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Dreiecksbogen sind nur ansatzweise Bogen. Sie nähern sich der Dreicksgestalt an (G. Maier 1977; S 25). Die einzelnen Schenkel haben aber immer eine leichte Tendenz sich nach oben zu krümmen, insbesondere dann, wenn die Zusatzlast knapp bemessen ist.
Dreiecksbogen sind einfach zu bauen. Sie bestehen aus quaderförmigen Klötzchen, die alle die gleiche Gestalt haben, und einem abschliessenden Mittelteil. Dieser Mittelteil ist wichtig, weil die Brücken sonst nicht stabil sind. Die schrägen Beine brauchen diese Zusatzlast. In der ganzen Brücke wirken keine Zugkräfte. Stabilität wird nur über das Lasten (über Druckkräfte) und das Stützen erreicht.
G. Maier bringt Dreiecksbogen mit der menschlichen Gestalt in Zusammenhang:
"Der Dreiecksbogen entspricht unserem Stehen bei auseinandergespreizten Beinen. Das geht aber nicht bei glitschigem Boden - wir würden mit den Beinen nach den Seiten ausrutschen. Je breiter wir unsere Beine auseinanderstellen, umso deutlicher wird die Notwendigkeit einer nach innen geneigten Auflage für unsere Füsse auf dem Boden.
Offensichtlich ist diese Dreiecksform ein konstruiertes Beispiel. Sie ist aber geeignet, das Ineinandergreifen von Lasten und Stützen zu verdeutlichen, und indem wir in unseren Beinen ein Ähnliches haben, wird an ihnen auch besser verstanden, worin das Halten des Gleichgewichtes bestehen kann, wie eine breite Basis dazu erforderlich ist und wie die Spitze der Dreiecksgestalt nach der zentralen Kraft ruft." (G. Maier 1977, S 25)
Erkundend kann jeder mit dem Bau sofort beginnen, wenn er nur die nötigen Klötzchen zur Hand hat.
Mögliche Fragestellungen siehe unter der Seite: Erkundungen Dreiecksbogen
Flacher Dreiecksbogen:
Die beiden Beine dieser Brücke sind nur dann stabil, wenn die Last in der Mitte genügend gross ist und die Verankerungen diese Last (den sogenannten Bogenschub) aufnehmen können.
Steiler Dreiecksbogen:
Wenn die Beine steiler stehen, kann die Zusatzlast verkleinert werden. Der Bogenschub ist geringer.
Die Rialto Brücke über den Canal Grande erinnert an einen Dreiecksbogen. Die Beine sind nach oben gerichtet, in der Mitte steht mit dem Häuschen eine zusätzliche Last (Der von unten stützende Rundbogen ist aber ein zusätzliches Element, das die Brücke stabilisiert).
In Venedig waren derartige Brücken wichtig. Sie konnten aus Steinen gefertigt werden, brauchten weder Drahtseile noch Holzkonstruktionen, kamen ohne Mittelstützen aus und waren brandsicher. Die Boote in den Kanälen konnten leicht passieren.
Stabilität gegenüber dem Kippen mit einem Klötzchen:
Die Gewichtskraft des Klötzchens (Fg) wirkt senkrecht nach unten und kann zerlegt werden in eine Kraft (Fs), die senkrecht auf das Unterlagenklötzchen und eine Kraft (Fp), die parallel zur Auflagefläche wirkt.
Die Gewichtskraft (Fg) trifft innerhalb der Auflagefläche auf das Unterlagenklötzchen. Das Klötzchen steht stabil (vorausgesetzt natürlich , dass es nicht nach rechts wegrutscht).
Stabilität gegenüber dem Kippen mit zwei Klötzchen:
Der Schwerpunkt der beiden Klötzchen zusammen verschiebt sich nach oben. Wir betrachten die beiden Klötzchen als Einheit, um zu prüfen, ob das Doppelgebilde stabil steht oder nicht.
Die Gewichtskraft (Fg) trifft nicht mehr innerhalb der Auflagefläche auf. Das Doppelgebilde würde also kippen. Abhilfe schafft eine Zusatzkraft (Fz), die die Gewichtskraft (Fg) so umleitet, dass sie innerhalb der Auflagefläche auftrifft. Aus Fg wird Fn (oranger Vektor)
Stabilität gegenüber dem Kippen mit drei Klötzchen:
Bei drei Klötzchen verschiebt sich der Schwerpunkt noch weiter nach oben, das Gebilde ist ohne Zusatzkraft unstabil. Die mindestens nötige Zusatzkraft hat einen höheren Wert als im Beispiel mit zwei Klötzchen.
Stabilität gegenüber dem Verschieben mit drei Klötzchen und Unterlage
Will man nun als nächstes den Schub des ganzen Gebildes auf den horizontalen Boden (den sogenannten Bogenschub) bestimmen und analysieren, wie das gesamte Schrägbein ruhig an Ort bleibt, muss man in zwei Schritten vorgehen:
Zuerst bestimmt man die minimal nötige Zusatzkraft (Fz), damit die drei oberen Klötzchen stabil auf der schrägen Unterlage stehen können.
Dazu zerelegt man zuerst Fg in Fs'' und Fp. Jetzt verlängert man Fs'' bei gleichbleibendem Fp so lange, bis Fn innerhalb der Auflagefläche des Unterlagenklötzchens auftrifft. Fz entspricht dann dieser Verlängerung. Fs ist der ganze rote Vektor.
Kennt man diese Kraft (Fs), so ergeben sich die beiden Kräfte Fh und Fg'. (Fg' unterscheidet sich von Fg, weil die eingesetzte Zusatzkraft (Fz) ja auch eine senkrechte Komponente hat).
Der Lageplan (am Punkt K) setzt sich zusammen aus den Kräften Fh, Fg' und Fs. Er besteht aus den farbigen, fett eingetragenen Linien Fs (rot), Fh (grün) und Fg' (blau).
Der dazugehörende Kräfteplan ist in den Lageplan andeutungsweise eingetragen. Er umfasst den geschlossenen Kraftzug von Fg', Fh' und Fs'.
Die vollständige Brücke:
Nebenstehend wird gezeigt, wie sich der Abschluss der Brücke durch ein Deckklötzchen und eine Zusatzkraft (Fgz) auf die Stabilität auswirkt.
Die eingetragene Zusatzkraft, die zusätzlich zum Gewicht des Deckklötzchens aufgewendet werden mass, genügt eben gerade um die seitlichen Beine stabil zu halten. Erhöht man diese Kraft, so wird das Gebilde immer stabiler, bis es dann irgendeinmal unter der zunehmenden Last zusammenbricht. Natürlich nur, wenn das schräge Unterlagenklötzchen nicht wegrutscht.
Kurzbeschreibung der Kräfteverhältnisse: Beginn in der Mitte:
Das oberste Klötzchen hat das Gewicht Fd. Es muss von den beiden Schnecken getragen werden (Fdr und Fdl). Die minimal nötige Zusatzlast, damit das Gebilde steht ist, ist Fz (hellgrüner Vektor).
Um die Grösse dieses Vektors zu bestimmen. muss das Gesamtgewicht des halben Dreiecksbogens bekannt sein (Fg'). Daraus lässt sich die minimal nötige Zusatzlast (Fz) bestimmen .
Der Kräfteplan in der Mitte setzt sich dann aus Fd, Fgz, Fdr'', Fzr', Fzl' und Fdl zusammen.
Der vertikale Turm:
Der vertikale Turm ist die eine Grenzform der Dreiecksbogens.
Die beiden Schenkel fallen zusammen. Der Turm steht allein durch seine Gewichtskraft und wird vom Boden gehalten (natürlich nur wenn keine seitlichen Zusatzkräfte einwirken). Der Bogenschub entspricht dem Gewicht des ganzen Turms.
Der horizontale Turm:
Der horizontale Turm ist die zweite Grenzform des Dreiecksbogens.
Die beiden Schenkel laufen in einer Linie. Diese Brückenform ist nur stabil, wenn der Turm vorgespannt wird (im Beispiel durch eine Schraubzwinge), da es nicht mehr möglich ist, die Brückenmitte durch Zusatzgewichte zu belasten. Will man ohne Schraubzwinge nur mit Druckkräften auskommen, muss man die einzelnen Klötzchen seitlich sicher verankern und von da aus Druck aufbauen, was nur sehr schwer möglich ist. Scheitrechte Bogen lösen dieses Problem teilweise (siehe weiter unten).
Weiterführende Links:
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Möglicher Erkenntnisgewinn:
Möglicher Erkenntnisgewinn:
Experimentieren und Reflexion ermöglichen das Entdecken der zugrundliegenden Prinzipien von Kraft und Gegenkraft (von Lasten und Stützen) und von Kräftezusammensetzungen (siehe Seite "Erkundungen Dreiecksbogen").
Die Seitenstreben an gotischen Kirchenbauten zeigen, wie man mit Hilfe von Zusatzlasten (Türmchen auf den Streben), die Kräfte umleiten und in den Boden führen kann (siehe Seite "Erkundungen Dreiecksbogen").
"Schrägbeinbrücken" sind nur stabil, wenn sie zusätzlich belastet werden (siehe Erkundungen Dreiecksbogen).
Extremvarianten wie die vertikalen Türme stehen von selbst. Horizontale Türme dagegen verlangen hohe seitliche Vorspannkräfte. (siehe dazu auch das Thema "scheitrechte Bogen" im Kapitel Rundbogen) (siehe Erkundungen Dreiecksbogen).
Die Kräfteverhältnisse lassen sich mit Hilfe von Kräftezerlegungen, Lageplänen und Kräfteplänen zeichnerisch und rechnerisch bestimmen (siehe Rechnerisches Dreiecksbogen).
Die für Stabilität nötigen Kräfte sind im Prinzip berechenbar (siehe auch Seite: Rechnerisches Dreiecksbogen).
Schräge Klötzchentürme sind wegen des Eigengewichtes der Klötzchen in Wirklichkeit nach oben leicht gebogen (invers zu den immer nach unten hängenden Kettenbogen) (siehe Seite "Rechnerisches Dreiecksbogen").
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