LEI EXPONENCIAL DO DECAIMENTO RADIOATIVO
Aqui nós vamos falar sobre a lei física que rege o decaimento radioativo. Ela é chamada de lei de decaimento exponencial. Vamos precisar fazer algumas continhas aqui, mas não se preocupe, não vamos pegar pesado...
COMPORTAMENTO EXPONENCIAL
Para entender o decaimento exponencial, vamos falar do seu irmão gêmeo do mal que você com certeza já ouviu falar, O CRESCIMENTO EXPONENCIAL.
Digamos que você tenha uma colônia de bactérias que dobra de tamanho a cada minuto. Se sua colônia começar, por exemplo, com 10 bactérias, em 1 minuto, você terá 20 bactérias. No minuto seguinte, suas 20 bactérias se duplicam e você terá 40, no minuto 10 você terá 10240 bactérias... as coisas já estão saindo do controle.
Podemos escrever uma expressão matemática que descreve o que acontece a cada minuto, considerando o que aconteceu no minuto anterior. Vamos chamar de Bt o número de bactérias no tempo t e Bt-1 o número de bactérias no instante 1 minuto anterior a t. Pelos valores da tabela podemos chegar na seguinte expressão:
Onde, T₂ é o intervalo de tempo necessário para que o número de bactérias dobre. No caso do exemplo, T₂ = 1 minuto.
Pronto! Nosso modelo matemático do crescimento da população de bactérias está feito.
O OUTRO LADO DA MOEDA
Mas e se no minuto 10 do nosso experimento, com 10240 bactérias, aparecesse o Thanos e estalasse a manopla do infinito a cada minuto, e a cada estalo, metade da população das bactérias desaparecesse?
Após o primeiro estalo da manopla, a população de bactérias da colônia iria de 10240 para 5120. Depois de 2 minutos, após outro estalo, teríamos 2560 bactérias, depois de 10 minutos (e 10 estalos) teríamos, novamente, uma colônia com uma população de 10 bactérias.
Bom, e como nosso modelo matemático se comportaria nesse caso? Como a população diminui pela metade, ao invés de uma base 2, (que indicaria uma duplicação) usamos a base 1/2, isto é, dividir por por dois. Também mudamos o índice de T no expoente, agora o termo T1/2 indica o tempo necessário para que a população diminua pela metade. (No caso do exemplo, novamente, T1/2 = 1 minuto)
É ESSE COMPORTAMENTO QUE OCORRE NOS DECAIMENTOS RADIOATIVOS.
Podemos usar o mesmo raciocínio do decaimento das bactérias para avaliar o decaimento de núcleos radioativos, como o do Cobalto-60, por exemplo:
CURVA DE DECAIMENTO DO Co-60
Neste caso, ao invés de contar as bactérias que continuam vivas após cada estalo da manopla, contaremos a quantidade de núcleos de Cobalto 60 na amostra, isto é, que ainda não decaíram.
Como já vimos na seção anterior, em um decaimento, um núcleo instável (que chamaremos de NÚCLEO PAI) emite radiação e se transmuta em um NÚCLEO FILHO. Neste caso, nossa equação para o decaimento pode ser escrita como:
onde N₀ representa o núcleo pai que diminui, N o núcleo filho que aumenta, a base 1/2 indica que o número de núcleos pai diminui em um intervalo t / T1/2 onde t é o instante de tempo atual e T1/2 é o tempo necessário para que metade dos núcleos decaia. T1/2 é único para cada núcleo e recebe o nome de TEMPO DE MEIA-VIDA.
RETOCANDO O MODELO
Embora fisicamente correto, nosso modelo ainda não está atraente, não é? Vamos dar uma retocada nele fazendo os números desaparecerem.
Para nosso primeiro truque de "matemágica" vamos trocar esse “1/2” horrível pelo número de Euler (aquele “e” que tem na calculadora e você quase nunca usa). No entanto, sabemos que não podemos simplesmente substituir um pelo outro, uma vez que eles não são iguais. Mas podemos aplicar uma ferramenta matemática (que não é todo mundo que gosta) para resolver isso: trata-se do logaritmo natural.
Podemos entender o logaritmo natural (representado por ln), como um número ao qual eu elevo a base e para igualá-los. Para "transformar" o "1/2" em "e", basta escrever: 1/2 = eln(1/2) ou, se você não gostar de frações: 1/2 = e-ln(2) . Essa troca nos deixa com a fórmula:
Nossa equação ainda não está atraente... ela ainda tem números misturados com letras, além de um expoente longo e uma fração. Como o tempo t é o único parâmetro do expoente que varia, podemos juntar os demais em uma constante: λ = ln(2) / T1/2 , chamada de CONSTANTE DE DECAIMENTO ou CONSTANTE DE DESINTEGRAÇÃO. Com isso chegamos na expressão:
LEI EXPONENCIAL DO DECAIMENTO RADIOATIVO
Ufa! Chega de matemática!
UM POUCO MAIS SOBRE OS DECAIMENTOS
Até agora nós vimos que um núcleo radioativo (chamado de núcleo NÚCLEO PAI) decai emitindo radiação e se transmuta em um NÚCLEO FILHO estável. Mas e se o núcleo filho também for radioativo??
Sim, isso é possível! Na verdade é uma coisa que ocorre na natureza: as chamadas CADEIAS DE DECAIMENTO. Temos núcleos radioativos que decaem em materiais que também são radioativos. O resultado? Mais de um estágio de decaimento. O urânio por exemplo, isótopo 235, decai emitindo uma partícula alfa e se transmuta no isótopo Th-231 do Tório. Esse isótopo também é radioativo, decai emitindo uma partícula beta menos e se transmuta no protactínio (Pa-231). Este isótopo também é radioativo e agora você percebe onde nós podemos chegar não é?
Na verdade, vários estágios de decaimento podem ser radioativos, de modo que não teremos apenas núcleos pais e filhos, mas núcleos netos, bisnetos e por ai vai. Por esse motivo, uma cadeia de decaimento também É chamada de FAMIILIA RADIOATIVA. A imagem mostra a família do U-235:
CADEIA DE DECAIMENTO DO U-235
Na natureza existem várias cadeias de decaimento, entre elas U-238, U-235, Th-232.
PROFESSOR (A): O conteúdo mostrado nesse capítulo pode auxiliar também professores de matemática a desenvolver em seus alunos a habilidade EM13MAT305, relacionada à resolução e elaboração de problemas com funções logarítmicas. Nesses problemas é compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas em contextos variados, como o do decaimento radioativo.
REFERÊNCIAS
SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Currículo Paulista Etapa Ensino Médio. São Paulo, 2020, 301 p.
SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Habilidades Essenciais de Ciências da Natureza e suas Tecnologias 2020-2021. São Paulo, 2020, 10 p.