Kartesischer Abschluß einer Notenmenge

Jede Note kann 49 verschiedene diatonische Ton-Bedeutungen haben. Sie kann jede der Stufen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 einnehmen und jede der Positionen fa, do, so, re, la, mi, ti.

Mehrere Noten zusammen schränken deren einzelne Ton-Bedeutungsmöglichkeiten entsprechend ein. Um die Kombinatorik hinter diesen Möglichkeiten leicht zu beherrschen, ist es nützlich, Noten in Form zweier Koordinaten zu kodieren: Höhe und Weite. Dabei nehmen wir an, daß sich ein Notenname aus drei Parametern zusammensetzt: Stammnotenname, Register und Akzidenz (Vorzeichen).

Die Notenhöhe ergibt sich aus dem Stammnotennamen und dem Register. Ordnet man dem mittleren C die Höhe 0 zu und den darüber liegenden Noten D, E, F, G, A, B [engl. Konvention] im selben Oktavregister die Höhen 1, 2, 3, 4, 5 , 6, so ergibt sich die Höhe einer Note als Summe Höhe(Stammnotenname) + 7 Register.

Die Notenweite ergibt sich aus dem Stammnotennamen und der Akzidenz. Ordnet man dem Stammnotennamen F die Weite 0 zu und den dann in Quintordnung folgenden Stammnotennamen C, G, D, A, E, B [engl. Konvention] entsprechend die Weiten 1, 2, 3, 4, 5, 6 so ergibt sich die Weite einer Note als Summe: Weite (Stammnotenname) + 7 Akzidenz.

Hat man eine Menge X von Noten gegeben, so kann man aus den einzelnen Höhen- und Weitenkoordinaten jeweils ein Minimum und ein Maximum bilden. Diese Höhen- und Weitenausdehnungen entscheiden über die Anzahl der modalen Interpretationen einer gegebenen Notenmenge X. Nur wenn sowohl die Höhenausdehnung dH- als auch die Weitenausdehnung dW nicht größer als 7 (oder ggf. 8) ist, gibt es eine modale Interpretation. Die Anzahl der Möglichkeiten ist (7-dH)(7-dW).

Beispiel: X = {C, E}. Die Koordinaten sind C = (0, 1), E = (2, 5). Hmin = 0, Hmax = 2, Wmin = 1, Wmax = 5. Die Ausdehnungen sind dH = 7-2 = 5 und dW = 7-4 = 3. Folglich gibt es 15 = 5 mal 3 modale Interpretationen:

Die Note D gehört zum kartesischen Abschluss der Notenmenge {C, E}, da ihre Höhen- und Weitenkoordinaten (1, 4) in diesem Bereich liegen.