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Kräfteverhältnisse bei einem vollständigen Rundbogen:
Kräfteverhältnisse bei einem vollständigen Rundbogen:
Die Kräfte, die in Rundbogen wirken, lassen sich näherungsweise berechnen, wenn man die Klötzchen idealisiert. Sie sollen sich bei Krafteinwirkung nicht verformen oder eben nur so wenig verformen, dass dies nicht in Betracht gezogen werden muss.
Was bewirken die von aussen auf einen Rundbogen einwirkenden Kräfte (rote Kraftpfeile)?
Idealerweise wirken diese Kräfte allseitig, so wie in einem Wasserbecken der Wasserdruck allseitig auf eine Röhre einwirkt (abgesehen von kleinen Druckunterschieden wegen der leicht unterschiedlichen Eintauchtiefen).
Ähnlich ist die Situation bei Tunnelbauten. Allerdings sind Berechnungen in diesem Zusammenhang bei dem "ungleichmässig ausgeformten Gesteinsmaterial (S5)" immer schwierig und entziehen sich der genauen Vorausberechnung immer wieder (siehe dazu Leopold Müller-Salzburg 1987).
Wir vereinfachen hier aber so weit wie möglich.
Eine senkrecht auf ein Klötzchen einwirkende Kraft überträgt sich auf die beiden Nachbarklötzchen, die die nötigen Gegenkräfte aufbringen und diese ihrerseits auf die Nachbarklötzchen weiterleiten. Es bildet sich sofort rundherum eine Kräftegleichgewicht, das so lange besteht, wie keines der Klötzchen unter der Last zusammenbricht und seine Form verliert.
Die Skizze zeigt die Kräfte, die von aussen einwirkenden (rote Pfeile). Im Mittelpunkt der Klötzchen wirken drei Kräfte (Lageplan). Die Belastung (blau) und die beiden Reaktionskräfte der Nachbarklötzchen. Alle drei zusammen ergeben einen geschlossenen Kräfteplan, die Kräfte heben sich gegenseitig auf, das Klötzchen bleibt in Ruhe.
Verändert man die einwirkende Kraft, so reagieren sofort alle anderen und stellen wieder Gleichgewicht her.
Kräfteverhältnisse bei einem einfachen unbelastete Bogen:
Kräfteverhältnisse bei einem einfachen unbelastete Bogen:
Wir analysieren zuerst eine einfache, unbelastete Rundbogenbrücke:
Vorgehen beim Skizzieren:
- Wir skizzieren einen einfachen Rundbogen mit Hilfe der Kreisformel y= (r2- x2)0.5. Wir variieren den Radius «r» zwischen 0.9 und 1.1 und erhalten in der Skizze den oberen grauen, den unteren grauen und den blau gestichelten Rundbogen, die unsere Rundbogenbrücke darstellen sollen. Die Dicke der Brücke erhält so den Wert von 0.2.
- Nun legen wir einen Punkt fest bei dem der freien Teil der Brücke beginnen soll. In unserem Beispiel sind dies zuerst die Punkte K und C. Darunter soll die Brücke auf dem Auflageklötzchen stehen. Die Gewichtskraft auf jedem der beiden Punkte entspricht dem halben Gewicht des Restbogens (von K nach C). Dieses ist leicht zu errechnen, da das Bogengewicht proportional zur Bogenlänge ist.
- Im Einheitskreis (Radius r= 1) erfolgt dies durch die Formel: b = arcsin(x) / (2 . π) . 2 . r . π. (Umfang = 2 mal Radius mal π; arcsin(x) gibt im Einheitskreis den Winkelwert des Bogens im Bogenmass; dividiert durch 2 π, den Anteil am Gesamtbogen. Gekürzt für r= 1: b = arcsin(x)
- Die rote geschwungene Linie im obigen Biuld zeigt den Kurvenverlauf dieser Formel in Abhängigkeit von x. Die Kurve ist durch einen Faktor (aus der Klötzchendicke ergäbe sich der Wert von 0.2) so angepasst worden, dass die Vektoren eine für die Skizze sinnvolle Länge erhalten (statt 0.2 wurde 0.4 gewählt).
Vorgehen beim Bestimmen der Kräfteverhältnisse
- Für die Bestimmung des Gewichtsvektors haben wir den jeweils für die dargestellten Punkte (Punkte K, C, E und J) errechneten Wert mit dem Faktor 0.4 multipliziert. Dieser Faktor wurde willkürlich gewählt, um in der Skizze anschauliche Vektorlängen zur erhalten. Aus der vorher erwähnten «roten» Kurve lassen sich die Werte für die Punkte K, C, E und J direkt ablesen.
- Für Punkt C: Der Gewichtsvektor (Vektor w) des oberen Bogens, der auf dem Punkt C – natürlich ebenso auf dem Punkt K – lastet, ist somit bestimmt. Dieser Vektor bildet zusammen mit dem Vektor v2, der senkrecht zur Auflagefläche steht und dem Vektor u2, der die Auflagefläche nach aussen drückt, einen geschlossenen Kräfteplan, in dem sich die Kräfte aufheben. Das Unterlagenklötzchen muss diese Kräfte auffangen können. Dies ist insbesondere für die horizontale Kraft schwierig. Der Boden entwickelt die nötige Gegenkraft.
- Wiederholt man die Überlegungen für die Punkt E und J, so zeigt sich, dass die horizontalen Kräfte, die auf die dann verlängerte Unterlage einwirken, zunehmen und im Scheitel einen Maximalwert erreichen. Der Kräfteverlauf für die horizontale Kraft wird durch die grüne Linie dargestellt. Die dafür nötige Formel ergibt sich aus trigonometrischen Überlegungen: y = Gewichtskraft (errechnet wie vorher dargestellt) mal Tangens des Winkels zwischen dem senkrechten und dem tangentialen Vektor. Dieser Winkel entspricht aber dem Winkel der jeweiligen Punktes zur Kreismitte, also yn/ xn. Der Halbbogen, der in den Punkten E bzw. J aufgeteilt wird ist, steht nur dann, wenn der Auflageteil die horizontal nach aussen wirkende Kraft auffangen kann und nicht wegrutscht.
- Zerlegt man nämlich den ganzen Halbbogen in einzelne Klötzchen, so müssten stetig zunehmende Kräfte für die horizontale Stabilisierung des Bogens vorhanden sein. Der in Einzelabschnitte (Klötzchen) aufgeteilt Bogen ist deshalb nicht stabil und bricht nach aussen weg.
- Dies kann nur vermieden werden, wenn von aussen eine zusätzliche Kraft das Ausbrechen der Klötzchen verhindert. Umbaut man den Halbbogen vollständig, so erzeugt die nach aussen wirkende Kraft die entsprechende Gegenkraft und der Bogen steht. Belastet man die einzelnen Abschnitte mit säulenartigen senkrechten Pfeilern, so kann man die auseinandertreibenden Kräfte ebenfalls auffangen, die Gewichtsverhältnisse müssen aber entsprechend eingerichtet werden.
- Wenn der Bogen genügend breit ist und eine Kettenlinie (blaue ausgezogene Linie) in den oberen Bereichen eingeschrieben werden kann, ist auch ein nicht zusätzlich belasteter Rundbogen stabil. Die Kettenlinie verlässt in unserem Beispiel im Punkt E1 den Bogen. An dieser Stelle verteilen sich die Kräfte gerade so, dass die tangential wirkende Kraft (v1) auf die untere rechte Ecke des Auflageklötzchen auftrifft. Der Rundbogen dürfte deshalb wohl eben gerade noch stehen, allerdings auf Messers Schneide. Unsere gebauten Klötzchenbögen erwiesen sich bis zum 16 teiligen Halbbogen als einigermassen stabil (siehe Fotos, allerdings brauchte der Aufbau des 16 teiligen Halbbogens viel Fingerspitzengefühl).
Kräfteverhältnisse bei einem "gefüllten" Bogen.
Kräfteverhältnisse bei einem "gefüllten" Bogen.
Am gefüllten Rundbogen setzen sich die Kräfte, die auf die Auflageflächen von Klötzchen treffen aus zwei Teilen zusammen: Aus dem Gewicht des darüberstehenden Bogens und aus dem Gewicht der Füllung. Das Gewicht der Füllung stellt sicher, dass die Brücke nicht ausbricht. Sie leitet die horizontalen Kräfte an die seitlichen Verankerungen weiter, die ja bei der nicht gefüllten Brücke fehlen.
In der obenstehenden Skizze sind die beiden Gewichte gesondert behandelt. Jede Kraft ist deshalb in zwei Teile unterteilt, wobei der erste immer das Gewicht des Bogens und der zweite das Gewicht der Füllung symbolisiert.
Das Ganze ist nur stabil, wenn die drei an den Auflageflächen angreifenden Kräfte, (Gewichtskräfte – blaue Vektoren, Kräfte senkrecht zur jeweiligen Auflagefläche – rote Vektoren, horizontal nach aussen wirkende Kräfte –grüne Vektoren) sich gegenseitig aufheben.
Da die horizontalen Kräfte an jedem Punkt eine unterschiedliche Stärke haben – dies ist auch in der gefüllten Bogens so, allerdings sind die Unterschiede kleiner als bei der ungefüllten Bogen – kann die Bodenkraft allein die Stabilität nicht sicherstellen. Die veränderlichen horizontalen Kräfte können aber mit Hilfe der Füllung an die Seitenverankerungen weitergleitet werden und dort aufgefangen werden.
Detailliertere Analyse der Kräfte beim gefüllten Rundbogen:
Detailliertere Analyse der Kräfte beim gefüllten Rundbogen:
- Das Gewicht des Bogens über einer Auflagefläche ist proportional zur Bogenlänge (b). Die Bogenlänge errechnet sich der Formel für den Kreisumfang (2.r.π) und dem jeweils zum gesuchten Punkt auf der Kreisfläche gehörenden Winkel. Der x - Wert entspricht im Einheitskreis (r=1) dem Sinus des in Frage kommenden Winkels.
- Es folgert: b = (arcsin(x) / 2π) .2 .R. π, gekürzt b = arcsin(x). Will man daraus einen Wert generieren, der mit dem Gewicht der Füllung korrespondiert so muss man diesen Wert noch mit der Bogendicke (d) multiplizieren: Gb= d .b. In unserem Beispiel haben die Klötzchen eine Dicke von 0.1.
- Das Gewicht der Füllung (GF) ist proportional zur Fläche (FF), die den Bogen umschreibt (in der Skizze mit einem Rechteck angedeutet). Um diesen Wert zu bestimmen, muss man über die Kreiskurve integrieren:
- Bei r= 1.05 lautet die gesuchte Formel: FF= 0.111803 .x .(21 – 20 x2)0.5+ 0.525 .arcsin(0.9759 .x). Die erhaltenen Werte müssen abgezogen werden von der Fläche des Gesamtrechteckes FR= 1.05 . x. Also: GF= FR– FF .
- Zur guten Übersichtlichkeit in der Skizze (gewünschte Länge der Vektoren) wurden die erhaltenen Werte jeweils zusätzlich mit dem Faktor 3 multipliziert.
- In der Skizze sind die beiden so erhaltenen Kurven eingezeichnet. Beim Ablesen der jeweiligen Werte für die Vektorenlängen, muss darauf geachtet werden, dass die y- Werte der Gewichtskurve (GF) für die Füllung nicht an der gleichen Stelle abgelesen werden wie der Gewichtswert für den Bogen (GB). Das Gewicht der Füllung geht bis oberen Klötzchenecke und muss dort aus der entsprechenden Kurve abgelesen werden, da die Füllung die Bogen ja auch bis dahin belastet! Will man dies direkt rechnen, so muss man in die obigen Formeln den x-Wert folgendermassen eingeben: x’= x + d/s .x (der erweiternde x Wert nimmt proportional zum x Wert zu, was sich trigonometrisch leicht nachweisen lässt. Die halbe Klötzchendicke ist der Proportionalitätsfaktor.
Untere blaue dünne Linie: vertikale Gewichtskraft des Bogens,
Obere blaue dünne Linie: vertikale Gewichtskraft der Füllung bis zur Kötzchenecke,
Dicke blaue Linie: vertikale Gesamtgewichtskraft,
Untere grüne dünne Linie: Horizontalkraft des Bogens
Obere grüne dünne Linie: Horizontalkraft zusätzlich durch die Füllung
Dicke grüne Linie: Horizontalkraft insgesamt.
Die Füllung führt also nicht dazu, dass die Horizontalkräfte konstant bleiben wie bei dem Kettenbogen. Sie werden aber durch die Füllung an die Verankerung weitergeleitet und stabilisieren erst so den Rundbogen.
Erläuterungen zum obigen Bild
horizontale Linie: x - Werte zur Kreisformel y= (1 – x2)0.5Kurven: entsprechende Wert für die Kräfte auf dem Kreisbogen (siehe Skizze oben)Blaue Linien: untere dünne Linie: vertikale Gewichtskraft des Bogensobere dünne Linie: vertikale Gewichtskraft der Füllung bis zur Kötzchenecke, dicke Linie: vertikale Gesamtgewichtskraft, Grüne Linien:untere dünne Linie: Horizontalkraft des Bogensobere dünne Linie: Horizontalkraft zusätzlich durch die Füllung.dicke Linie: Horizontalkraft insgesamt.
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