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Kippen und Bogenschub der Klötzchen
Kippen und Bogenschub der Klötzchen
Bild A
Bild B
Bild C
Bei einer genaueren Analyse der Kräfteverhältnisse interessieren insbesondere die Fragen nach der Grösse des Bogenschub.
Am einfachsten lässt sich diese Frage beantworten, wenn man ein einzelnes Klötzchen auf ein schräges Unterlagenklötzchen stellt. Die Gewichtskraft des Klötzchens sei bekannt (Fg). Diese lässt sich aufteilen in eine Kraft, die senkrecht auf das Unterlagenklötzchen einwirkt (Fs) und eine Kraft, die parallel zur schrägen Auflagefläche wirkt (Fp).
Solange Fg innerhalb der Auflagefläche auf das Unterlageklötzchen trifft, steht das Gebilde ohne weitere Hilfe. Das Klötzchen bleibt insgesamt in Ruhe. Natürlich nur, Fp durch die Reibung auf dem Unterlagenklötzchen aufgefangen wird (oder durch eine Stützkraft im Punkt B).
Möchte man nun wissen, mit welcher Kraft das ganze Gebilde wegzurutschen droht, so muss die horizontale Kraft (Fh) - der Bogenschub - bestimmt werden.
Vereinfachend blenden wir das Gewicht des Unterlagenklötzchens aus. Der Werte von Fg und Fg' sind gleich. Da die Winkel bekannt sind kann man Fh und Fs' bestimmen. Dabei verwirrt, dass Fs und Fs' verschieden gross sind.
Betrachten wir dazu Bild B. In den beiden Parallelogrammen weisen Fp unf Fh in verschiedene Richtungen, die anderen Vektoren in die gleiche. Bezogen auf die horizontale Bodenlinie hat Fp aber doch Einfluss auf die Kraftlinie von Fs (Vektor v) in Bild B. Diese Kraft kommt zu Fs dazu, wenn man die Verhältnisse im Unterlagenklötzchen studieren will. Verwendet man im unteren Parallelogramm diese erweiterte Kraft so erhält man Fs' (Fs' = Fs + v). Nun kann man diese Kraft (Fs') in Fg' und Fh aufteilen. Fg und Fg' sind dabei gleich gross.
Fh muss vom Boden aufgebracht werden, entweder durch Reibung oder durch eine seitliche Verankerung.
Im Bild C ist der Lageplan dieser drei Kräfte eingetragen. Der untere Lageplan ist wegen der Übersichtlichkeit nach unten verschoben. Er sollte natürlich innerhalb des Unterlagenklötzchen gezeichnet werden. Fs1 wirkt von oben auf den Boden, Fg’ ist die Reaktionskraft des Bodens und Fh die horizontale Schubkraft (der sogenannte Bogenschub).
Verformungen des Materials
Verformungen des Materials
Die bisherigen Überlegungen zur Statik gingen davon aus, dass die Klötzchen ideale, nicht verformbare Körper sind. Dies ist natürlich in Wirklichkeit nicht der Fall. Jede Krafteinwirkung verformt den Gegenstand, auf den sie einwirkt. Dies ist ja eigentlich die Voraussetzung dafür, dass überhaupt Gegenkräfte auftreten. Gegenkräfte sind eine Folge der Verformung der von der Krafteinwirkung betroffenen Körper.
Am offensichtlichsten ist dies bei einer Feder, deren Verformung ja bis zu einem gewissen Grad linear zur eingesetzten Kraft ist. (Hook’schesGesetz: F = D . s; wobei F die eingesetzte Kraft, D die Federkonstante und s die Verlängerung bedeuten).
Verformungen beim vertikalen Turm:
Das Gewicht der oberen Klötzchen (Last) wird durch die unteren Klötzchen getragen (gestützt) . Die unteren Klötzchen entwickeln diese Stützkraft über die Verformung. Bei Holzklötzchen und geringen Gewichten ist diese natürlich kaum wahrnehmbar, aber eben doch vorhanden. Die unteren Klötzchen werden deformiert und zusammengepresst (Typisch griechische Säulen bringen dieses Lasten durch ihre leicht gebogene Form (Entasis) zum Ausdruck, auch wenn dadurch die physikalische Wirklichkeit überhöht wird). Am stärksten belastet und damit am stärksten zusammengepresst und am dicksten sind natürlich die untersten Klötzchen und nicht wie bei den griechischen Säulen der untere Mittelteil.
Verformungen beim horizontalen Turm:
Der horizontale "Turm" ist einerseits seitlich vorgespannt, diese Kraft ist horizontal gerichtet. Andererseits weist das Gewicht der Klötzchen selbst nach unten. Die jeweils resultierende Kraft ist deshalb nicht völlig parallel zur Klötzchenseitenfläche ausgerichtet, sondern leicht schief nach unten. Dadurch werden die Teile unter der Mittellinie verstärkt belastet und verformen sich stärker als die oberen Teile. Der horizontale Turm krümmt sich leicht nach oben. Diese Verformung ist polar zur gespannten Kette, die auch bei starker Vorspannung leicht nach unten hängt.
Verformungen beim schiefen Turm:
Beim schiefen Turm sind die Verhältnisse ähnlich wie beim horizontalen, nur weniger ausgeprägt. Vorgespannte schiefe Türme biegen sich leicht nach aussen. Innen tendieren sie zur Verkürzung der Abstände - die Klötzchen werden zusammengepresst, aussen zur Verlängerung, d.h. zum Klaffen (siehe nebenstehendes Bild).
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