tischkante vollständig. Das Gebäude kann 1/8 der Gesamtlänge vorgeschoben werden, da 4 mal 1/8 wieder die Hälfte des Gesamtgewichtes ausmacht. Da das oberste Klötzchen aber kürzer ist als die reinen Gewichtsrechnung erfordern würde (es fehlt der blaue Klötzchentei), wird deutlich, dass man eigentlich statt mit Gewicht mit Drehmoment rechnen müsste. Das Drehmoment nimmt auch beim obersten Klötzchen entsprechend der Auskragung zu.

Drehmoment D = Masse (M) * Abstand (d) (bei rechtwinkliger Situation). Wandert nun das Klötzchen über die Tischkante hinaus, erhöht sich zwar das wirksame Totalgewicht nicht, das Drehmoment nimmt aber trotzdem zu und zwar um einen mit der Breite des klötzchenfreien (blauen) Bereiches proportionalen Betrag.

Das Gebäude kann jeweils um 1/2n vorgeschoben werden. Die Auskragung (A) verhält sich wie:

1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + . . . . . .+ 1/2n.

Dies ist eine harmonische Folge multipliziert mit 0.5.

Diese Summenformel wird am ehesten von der folgenden Formel angenähert: A = 0.5 x ln (n), wobei mit n der Reziprokwert von 1/2, also 2 gemeint ist (vereinfacht: die Integration von 1/x ist bekanntermassen ln (x)+C)

Interpretation:

Das vierte Klötzchen überkragt die Kante vollständig. Das dreissigste Klötzchen überkragt die Kante um die doppelte Klötzchenlänge. Prinzipiell besteht keine Grenze des Überkragens. Das tausendste Klötzchen überkragt theoretisch um das 3.74 - fache. Theoretische ist jede Auskragweite denkbar. Praktische dürfte es aber zunehmend schwieriger werden derartige Türme zu errichten.

Die Folge 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + . . . . . .+ 1/2n. bezeichnet man als eine harmonische Folge. Jeder Wert ist das harmonische Mittel der beiden angrenzenden:

Z2= 1/4 ist das harmonische Mittel von Z1 = 1/2 und Z3 = 1/6: Z2 = 2/ (Z1 + Z3) = 1/4

oder allgemeiner:

Zn = 2 / (Z(n-1) + Z(n+1))

Zum harmonischen Mittel: Harmonisch heisst dieses Mittel wohl, weil eine Geigensaite nach dem Prinzip der harmonischen Teilung aufgeteilt werden muss, wenn eine «harmonische» Klangfolge resultieren soll.

Für Details zum harmonsichen Mittel siehe unter: Plädoyer für das harmonische Mittel von Beat Jaggi (2018)

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ln (x) ist gleich 1/x. Was ja die Grundstruktur unserer Zahlenfolge ist.

Integriert man 1/x, so erhält man ln (x) + C. Diese Integreation entspricht der Summenbildung, die wir ja brauchen um jeweils den gesamten Auskragwert zu bestimmen (1/2 + 1/4 + 1/6 + 18/ + .... 1/2n).

Die Integration von 1/(2x) also von 0.5 * (1/x) ergibt 0.5 * ln (x) + C. Beginnt man mit der Integration beim Wert x = 1, für den ja der ln(1) den Wert 0 annimmt, ist 0.5 * ln (x) der jeweils gesuchte Wert.

Bei 1 Klötzchen (Verschiebungswert 1/2): Die Integration von 1/1 bis 1/2 ergibt den Wert 0.39 (wenn mit 0.5 multipliziert), was deutlich unter dem realen Wert von 0.5 liegt.

Bei 2 Klötzchen (Verschiebungswert: 1/2 + 1/4): Die Integration von 1/1 bis 1/4 ergibt den Wert 0.69 (wenn mit 0.5 multipliziert), was schon näher an dem gesuchten Wert von 0.75 liegt.

Bei 3 Klötzchen (Verschiebungswert: 1/2 + 1/4+ 1/6: Die Integration von 1/1 bis 1/6 ergibt den Wert 0.9 (wenn mit 0.5 multipliziert), was noch näher an dem gesuchten Wert von 0.92 liegt.

Nachdem sich die beiden Kurven zuerst stark unterscheiden - ln(x) ist kleiner als der Summenwert - , sich dann zwischen Klötzchenwert 4 und 5 überkreuzen - ln (x) ist etwa gleich wie die Summe - , nähern sie sich am Schluss - ab Klötzchenwert 25 - einander wieder an.

Link zu den Aufgabenblättern:

• Aufgabe 4: Mathematisches zu Stapeltürmen

Link zur vorangeganen Unterseite:

• Erkundungen Stapeln

Link zur einleitenden Seite:

• Stapeltürme und Kragbogen